Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 Семестр вопросы Математеша 1-12

.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
06.08.2024
Размер:
230.91 Кб
Скачать

1 Семестр вопросы Математеша

1. Матрица — это упорядоченный прямоугольный набор чисел или элементов, расположенных в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов.

1. Размерность матрицы: количество строк и столбцов в матрице

2. Элементы матрицы: числа или значения, расположенные внутри матрицы на пересечении строки и столбца.

3. Сложение матриц: для сложения двух матриц их размерности должны быть одинаковыми, и результатом сложения будет матрица, у которой каждый элемент представляет собой сумму соответствующих элементов исходных матриц.

4. Вычитание матриц: аналогично сложению, для вычитания двух матриц их размерности должны быть одинаковыми

5. Умножение матриц: умножение матриц возможно, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Результатом умножения будет новая матрица

6. Транспонирование матрицы: получение новой матрицы путем замены строк на столбцы (или наоборот)

7. Умножение матрицы на скаляр: умножение каждого элемента матрицы на константу.

8. Возведение матрицы в целую степень

2. Определитель — это число, которое определенно связано с данной квадратной матрицей. Определитель матрицы обозначается как det(A)

Свойства определителей:

  1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами

  2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1

  3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

  4. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю

  5. Общий множитель для любой строки – столбца можно выносить за знак определителя.

  6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю

  7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же

  8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится

3. Невырожденные матрицы — это квадратные матрицы, определитель которых не равен нулю, в противном случае – вырожденная.

Обратная матрица — это такая матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт единичную матрицу. Обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

Чтобы найти обратную матрицу нужно:

  1. Вычислить определитель

  2. Составляем союзную матрицу A*(Ну там миноры и тд)

  3. Полученную матрицу транспонируем

  4. И вот эту отстрапоненную матрицу делим на определитель

Ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. Он указывает на размерность максимального ненулевого минора матрицы.

Способы вычисления:

  1. Простейшие преобразования

  2. Перебором Миноров

  3. Окаймляющими минорами

  4. Метод Гаусса(хз)

4.Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Решение системы линейных уравнений:

- Единственное решение (система совместная и определенная).

- Бесконечно много решений (система совместная и неопределенная).

- Нет решений (система несовместная).

- Методы решения систем линейных уравнений:

- Метод Гаусса (исключение переменных).

- Метод Крамера (вычисление определителей).

- Матричный метод (использование обратной матрицы).

Теорема Кронекера-Капелли:

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Иными словами:

1. Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, то система линейных уравнений совместна (имеет решение).

2. Если ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы, то система линейных уравнений несовместна (нет решений).

3. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу переменных, то система линейных уравнений определенна (имеет единственное решение).

4. Если ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных, то система линейных уравнений неопределенна (имеет бесконечно много решений).

5.Метод Крамера — это один из способов решения систем линейных уравнений. Он основан на вычислении определителей и позволяет найти решение системы, если она совместна и определенна.

Как вычислять:

  1. Делаем Матрицу А(коэф. Слева) и Матрицу B (числа справа).

  2. Определитель основной матрицы

  3. Ищем вспомогательные определители(Столбец матрицы A заменяем столбцом матрицы B, далее вычисляем, а так повторяем пока все столбцы по одному разу не заменим и определители не вычислим)

  4. Вспомогательные определители делим на главный определитель, получившееся число и есть искомые значения.

6. Метод Гаусса (метод исключения переменных) — это один из основных методов решения систем линейных уравнений. Он позволяет привести систему к ступенчатому виду и найти ее решение.

Как вычислять:

1.Делаем расширенную матрицу

2.Упрощаем матрицу простейшими вычислениями

3.Ну и крч, то, что осталось, приравниваем к числу справа и вычисляем остальные переменные, всё.

Системы однородных линейных уравнений — это особый вид систем линейных уравнений, где свободные члены равны нулю.

Такая система имеет ненулевое решение когда ранг системы меньше числа неизв. Если равен, то нулевое и соответственно единственное.

Решать по сути тем же методом Гаусса.

7. Векторы - это математические объекты, которые обладают двумя основными свойствами: величиной (модулем) и направлением. Вектор можно представить в виде направленного отрезка.

