
2 семестр вопросы №1-7
.docx1.Понятие функции:
Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.
Y=f(x)
X=D(f) – область определения функции f
Y=E(f) – область значений (множество значений) функции
Переменная х – аргумент (независимая переменная)
Переменная у – функция (зависимая переменная)
2.Числовые функции. График функции
Числовые функции — это отображение, которое каждому элементу некоторого множества (как правило, множества действительных чисел) ставит в соответствие единственное действительное число. Другими словами, числовая функция — это правило, по которому каждому аргументу из некоторого множества ставится в соответствие единственное число.
Основные понятия, связанные с числовыми функциями:
1. Область определения функции - множество всех значений аргумента, при которых функция определена.
2. Область значений функции - множество всех значений, которые может принимать функция.
3. Способы задания функции: аналитически (формулой), графически, таблично, (словесным описанием).
4. Виды функций: линейные, квадратичные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и др.
График функции:
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых (x, y) удовлетворяют уравнению y = f(x).
Свойства графика функции:
- График может иметь различные формы (прямая, парабола, гипербола, синусоида и т.д.) в зависимости от вида функции.
- График функции y = f(x) симметричен относительно прямой y = f(0), если f(-x) = f(x) для всех x из области определения.
- График функции y = f(x) симметричен относительно прямой x = a, если f(a-x) = f(a+x) для всех x из области определения.
- Возрастание/убывание функции определяется по наклону касательной к графику.
- Точки пересечения графика с осями координат дают значения, при которых f(x) = 0 или x = 0.
3.Способы задания функции
1. С помощью формул. Формула указывает, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у =2х – 3, у = 3х, где х – действительное число, задают функции, так как каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение у. С помощью одной и той же формулы можно задать сколь угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у = 2х–3, где хR, отлична от функции у = 2х–3, где хN. Действительно, при х = –5 значение первой функции равно –13, а значение второй при х = –5 не определено. Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что область определения функции является область определения выражения f(x). Например, если функция задана формулой у = 2х–3, то ее область определения считают множество действительных чисел. Если функция задана формулой у = 2 6 х , то ее область определения есть множество действительных чисел за исключением числа 2. С помощью графика.
Графики, приведенные на рисунке, задают функции, одна из которых имеет область определения промежуток [–2, 3], а вторая– конечное множество {–2,–1, 0, 1, 2, 3}.
3.С помощью таблицы.
4. Основные характеристики функции
Основные характеристики функции являются важными свойствами, которые описывают поведение и особенности функциональной зависимости.
1. Область определения функции:
— Это множество всех значений аргумента, при которых функция определена. Записывается как D(f)
2. Область значений функции:
— Это множество всех возможных значений функции.
- Записывается как E(f)
3. Монотонность функции:
- Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка, где x1 < x2, выполняется f(x1) < f(x2).
- Функция называется убывающей на промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка, где x1 < x2, выполняется f(x1) > f(x2).
- Функция называется монотонной, если она либо возрастает, либо убывает на всем промежутке.
4. Ограниченность функции:
- Функция ограничена сверху, если существует число M такое, что f(x) ≤ M для всех x из области определения.
- Функция ограничена снизу, если существует число m такое, что f(x) ≥ m для всех x из области определения.
- Функция ограничена, если она ограничена как сверху, так и снизу.
5. Четность/нечетность функции:
- Функция называется четной, если f(-x) = f(x) для всех x из области определения.
- Функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех x из области определения.
6. Периодичность функции:
- Функция называется периодической с периодом T > 0, если f(x + T) = f(x) для всех x из области определения.
7. Экстремумы функции:
- Точка x0 называется точкой локального максимума, если существует окрестность этой точки, в которой f(x) ≤ f(x0).
- Точка x0 называется точкой локального минимума, если существует окрестность этой точки, в которой f(x) ≥ f(x0).
8. Точки разрыва функции:
- Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция не определена или не имеет конечного предела.
5. Обратная функция
Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.
Отметим, что не всякая функция является обратимой. Например, к квадратичной зависимости типа у=х^2 невозможно найти обратную функцию, так как два значения независимой переменной x задают одно значение переменной y.
К функции f(x) можно найти обратную тогда и только тогда, когда соблюдено каждое из представленных условий:
f(x) — непрерывно возрастающая или убывающая на заданной области допустимых значений X;
одно значение переменной x задает только одно значение переменной y.
6. Сложная функция
Сложная функция (композиция функций) - это функция, которая получается путем последовательного применения двух или более функций.
Основные свойства сложной функции:
1. Пусть заданы две функции f(x) и g(x). Тогда их композиция f(g(x)) представляет собой новую функцию, которая ставит в соответствие каждому значению x функции g(x) значение f(g(x)).
2. Область определения сложной функции f(g(x)) — это множество тех значений x, для которых определена как функция g(x), так и функция f(g(x)).
3. Если функция g(x) взаимнооднозначна (инъективна) на своей области определения, то обратная функция g^-1(x) существует и сложная функция f(g(x)) может быть представлена в виде f(g^-1(x)).
4. Производная сложной функции f(g(x)) вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции:
(f(g(x)))'= f'(g(x))·g'(x)
5. Интеграл от сложной функции f(g(x)) вычисляется с помощью подстановки:
∫f(g(x))dx = ∫f(u)du, где u=g(x), du=g'(x)dx
7. Основные элементарные функции и их графики.
Основными элементарными функциями принято называть степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Ниже приведены графики этих функций, которые наглядно характеризуют их основные свойства.
Показательная функция y = αx, a>0, a 1;
2)Степенная функция y = x α , α ∈ R .
3) Логарифмическая функция y = logax, a> 0, a 1;
4) Тригонометрические функцииy = sinx, y = cosx,
5) y = tgx, y = ctgx
5) Обратные тригонометрические функции
y = arcsinx,
D (f)
= [-1; 1], E (f)
=
;
y = arccos
x,
D (f )
= [- 1; l], E (f)
=
;
y = arctg
x,
D (f)
= R, E (f)
=
;
y = arcctg
x,
D (f)
= R, E (f)
=
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных величин с помощью конечного числа арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.
Примерами элементарных функций являются:
у = ax + b–линейная функция a,b∈ R;
у = ax + bx + c– квадратичная функция a, b, с ∈ R;