Числовые характеристики функций от случайных величин и векторов

Пусть – случайная величина с известным законом распределения, а- неслучайная (борелевская) функция, область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины. Тогдаматематическое ожидание и дисперсия случайной величины вычисляются (в случае их существования) по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и для других начальных и центральных моментов случайной величины .

Смысл приведенных формул состоит в том, что, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины достаточно знать только закон распределения случайного аргумента и не требуется знать закон распределения самой случайной величины.

Это правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных аргументов. Так, если случайная величина , где- неслучайная (борелевская) функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений случайного вектора, то

Свойства математического ожидания и дисперсии, используемые при решении приводимых ниже задач.

1. Для любых случайных величин , имеющих конечные математические ожидания,, и любых чисел

- свойство линейности

математического ожидания.

2. Для любых случайных величин , имеющих конечные дисперсии,, и любых чисел

,

где – корреляционный момент случайных величини(напомним, что),.

В частности, для двух случайных величин Х и и любых чисел

.

Если случайные величины ,являютсяпопарно некоррелированными (или независимыми), то

- свойство аддитивности дисперсии.

3. .

4. Неравенство Коши-Буняковского: .

5. Если случайные величины инекоррелированы (или независимы), то

.

Пример 1. Случайная величинараспределена равномерно на интервале. Найти плотность вероятностей случайной величины .

Решение. Заметим, что функция является монотонной и дифференцируемой на интервале, следовательно, для нахождения плотности вероятностей случайной величиныможно воспользоваться формулой

.

Из условия задачи следует, что

Поскольку , то .

Теперь легко записать выражение для плотности

Пример 2. Случайный вектор имеет плотностьвероятностей . Найти плотностьвероятностей случайной величины .

Решение. Зафиксируем некоторое значение и построим на плоскостимножествоточек, удовлетворяющих неравенству.(На рис. 2.13 областьG заштрихована.)

Рис. 2.13.

Запишем выражение для функции распределения

.

Дифференцируя последнее равенство по z, находим выражение для плотности

.

Пример 3. Найти плотность вероятностей случайной величины , еслии- независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрамиисоответственно:

Решение. Плотность разности двух независимых случайных величин определяется следующей формулой «свертки» (см. задачу композиции):

.

Заметим, что , если, а, если.

Пусть, тогда

.

Пусть , тогда

.

В итоге выражение для искомой плотности примет вид:

Пример 4. Случайный векторимеет следующие числовые характеристики:. Определить математическое ожидание случайной величины.

Решение. Воспользуемся свойствами 1 и 3 математического ожидания: .

Пример 5. На окружности радиуса , изображенной на рисунке 2.14, наудачу ставятся две точки, которые затем соединяются между собой и с центром окружности. Найти математическое ожидание площади полученного треугольника.

Решение. Так как в данном случае важно только взаимное расположение точек на окружности, то можно считать, что первая точка имеет фиксированные координаты . Тогда положение второй точки, случайно поставленной на окружности, полностью определяется случайным угломмежду положительным направлением осии радиус-вектором, проведённым во вторую точку (см. рисунок). Поскольку все значения углавозможны в пределах от 0 до, то можно считать, что случайная величинараспределена по равномерному закону. Поэтому

Рис. 2.14.

При фиксированных точках иплощадь треугольникаравна

Таким образом

.