семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Пусть р - вероятность успеха в каждом опыте, q 1 p - соответственно вероятность неудачи.

Найти вероятность того, что в n независимых опытах будет равно k успехов. (Задача Бернулли). Обозначим Ak - успех в

k - ом опыте, Ank - k успехов в n опытах, Ank можно записать в виде:

Ank A1 A2 A3...Ak Ak 1 ... An ...

... A1 A3 A4... Ak 1 A2 Ak 2... An ...

... A1 A2 ...An k An k 1... An ;

так как слагаемые несовместны, а каждое слагаемое представляет собой произведение независимых событий, то по теоремам сложения и умножения получаем:

P Ank p k q n k p k q n k ... p k q n k ,

причем число слагаемых будет равно числу способов, которыми можно выбрать k элементов из n или n k элементов из n , то

есть оно равно числу сочетаний Cnk . Окончательно получим:

P Ank Cnk pk qn k .

Пример 4. Игральная кость бросается три раза. Найти вероятность того, что «6» выпадает хотя бы один раз. Обозначим Pn k - вероятность того, что при испытаниях ровно k успехов.

Тогда искомая вероятность равна:

P3 k 1 1 P3 k 1 1 P3 0 1 q3 , где q 56 ;

Если n 1 (много больше) то вычисление по формуле:

Pn k Cnk pk qn k

будут очень громоздкими. В этом случае при p 0 можно найти приблизительное значение Pn k с помощью теоремы Пуассона.

Теорема Пуассона Если существует конечный предел:

lim pn n λ 0,

n pn 0

то:

21

так как все сомножители в предыдущей формуле стремятся к единице, кроме двух:

Причем, чем более точно выполняются эти условия, тем лучше приближение.

Пример 5. Проведено 1000 испытаний (независимых) с

вероятностью успеха p 0,01. Найти P 3 .

1000

(с точностью до четвертого знака). Используя теорему Пуассона, получим:

22

(с точностью до 4-ого знака). По теореме Пуассона получим:

Ошибка: 0,0211.

Пример 7. Проведено 3 независимых испытания с вероятностью

Примеры 5-7 показывают, что погрешность вычислений незначительна при больших n и малых p , но сильно возрастает, если эти условия не выполнены.

ЛЕКЦИЯ 5 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, РЯД И ФУНКЦИЯ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть задано вероятное пространство: ( Ω , , Р ). Определение: Действительная функция:

23

f , ,

называется случайной величиной, если множество

: f R , где R - любое подмножество R (ограничимся случаем R вида a,b ).

Пример 1. Рассмотрим = { , , , A } на рис. 5 а) представлена графиком функция, на множестве всех исходов не

являющаяся случайной величиной, так как : f1 , (это множество заштриховано)

на рис. 5б)

имеем:

Таким образом, при α, β это множество принадлежит алгебре и следовательно f2 является случайной величиной.

Если f - случайная величина, то для нее можно

определить вероятность по формуле:

P ξ α, β P ω: f ω α, β .

24

Проверим выполнение аксиом вероятности. Имеем:

(заштрихованы).

Согласно аксиоме 3 (лекция 1) получим указанное соотношение. Определение. f называется дискретной случайной

величиной , если она определена на пространстве элементарных событий, представляющих собой конечное или счетное множество.

Пусть ξ f ω - дискретная случайная величина так как Ω - содержит конечное, или счетное число элементарных событий, то ξ - принимает дискретные значения ξ1...ξk с вероятностью:

P ξ ξk P ω : f ω ξr pk

Определение. Рядом распределения дискретной величины называется таблица, в верхней строчке которой расположены все

25

возможные значения случайной величины, в порядке возрастания, а в нижней соответствующие им вероятности.

из определения следует что pi 1.

i 1

Основные дискретные распределения 1) Распределение Бернулли(биномиальное распределение).

Имеется n независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом, равной р. Случайная величина – число успехов. Составим ряд распределения:

26

3) Геометрическое распределение (неусеченное). Пусть вероятность успеха в каждом опыте равна p , опыт продолжается до первого успеха. Случайная величина - число опытов до первого успеха. Очевидно, принимает натуральные значения от

1 до , если число опытов неограниченно и P k p qk 1 .

поэтому распределение называется геометрическим. Распределения 1)-3) являются основными в нашем курсе, но разумеется они не исчерпывают всех возможных распределений.

Покажем, что:

P a b P b P a ;

для доказательства рассмотрим события

A ξ b ; B ξ a ;

тогда событие

C a ξ b

27

равно разности событий A \ B и так как A B , то по второму

свойству вероятности (лекция 1)

P C P A P B ,

или

P a ξ b Fξ b Fξ a ;

эта разность представляет собой вероятность, и, следовательно, неотрицательна. Отсюда и следует, что Fξ x - неубывающая.

2) Для доказательства свойства 2) применим одну из аксиом непрерывности: пусть имеется последовательность вложенных друг в друга событий:

A1 A2 A3 ... An An 1 ...

Учитывая, что:

P ξ Fξ Fξ P Ω 1.

Получим, что: Fξ 1.

3) свойство без доказательства проиллюстрируем на примере, построив функцию распределения дискретной случайной величины ξ .

Пример 2. Имеется ряд распределения ξ :

28

30