Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дифференциальные_уравнения_часть_1

.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
06.08.2024
Размер:
1.15 Mб
Скачать

Уравнения с разделяющимися переменными

P(x)·dx + Q(y)·dy = 0 (1)

(2)

Y штрих = dy/dx (3) – насколько я понимаю в этом и заключается смысл раздел. переменных.

Нам дается уравнение вида:

Мы делаем замену (3) и спокойно дифференцируем получившиеся уравнение х с одной стороны y с другой, затем у нас получается какое-то уравнение с константой, переносим х и у в левую часть и получается уравнение общего вида. Чаще всего в задание будет написано найти уравнение частного вида, поэтому нам также будет дано, что-то наподобие этого:

Мы подставляем х = 1 и у = 2 и стараемся чтобы число справа и слева совпадало, для этого С будет иметь какое то частное значение и уже потом мы снова переносим х вправо, даем значение С и пишем что это уравнение является частным решением.

Пример оформления:

Однородные дифференциальные уравнения

Если говорить простыми словами что такое однородное дифференцирование, то подойдет следующее объяснение:

Представим, что у нас есть уравнение, в котором не получается отделить x от y, примером может служить наличие скобочек допустим ((x + y) dx + 7xydy = 0), вот если посмотреть на этот пример, так как нам сразу отсортировать х и у? Не ясно.

В таких случаях нам помогает однородное дифференцирование.

Раньше нам встречалась следующая запись

Но нам будет необходимо до множить х и у на

Теперь мы по отдельности считаем Р и Q.Я

Я думаю, этот пример придаст наглядности, так что же мы получаем за счет этой подстановки?

Мы получаем степень и если она совпадает и в P и в Q, то эти функции являются однородными одного изменения n = 2 (n это степень).

Сейчас нам известно только то, что наше уравнение однородное, но это не дает решения проблемы сортировки x и y.

Давайте обратимся к следующему примеру:

Мы переместим часть с dx в правую часть. Затем вспомним что dy/dx это некая производная от y.

Ну и затем мы приравниваем все уравнение к .

у'=u'х + u

 у=ux

Ну и используя формулы см выше. Решаем получившееся уравнение.

Ну и подведу небольшую черту, что продолжение решения примера такое же как и с разделяющими переменными только у нас будет не y, а u.

Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли

Начну объяснение с Линейного дифференцированного уравнения первого порядка.

Он имеет следующий вид:

И вот на этом моменте мы познакомимся с подстановкой Бернули. - потом подставляем эту формулу в изначальное выражение.

Получится следующее выражение:

- тут, наверное, добавлю, что из-за наличия двух разных производных, мы решаем их по отдельности, для начала относительно V, приравниваем к нулю, потому что получили Уравнения с разделяющимися переменными.

Типичная замена на dv/dx и дорешиваем эту часть.

А вот и еб**ая финальная формула, учите, как хотите,

Уравнение бернули, чуть отличается от линейного уравнения.

Это формула изначального уравнения.

мы будем использовать следующую замену.

Решение то же что и в методе Бурнули, только тут у нас замена.

, принцип решения тот же.

Вроде про это не писал, мб кто-то не знает, что такое теорема Коши. Это когда нам необходимо решить уравнение с поиском частного решения, то бишь изначально дан х и у, и после того, как вы находите общее уравнение, подставляете в него числа находим С – константу. После чего переписываем уравнение общего вида, только изменив C на получившееся число. ВСЕ!!!

Уравнение в полных дифференциалах.

Чтобы уравнение можно было назвать полным. Необходимо следующее условие:

Чтобы частное от P по y было равно частному Q по x.

Пример:

- М просто любая точка на плоскости, чаще всего мы берем ее как (0;0).

И используем ее в уравнение:

- здесь ЛИБО берем в Q (x0; y) и P (x; y), либо в P (x; y0) и Q (x; y) – то есть просто заменяем x или y на 0? дифференцируем получившееся уравнение определенного интеграла.

Давайте разберем на примере:

Ну вот как упоминалось выше:

Получится что-то типа такого:

Интегрирующий множитель

Советую посмотреть самим, тут есть свои нюансы.

https://www.youtube.com/watch?v=lt1rUzvsmFw