
Дифференциальные_уравнения_часть_1
.docxУравнения с разделяющимися переменными
P(x)·dx + Q(y)·dy = 0 (1)
(2)
Y штрих = dy/dx (3) – насколько я понимаю в этом и заключается смысл раздел. переменных.
Нам дается
уравнение вида:
Мы делаем
замену (3) и спокойно дифференцируем
получившиеся уравнение х с одной стороны
y с другой, затем у нас
получается какое-то уравнение с
константой, переносим х и у в левую часть
и получается уравнение общего вида.
Чаще всего в задание будет написано
найти уравнение частного вида, поэтому
нам также будет дано, что-то наподобие
этого:
Мы подставляем х = 1 и у = 2 и стараемся чтобы число справа и слева совпадало, для этого С будет иметь какое то частное значение и уже потом мы снова переносим х вправо, даем значение С и пишем что это уравнение является частным решением.
Пример оформления:
Однородные дифференциальные уравнения
Если говорить простыми словами что такое однородное дифференцирование, то подойдет следующее объяснение:
Представим, что у нас есть уравнение, в котором не получается отделить x от y, примером может служить наличие скобочек допустим ((x + y) dx + 7xydy = 0), вот если посмотреть на этот пример, так как нам сразу отсортировать х и у? Не ясно.
В таких случаях нам помогает однородное дифференцирование.
Раньше нам
встречалась следующая запись
Но нам будет
необходимо до множить х и у на
Теперь мы
по отдельности считаем Р и Q.Я
Я думаю, этот пример придаст наглядности, так что же мы получаем за счет этой подстановки?
Мы получаем степень и если она совпадает и в P и в Q, то эти функции являются однородными одного изменения n = 2 (n это степень).
Сейчас нам известно только то, что наше уравнение однородное, но это не дает решения проблемы сортировки x и y.
Давайте обратимся к следующему примеру:
Мы переместим часть с dx в правую часть. Затем вспомним что dy/dx это некая производная от y.
Ну и затем
мы приравниваем все уравнение к
.
у'=u'х + u
у=ux
Ну и используя формулы см выше. Решаем получившееся уравнение.
Ну и подведу небольшую черту, что продолжение решения примера такое же как и с разделяющими переменными только у нас будет не y, а u.
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Начну объяснение с Линейного дифференцированного уравнения первого порядка.
Он имеет следующий вид:
И
вот на этом моменте мы познакомимся с
подстановкой Бернули.
- потом подставляем эту формулу в
изначальное выражение.
Получится следующее выражение:
-
тут, наверное, добавлю, что из-за наличия
двух разных производных, мы решаем их
по отдельности, для начала относительно
V,
приравниваем к нулю, потому что получили
Уравнения
с разделяющимися переменными.
Типичная замена на dv/dx и дорешиваем эту часть.
А
вот и еб**ая финальная формула, учите,
как хотите,
Уравнение бернули, чуть отличается от линейного уравнения.
Это формула изначального уравнения.
мы
будем использовать следующую замену.
Решение то же что и в методе Бурнули, только тут у нас замена.
,
принцип решения тот же.
Вроде про это не писал, мб кто-то не знает, что такое теорема Коши. Это когда нам необходимо решить уравнение с поиском частного решения, то бишь изначально дан х и у, и после того, как вы находите общее уравнение, подставляете в него числа находим С – константу. После чего переписываем уравнение общего вида, только изменив C на получившееся число. ВСЕ!!!
Уравнение в полных дифференциалах.
Чтобы уравнение можно было назвать полным. Необходимо следующее условие:
Чтобы частное от P по y было равно частному Q по x.
Пример:
- М
просто любая точка на плоскости, чаще
всего мы берем ее как (0;0).
И используем ее в уравнение:
-
здесь ЛИБО берем в Q
(x0;
y)
и P
(x;
y),
либо в P
(x;
y0)
и Q
(x;
y)
– то есть просто заменяем x
или y
на 0? дифференцируем получившееся
уравнение определенного интеграла.
Давайте разберем на примере:
Ну
вот как упоминалось выше:
Получится
что-то типа такого:
Интегрирующий множитель
Советую посмотреть самим, тут есть свои нюансы.
https://www.youtube.com/watch?v=lt1rUzvsmFw