
Дифференциальные_уравнения_часть_2
.docxУравнение допускающие понижение порядка
В случаях, где встречается несколько y в разных степенях, делаем замену наименьшей степени на z, и потом приравниваем y в наибольшей степени в производной степени от z.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
первая строчка —
это общее решение однородного, вторая
частное, третье исходное.
Тут типичная замена y^n на лямбду в ступени n, потом стараемся привести к дискриминанту, выносим общее число и тд. Если корни не равны,
То с1e^n1x + с2e^n2x
Если равны, то c1*e^n1x + x *с2*e^n2x
И самое интересное когда дискриминант меньше нуля
снизу эта формула,
далее зависит от задания, если требуют
найти частное решение, то мы ищем с1 и
с2, путем системы, где первая строчка —
это общее решение с подставленными
корнями, а вторая строчка — это общее
решение, но с производными от корней.
Решаем систему находим с1 и с2, подставляем
в общее решение.
Если надо найти исходное, то складываем общее решение с частным.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Тоже самое что и высшие только тут максимальная 2 степень у Y.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
9. Линейные однородные ДУ n-го порядка
10. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
Коэффициентами. Аналогично второму порядку.
Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
— это константная
формула, она зависит от
- если бы степень правой части совпадала
с имеющими лямбдами, то мы бы еще дописали
Х перед скобочками (Ах+В).
Решаем систему находим А и В – на самом деле эти а и в это всего лишь с1 и с2 как в пункте выше, тк в показанном примеру корни отличаются используется такая формула
,
про другие альтернативы я писал выше,
ну и потом складываем общее и частное.
Также как и у однородных уравнений.
Метод вариации произвольных постоянных
Крч эту поеботу мы делали в самом начале.
Думаю, схема вам известна, мы по такому принципу искали исходное уравнение,
Для закрепления покажу пример решения.
— Вот что забыл
отметить, обычно при решение неоднородных
уравнений правая часть уравнения не
имеет специального вида, поэтому
необходимо использовать универсальный
метод вариации. Вариация — это когда
мы заместо С1 пишем С1(х). Они являются
проварированными константами.
Советую посмотреть, там показывают, как решаются системы, подстановки и тд. Но думаю, понять принцип будет нетрудно.
https://www.youtube.com/watch?v=6LgXkIls8uQ
Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
https://www.youtube.com/watch?v=NjnGtGpZK9Y&t=4s
Крч так то тоже самое, только правая часть выглядит более устрашающе чем в предыдущем пункте, но разница только в том, что тут правая часть разбивается на 2 части, ищутся несколько частных решений и затем все складывается в общем.
Последний пункт тоже писать не буду потому что он будет аналогичным этому пункту, просто там максимальная степень будет n>2.