Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

f ( y) f [ 1( y)][ 1( y)]

Окончательно получим:

f ( y) f [	1	( y)][	1		.

				( y)]

Непосредственная проверка показывает, что полученные выражения для f ( y) удовлетворяют характеристическим

свойствам плотности. Убедимся в этом при ( ) - убывающей. Имеем:

f ( y) f [

( y)][

( y)]

так как f

(x) - плотность, а

1 ( y) - убывающая, то

( y) 0 .

Найдем:

f ( y)dy f [

( y)][

( y)] dy .

y (x), x

( y) dx [

( y)] dy , получим:

Сделаем замену

f ( y)dy f (x)dx ,

так как при y , x , а при y , x .

Окончательно имеем

f ( y)dy f (x)dx 1.

Таким образом, доказано , что в случае убывания ( ),

полученная f ( y) - есть плотность. Аналогичный результат получаем и в случае возрастании ( ).

Замечание: на практике применение общих формул бывает нерационально, так как не все функции монотонны, поэтому рекомендуется проделать все выкладки непосредственно для заданной функции, как это сделано в следующих примерах:

	Пример 3. Пусть распределена равномерно в области
			f ( y) .
2	,	, cos . Найти	f ( y) .
2		2

Решение: имеем

1	,		x		π
1					π


fξ (x) π				2		,
fξ (x) π				2		,
0,		x		π
				π

				2


получим:



				1,		y 1
				1,		y 1
						y 0
F ( y) P( y)				0,		y 0

arccosy							2
		f (x)dy					f (x)
							arccosy
			2
			2

(см. рис. 18)

При y 1 имеем:

cos y , при , поэтому P( y) 1. При y 0 ,
		π
	P(η y) P(ξ	π	) 0 ,
	P(η y) P(ξ	2	) 0 ,
		2
так как					,
так как	равномерно распределена в интервале				,	. После
				2		2

дифференцирования F ( y) получим:


	0,				y 1
	0,				y 1
					y 0
f ( y)	0,				y 0
2	1			,	0 y 1


			2


		1 y
		1 y

Проверка:

Пример Решение:

(см. рис. 19)

имеем:

Или: f ( y)

	2	1		dy	2		1
fη ( y)dy						arcsin	1.

			1 y2
	π	0			π		0

4. Найти f ( y) , где 2				и : N(0,1)

		y
	f (x)dx,				y 0
F ( y) P( y)
			y

	0,			y 0

y 0

( y) F

( y)

2 dx ,

y 0

2 , y 0, f ( y) 0, y 0.

Проверку характеристических свойств f ( y) сделать

самостоятельно.

Пример 5. Пусть a b; : N(m, ). Найти f ( y) . Решение: Пусть для определенности a 0, тогда (см. рис. 20.)

F ( y) P( y) P

f ( y) F ( y) 12

y b			1					( x m)2
									2 2
						e			2 2
						e					dx
a				2		y b

						a
	( y b am)	2									y (b am) 2
	( y b am)		1				1				2	a	2 2
	2 2
	2 2
e	2a									e
					a		a		2
					a		a		2

то есть – нормально распределена: N (b am, a ) . Таким

образом, после линейного преобразования «нормальная» случайная величина остается «нормальной».рис. 20

ЛЕКЦИЯ 9 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН(ПРОДОЛЖЕНИЕ).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть , случайный вектор с f x, y - двумерной плотностью распределения . Пусть, далее , -

случайная величина. Требуется найти f z - плотность

распределения .

Найдем сначала

F z P z

- функцию распределения , имеем (рис. 21):

P z P , Dz

Или

F z f x, y dxdy .

После расстановки пределов в двойном интеграле и дифференцировании по z , получим f z - плотность

распределения .

Для примера рассмотрим . Имеем: (см. рис. 22)

z x

F z P , Dz dx f x, y dy .


Следовательно:

	z f	x, z x dx ,
f z F	z f	x, z x dx ,

или изменив порядок интегрирования получим, после дифференцирования


f z f z y, y dy ,

При - независимых имеем:

f z f x f z x dx f z y f y dy

- свертка законов распределения.
Пример 1. Пусть	и - независимы, - равномерно

распределена на a,b , - нормальная случайная величина

: N 0,1 ; .

Найти f z .

Решение: Используя формулу свертки, при:

, x

a, b

f x

0, x a, b

y 2

2 ,

получим:

z x 2

f z

P a b ,

b a

где - «нормальная» случайная величина

: N z,1 .

Окончательно получим:

t 2

f z

b z a z , где z

dt .

b a

Проверка:

f z 0 - первое свойство плотности выполнено.

f z

dz .

Найдем:

Имеем:

z dz

b z

t 2

2 dt

2 dzdt ,

b a

a z

Изменив порядок интегрирования, получим (см. рис. 23):

	1	1		t 2	b t	1		b t

f z dz
			e	2 dt dz			1 t	1.
						b a
		2
	b a				a t			a t

Оба свойства плотности выполнены.

Пример 2. Пусть - распределены равномерно в области

D (см. рис. 24)

Следовательно:

; x, y D

f x, y 3

0; x, y D

f z .

Пусть . Найти

Решение: Имеем:

F z P z

dxdy

3 Dz

где SD

- область полученная пересечением области D и области

: x y z

Эти пересечения представлены на рис. 25 (при различных значениях z, соответствующие области заштрихованы)

После вычисления данных площадей получим:

0, z 1
1	6z z	2	5 , 1 z 0


12

Fz 1 6z z2 5 ,0 z 1

1 4z z2 2 ,1 z 2

1, z 2

После дифференцирования получаем:

		0, z 1, z 2
			1	z
			1	z	, 1 z 0

		2		6

	z 1			z
f z F	z 1			z	,0	z 1

			2	6


			2	z	,1	z 2
					,1	z 2
			3	3
Построив график f z (см. рис. 26) убеждаемся, что:
		f z dz 1
		f z dz 1

Математическое ожидание непрерывной случайной величины (обозначается: M , m , M )

Определение: Пусть f x - плотность распределения ;


интеграл xf x dx	называется математическим ожиданием

если он сходится абсолютно. Если , - случайный вектор с f x, y - двумерной плотностью распределения, то:


M ξ	xfξη x, y dxdy , M η	yfξη x, y dxdy

Очевидно, что и в этом случае имеем:


M [ξ ]	xdx		fξη (x, y)dy	xfξ (x)dx , так как


		f x, y dy f x .

Аналогично:
M η
M η		ydy fξη x, y dx			yfη y dy .

Свойства M аналогичны свойствам, приведенным для дискретных случайных величин.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке семестр 1

#
13.05.20264.56 Mб0Agapov_G_I_Zadachnik_po_teorii_veroyatnostey.pdf
#
13.05.20261.95 Mб0Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF.pdf