Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Получим:

P		ξ	2			1	3				3
						1					3
						4				4
						4				4
				3		1			5			5
				3		1			5			5
P	ξ
P	ξ
				2		4			2			8
				2		4			2			8
		P ξ 2 0
P 2 ξ 4 1
2. Показательное распределение: случайная величина ξ
распределена показательно с параметром λ 0 , если													fξ x имеет
вид:
								λx		, x 0
	fξ x Ce									, x 0
					0, x 0
Из условия:

fξ x dx 1 C e λxdx ,

получим: C λ .

График плотности распределения при различных λ1 λ λ2 представлен на рисунке 11.

Пример 2. ξ - распределена по показательному закону;

известно, что P		ξ	1		1			.
					1

			2
			2
Найти P	2 .											1
Найти P	2 .
Решение: из условия P				ξ					1				, получим:


											2
	1								1		2				1
	1
	λ e λxdx										1 e λx						, λ ln 2 .
	λ e λxdx										1 e λx						, λ ln 2 .
0									2					2
0
											2
			P				2 e x dx 1 e 2 ,


											0
при λ ln 2 , получим:
			P							2 1 eln				1			3
																		.
						ξ								4

																4
																4
3. Нормальное распределение с параметрами m, σ .
(обозначается ξ : N m, σ ),											σ 0.

- распределена нормально, если ее плотность распределения имеет вид:

					x m 2
fξ x		1			2σ 2	, σ 0
		1		e	2σ 2

	σ		2π
	σ		2π
Характеристическое свойство плотности 1 выполнено: fξ x 0,
найдем:

Имеем:

σ 2π

Рассмотрим:

fξ x dx .

x m 2		x m				t 2

e 2σ 2	dx		t	1	e	2 dt ;
		σ

				2π

x2 y 2

x ρ cos φ

dxdy

y ρ sin φ

2π

ρ 2

2π

dφ e

2 ρdρ

2π 1 I 1.

2π

На рисунке 12 представлен график

fξ x при фиксированном m и

различных σ : σ1 σ σ2

Площадь трапеции под каждой кривой равна 1.

Вероятность попадания в интервал «нормальной случайной» величины

Имеем:

b				x m 2
b	1			2	2
P a b			e			dx

		2
a		2

- этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях и его следует отнести к табулируемым функциям.

Рассмотрим:

x m 2

b m

t 2

x m

2σ 2 dx

e 2 dt ,

σ 2π a

2π a m

введем в рассмотрение

t 2

Φ x

2π

- эта функция затабулирована с небольшим шагом изменения x , для положительных x , так как Φ x - нечетна:

	1		x	t 2		1		x	2
x			e					e	2 d x
				2 dt	t

	2					2
		0					0

ее график представлен на рисунке 13.

Φ x довольно быстро приближается к	1	уже при x 3 ,
	2

Φ 3 0,497

Получим:

b m

a m

P a ξ b Φ

Замечание: кроме Φ x

рассматривают также

t 2

Φ * x

2 dt .

2π

Ее таблицы есть в ряде справочников, это функция общего вида и

связана с Φ x соотношением: Φ * x		1	Φ x , соответственно:
связана с Φ x соотношением: Φ * x		2	Φ x , соответственно:
		2
b m			a m
P a ξ b Φ *	Φ *			.
P a ξ b Φ *	Φ *			.
σ			σ
Правило 3σ . Пусть: ξ : N m, σ .


Найдем:
P	ξ m	3σ P m 3σ ξ m 3σ

m 3σ m			m 3σ m		2Φ 3 1.
Φ			Φ

σ				σ

Таким образом, попадания «нормальной» случайной величины в интервал m 3σ, m 3σ считается почти достоверным событием.

ЛЕКЦИЯ 8 МНОГОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ, ДВУМЕРНАЯ ФУНКЦИЯ И ДВУМЕРНАЯ ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Пусть {ξ, η} - двумерный случайный вектор. Двумерной функцией распределения называется функция:

Fξη (x, y) P(ξ x, η y)

Свойства:

1.F (x, y) - неубывающая по обоим переменным

2.F ( , y) F (x, ) F ( , ) 0

3.F (x, ) F (x); F ( , y) F ( y),где F (x) и

F ( y) одномерные функции распределения компонент

случайного вектора.

4. F ( , ) 1

Свойства 1, 2, 4 являются характеристическими для двумерной функции распределения - доказательства аналогичны приведенным для одномерной функции распределения.

Определение: случайный вектор { , } называется абсолютно непрерывным, если для a b, c d выполняется соотношение:

b d

P(a b, c d ) f (x, y)dxdy, f (x, y)

a c

называется при этом двумерной плотностью распределения и связана с функцией распределения соотношениями:

x	y
P( ξ x, η y)	fξη (u, v)dudv Fξη (x, y) .