Основные понятия, связанные с векторами:

1. Нулевой вектор (0) - вектор, у которого модуль равен 0 и направление не определено.

2. Единичный вектор (e) - вектор, у которого модуль равен 1.

3. Коллинеарные векторы - векторы, имеющие одно и то же направление.

4. Противоположные векторы - векторы, имеющие одинаковый модуль, но противоположное направление.

5. Компланарные векторы - векторы, лежащие в одной плоскости.

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов:

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)

2. Вычитание векторов:

a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, ..., aₙ - bₙ)

3. Умножение вектора на число (скаляр):

k·a = (k·a₁, k·a₂, ..., k·aₙ)

Свойства линейных операций над векторами:

1. Коммутативность сложения:

a + b = b + a

2. Ассоциативность сложения:

(a + b) + c = a + (b + c)

3. Существование нулевого вектора:

a + 0 = a

4. Существование противоположного вектора:

a + (-a) = 0

5. Дистрибутивность умножения на число:

k(a + b) = k·a + k·b

(k + l)·a = k·a + l·a

8.Осью называется прямая с выбранным направлением.

Проекцией вектора AB на ось “e” называется длина вектора A1B1, взятая со знаком +, если направление A1B1 совпадает с направлением “е”; и со знаком “-“ в противном случае.

(Геометрически проекция вектора на ось - это длина отрезка, отсекаемого на оси перпендикуляром, опущенным из конца вектора.)

Свойства:

  1. Проекция на некоторую ось суммы векторов равна сумме проекций векторов на ту же ось.

  2. Проекция вектора на ось равна длине проектируемого вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси

Разложение вектора по ортам координатных осей:

- Любой вектор a = (x, y, z) можно представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей:

a = x·i + y·j + z·k

- Здесь i, j, k - орты (единичные векторы) вдоль осей х, у, z соответственно.

- Коэффициенты x, y, z - проекции вектора a на соответствующие оси.

Направляющие косинусы:

- Направляющие косинусы вектора a = (x, y, z) - это косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями координатных осей.

- Обозначаются как:

cos(a,x) = x/|a|

cos(a, y) = y/|a|

cos(a, z) = z/|a|

- Модуль вектора |a| = √(x^2 + y^2 + z^2)

- Направляющие косинусы являются компонентами единичного вектора в том же направлении, что и вектор a.

9. Действия над векторами, заданными проекциями.

1. Линейные(То что в 7-ом вопросе)

2. Равенство векторов(Когда совпадаются у обоих x,y,z)

3.

4.  Для любой точки координаты вектора называются координатами точки . Вектор называется радиус-вектором точки , обозначается   , т.е.   . Следовательно, координаты точки – это координаты ее радиус-вектора

 или    .

Координаты точки записываются в виде    .

5.Координаты вектора: координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала

10. Скалярное произведение векторов и его свойства и приложения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов

11. Векторное произведение векторов и его свойства и приложения.

Векторным произведением двух векторов a и b будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

  • если векторы a и b коллинеарные, он будет нулевым;

  • он будет перпендикулярен и вектору a и вектору b;

  • его длина определяется по формуле: |c|=|a|*|b| * sin(a,b)

  • тройка векторов a, b, c имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i, j, k, вторая строка содержит координаты вектора a, а третья – координаты вектора b в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: 

СВОйства:

1.При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. 

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.   .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.   .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: 

12. Смешанное произведение векторов и его свойства и приложения.

Смешанным произведением векторов  называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

 Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов  равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение  равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны

Смешанным произведением трех векторов  называется число, равное векторному произведению первых двух векторов, , умноженному скалярно на вектор . Векторами это можно представить так

Так как векторы  на практике задают в координатной форме, то их смешанный произведение равен определитель, построенном на их координатам

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах  равен модулю смешанного произведения этих век торов.

2. Объем четырехугольной пирамиды равен трети модуля смешанного произведения

3. Объем треугольной пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения

4. Векторы  планарных тогда и только тогда, когда В координатах условие компланарности означает равенство нулю определителя