Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пределы

.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
06.08.2024
Размер:
2.06 Mб
Скачать
  1. Числовая последовательность

Числовая последовательность – бесконечный набор действительных чисел   … 

  1. Предел числовой последовательности

Теорема. Если последовательность имеет предел, то он единственен, либо последовательность не имеет предела вообще.

Сходящая числовая последовательность является ограниченным числовым множеством.

По определению

Обратное утверждение неверно. Если последовательность ограничена, это не значит, что она сходящаяся.

  1. Предельный переход в неравенствах

  1. Предел монотонной ограниченной последовательности

  1. Число е. Натуральные логарифмы.

Натуральный логарифм (log base e): логарифм, основание которого равно числу e (приблизительно 2,71828). Натуральный логарифм числа y обозначается как ln (y) и определяется формулой: ln (y) = x, если e^x = y. Например, ln (e) = 1, так как e^1 = e.

  1. Предел функции

  1. Предел функции в точке.

  1. Односторонние пределы

  1. Предел функции при х стремящемся к бесконечности

    1. Бесконечно большая функция и бмф. Определения и основные теоремы

13. Связь между функцией, ее пределом и бмф

14. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Пример.  .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример.  .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

, если  .

Примеры.

  1. .

  2. .

15. признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция   при   предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 5.11 (о пределе промежуточной функции). Если функция   заключена между двумя функциями   и  , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если  , то  .

Теорему 3.11 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции   и  , функция   «следует за милиционерами».

Теорема 5.12 (о пределе монотонной функции). Если функция   монотонна и ограничена при   или при  , то существует соответственно её левый предел   или её правый предел  .

Следствие 5 Ограниченная монотонная последовательность   имеет предел.

16-17. Первый и второй замечательный предел

18. Сравнение бмф

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при   .

  • Если   , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

  • Если   , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

  • Если   , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (xэквивалентны при  .

19. Эквивалентные бм и основные теоремы о них

Опр. Бесконечно малые функции   и  называются эквивалентными, если  . Обозначают  .

Например:

 при  , так как  ;

 при  , так как  .

Приведем ещё примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

1) Покажем, что   при  . Используем для этого определение эквивалентных функций: 

2)   при  .  .

Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Пример:  .

Теорема 5.14 Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф.  есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то  — эквивалентные бесконечно малые.

Теорема 5.15 Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов, приведены в таблице.

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

(k>0)

в частности 

20. Применение эквивалентных бмф

Для раскрытия неопределённостей вида  часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. 

Пример 10. Найти  .

Решение: Так как tg 2х ~ 2хsin 3х ~ 3х при х → 0,

то  .

Пример 11. Найти  .

Решение: Обозначим  , изх → ∞ следует t → 0. Поэтому

.

Пример 12. Найти  .

Решение: Так как arcsin (х – 1) ~ (х – 1) при х → 1, то

.