Производная функции

Производная функции

1 Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о скорости прямолинейного движения

2. Задача о скорости химической реакции

3. Задача о силе электрического тока

Общая конструкция:

2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной

и нормали к кривой

Производной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический смысл

Если y = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл

Производная f’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

Нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной в точке касания.

3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х.

Th 1: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в ней непрерывна.

(Th 2 о необходимом и достаточном условии существования предела: функцию можно представить в виде ее предела и бесконечно малой функции.)

Док-во Th 1 (при доказательстве используется Th 2):

В обратную сторону Th 1 НЕ РАБОТАЕТ (то есть функция может быть непрерывна, но производная существовать не будет).

4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

5. Производная сложной и обратной функций

6. Производные основных элементарных функций

7. Гиперболические функции и их производные

8. Таблица производных

9. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

1) Неявные функции:

y = f(x) уравнение разрешимо относительно у, если функцию можно задать в явном виде.

Пример 1: у – x^2 = 0

у = x^2

Неявным заданием функции называется задание функции в виде F (x; y) = 0, не разрешимого относительно у.

Пример 2: sin(y) + 2^y + x^2 – 1 + y^2 = 0

Любую явную функцию можно записать как неявную, НО не наоборот.

Пример 3:

у = sin(x) - явно заданная функция

у - sin(x) = 0 - неявно заданная функция

Чтобы найти производную неявной функции надо продифференцировать это уравнение F (x; y) = 0 по х, рассматривая функцию у как функцию от х.

Пример 4:

2) Параметрически заданная функция:

10. Логарифмическое дифференцирование

11. Производные высших порядков явно заданной функции

Все производные выше первого порядка называются производными высших порядков.

12. Механический смысл производной второго порядка

13. Производные высших порядков неявно заданной функции

F (x, y) = 0

Продифференцировав это уравнение по х и решив относительно у’, находим производную первого порядка. Продифференцировав первую производную по х, получим вторую производную от неявной функции и туда подставляем у’.

14. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

15. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной на приращение аргумента.

16. Геометрический смысл дифференциала функции

17. Основные теоремы о дифференциалах

18. Таблица дифференциалов

19. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

20. Дифференциалы высших порядков

Исследование функций при помощи производных

1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Th 1(Ролль): если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах принимает равные значения: f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка С ∈ (a, b), в которой производная обращается в ноль, т.е. f’(c) = 0.

2. Правила Лопиталя

3. Возрастание и убывание функций

4. Максимум и минимум функций

Th: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой дельта-окрестности критической точки x₀ и при переходе через нее слева направо производная f’(х) меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка максимума, если с минуса на плюс, то x₀ – точка минимума.

Х₀ – критическая точка, если производная в этой точке равна нулю или не существует.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений:

1) Находим критические точки на (а, b).

2) Вычисляем значение функции в найденных точках.

3) Вычисляем значение функции на концах отрезка.

4) Выбираем наибольшее и наименьшее значение.

6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции f(x) называется выпуклым вниз(вверх) на (а, b), если он расположен выше(ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Th: если у = f(x) во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную (f’’(x) < 0), то график выпуклый вверх, если f’’(x) > 0, то выпуклый вниз.

Th (достаточные условия существования точки перегиба): если вторая производная f’’(x) при переходе через точку x₀, в которой она равна нулю или не существует, будет менять знак, то точка x₀ графика с абсциссой x₀ есть точка перегиба.

7. Асимптоты графика функции

Асимптотой называется прямая, расстояние до которой от точки на кривой, стремится к нулю при удалении от начала координат этой точки по кривой.

8. Общая схема исследования функции и построения графика

Алгоритм:

1) Найти область определения

2) Если можно, находим точки пересечения с осями

3) Найти интервалы знако-постоянства функции f(x) > 0 и f(x) < 0

4) Выяснить четность, нечетность, периодичность

5) Найти асимптоты !

6) Промежутки возрастная и убывания !

7) Найти экстремумы !

8) Найти точки перегиба и промежутки выпуклости !

! – важно