Таким образом, как и раньше, вектор {ξ, η} абсолютно непрерывен, если fξη (x, y) дающая интегральное представление

двумерной функции распределения. Продифференцируем F (x, y) по x и y и получим:

		2 F (x, y)				2 F (x, y)
			f (x, y) , если				существует.
		x y	f (x, y) , если			x y	существует.
		x y				x y
Свойства двумерной плотности распределения:
1.	f (x, y) 0, для доказательства рассмотрим при
	x 0, y 0
				x Γx y Γy			~ ~
P(x x x, y y y)							~ ~
P(x x x, y y y)					fξη (u, v)dudv fξη (x , y )ΓxΓy ,
				x	y
			~		~		отсюда следует,
по теореме о среднем где x (x, x x), y ( y, y y)							отсюда следует,
что	f (x, y) 0 .


2.	fξη (x, y)dxdy 1, так как	fξη (x, y)dxdy Fξη ( , ) .

Свойства 1-2 являются характеристическими для двумерной

	плотности. С помощью соотношения:	~ ~
	P(x ξ x Γx, y η	~ ~
	P(x ξ x Γx, y η	Γy) fξη (x, y)dxdy

при x 0 y можно показать, что вероятность попадания { , }

в область D равна

f (x, y)dxdy .

Для этого разбиваем область D, а элементарные прямоугольникиij без зазоров и наложений площадью xi y j , имеем:

P(ξ, η Γxi			~ ~
P(ξ, η Γxi		Γy j ) fξη (xi , y j )Γxi Γy j
		k	n
P(ξ, η D) P(ξ, η Πij )
		j 1i 1
	k	n
P( , D) lim	f ~ ~ (xi y j			) f (x, y)dxdy
m ax xi yi 0	j 1 i 1		X i Y j	D

Одномерные плотности распределения компонент случайного вектора получим из двумерной функции распределения:

	x
Fξ (x) Fξη (x, )		fξη (u, v)dudv ,

следовательно

	fξ (x) Fξ (x)	fξη (x, y)dy .

Аналогично:
	fη ( y) Fη ( y)
	fη ( y) Fη ( y)	fξη (x, y)dx

Определение:	и независимы, если
	f (x, y) f (x) f ( y) .

Пример 1. Вектор {ξ, η} распределен равномерно в области D, то есть

c,	x, y D
f (x)	x, y D
0,	x, y D
Поскольку

f (x, y) 1,

то для равномерного распределения получим:

cdxdy 1 c S1 ,

D D

SD площадь области D.

Пример 2. Пусть {ξ, η} распределен равномерно в области D (см. рис. 14). Найти одномерные плотности распределения, выяснить являются ли и независимыми.

Решение: имеем, по условию:
1/ 2,	x, y D
f (x, y)	x, y D
0,	x, y D


					0,	x	1


		1 x
			1					1		x	,			x	1
			1					1		x	,			x	1
fξ (x)	fξη (x, y)dy				dy,	1 x		0
									0,			x	1
			2

	x 1
	x 1
		x 1	2
			2
				1	dy,	0 x 1
					dy,	0 x 1
		1 x

Аналогично получим

1			y	,			y	1
1			y	,			y	1
f ( y)									.
	0,				y		1


f (x) f ( y) f (x, y)							и - зависимы.
Для проверки построим график		f (x)				(рис. 15)

Всем условиям: f (x) 0 и f (x) 1, эта функция удовлетворяет

- то есть является плотностью распределения, также как и f ( y) .

Функции случайных величин

Пусть - случайная величина, заданная на Ω в вероятностном пространстве (Ω, A, P)

Определение: Действительная функция η φ(ξ) называется функцией случайной величины, если она является случайной

					- любое
величиной, то есть множество { : ( ) R } A, где R					- любое
подмножество R.
Пусть		f (x) - плотность распределения . Найти		f ( y)	-
плотность распределения . При ( ) - возрастающей имеем
(см. рис. 16):
			ξ0
			Fη ( y) P(η y) P( ξ ξ0 ) fξ (x)dx ,

где ξ	0		1( y) - функция обратная .
	0

Отсюда по правилу дифференцирования интеграла по верхнему

пределу, получим: f ( y) F ( y) f [ 1 ( y)][ 1 ( y)] .

При ( ) - убывающей имеем аналогично (рис. 17):

	1 ( y) .
F ( y) P( y) P( 0 ) f (x)dx , где 0	1 ( y) .
0

Имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке семестр 1

#
13.05.20264.56 Mб0Agapov_G_I_Zadachnik_po_teorii_veroyatnostey.pdf
#
13.05.20261.95 Mб0Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF.pdf