Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дифференциальные_уравнения_часть_2

.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
06.08.2024
Размер:
4.68 Mб
Скачать

Уравнение допускающие понижение порядка

В случаях, где встречается несколько y в разных степенях, делаем замену наименьшей степени на z, и потом приравниваем y в наибольшей степени в производной степени от z.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

первая строчка — это общее решение однородного, вторая частное, третье исходное.

Тут типичная замена y^n на лямбду в ступени n, потом стараемся привести к дискриминанту, выносим общее число и тд. Если корни не равны,

То с1e^n1x + с2e^n2x

Если равны, то c1*e^n1x + x *с2*e^n2x

И самое интересное когда дискриминант меньше нуля

снизу эта формула, далее зависит от задания, если требуют найти частное решение, то мы ищем с1 и с2, путем системы, где первая строчка — это общее решение с подставленными корнями, а вторая строчка — это общее решение, но с производными от корней. Решаем систему находим с1 и с2, подставляем в общее решение.

Если надо найти исходное, то складываем общее решение с частным.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Тоже самое что и высшие только тут максимальная 2 степень у Y.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

9. Линейные однородные ДУ n-го порядка

10. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными

Коэффициентами. Аналогично второму порядку.

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

— это константная формула, она зависит от - если бы степень правой части совпадала с имеющими лямбдами, то мы бы еще дописали Х перед скобочками (Ах+В).

Решаем систему находим А и В – на самом деле эти а и в это всего лишь с1 и с2 как в пункте выше, тк в показанном примеру корни отличаются используется такая формула

, про другие альтернативы я писал выше, ну и потом складываем общее и частное. Также как и у однородных уравнений.

Метод вариации произвольных постоянных

Крч эту поеботу мы делали в самом начале.

Думаю, схема вам известна, мы по такому принципу искали исходное уравнение,

Для закрепления покажу пример решения.

— Вот что забыл отметить, обычно при решение неоднородных уравнений правая часть уравнения не имеет специального вида, поэтому необходимо использовать универсальный метод вариации. Вариация — это когда мы заместо С1 пишем С1(х). Они являются проварированными константами.

Советую посмотреть, там показывают, как решаются системы, подстановки и тд. Но думаю, понять принцип будет нетрудно.

https://www.youtube.com/watch?v=6LgXkIls8uQ

Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

https://www.youtube.com/watch?v=NjnGtGpZK9Y&t=4s

Крч так то тоже самое, только правая часть выглядит более устрашающе чем в предыдущем пункте, но разница только в том, что тут правая часть разбивается на 2 части, ищутся несколько частных решений и затем все складывается в общем.

Последний пункт тоже писать не буду потому что он будет аналогичным этому пункту, просто там максимальная степень будет n>2.