2.2. Случайные векторы. Законы распределения и числовые характеристики. Условные законы распределения. Независимость случайных величин.

Совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве , называется -мерным случайным вектором и обозначается . Случайную величину,при этом называют-ой координатой случайного вектора. Функциявещественных переменных, определяемая для любогоравенством

,

называется функцией распределения случайного вектора или совместной (-мерной) функцией распределения случайных величин.

Двумерный случай (n = 2). Двумерный случайный вектор обычно обозначают , а его функция распределения определяется равенством:

Основные свойства функции распределения случайного вектора :

1) для любых.

2) является неубывающей и непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

3) .

4) .

5)

где и- функции распределения координатисоответственно.

Свойство 5) означает, что по функции распределения двумерного случайного вектора всегда можно найти одномерные (маргинальные) функции распределения его координат.

6) Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольниксо сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

Случайный вектор называетсядискретным, если множество его возможных значений конечно или счетно.

Закон распределения дискретного случайного вектора (двумерный дискретный закон распределения) задается таблицей:

			…		…
			…		…
			…		…
			…		…

в которой - значения случайного вектора,- вероятности, с которыми эти значения принимаются (здесь и везде далее предполагается, что, если не указаны пределы изменения индексов, то они принимают все свои возможные значения). При этом вероятностиудовлетворяютусловию нормировки:

.

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любую областьопределяется по формуле:

.

В частности, при получается следующее выражение для функции распределениядискретного случайного вектора:

.

Одномерные законы распределения каждой из случайных величин ив отдельности (маргинальные законы распределения) дискретного случайного вектораявляются дискретными и находятся по двумерному закону распределения следующим образом:

- производится суммирование вероятностей в-ой строке таблицы;

- производится суммирование вероятностей в-ом столбце таблицы.

Условный закон распределения случайной величины , являющейся координатой дискретного случайного вектора, при условии, что другая его координатаприняла некоторое фиксированное значение, определяется совокупностью условных вероятностей:

Аналогично, условный закон распределения координаты дискретного случайного вектора, при условии, что, определяется совокупностью условных вероятностей:

Случайный вектор называетсянепрерывным (имеющим непрерывный закон распределения или просто непрерывное распределение), если существует функция такая, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:

.

Функция при этом называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или совместной (двумерной) плотностью вероятностей случайных величини. Во всех точках, являющихся точками непрерывности двумерной плотности вероятностей, имеет место равенство:

.

Свойства плотности вероятностей случайного вектора :

1) ;

2) - условие нормировки;

3) Вероятность попадания непрерывного случайного вектора в любую (измеримую) областьопределяется формулой

;

4) Координаты непрерывного случайного вектора являются непрерывными случайными величинами с плотностями вероятностейсоответственно (маргинальные плотности вероятностей), определяемыми в точках непрерывности функцийиформулами:

.

Условной плотностью вероятностей случайной величины Х, являющейся координатой непрерывного случайного вектора , при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение, называется функция, определяемая равенством:

(при этом полагается, что , если).

Аналогично определяется условная плотность вероятностей координатынепрерывного случайного вектора, при условии, что:

.

(при этом полагается, что, если).

Случайные величины иназываютсянезависимыми, если для любой точки имеет место равенство:

.

Для независимости дискретных случайных величин инеобходимо и достаточно, чтобы для любыхи

.

Для независимости непрерывных случайных величин инеобходимо и достаточно, чтобы

для всех точек , являющихся точками непрерывности функцийи.

Важнейшими числовыми характеристиками двумерного случайного вектора являются:

• математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания случайных величини;

• дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии случайных величини;

• корреляционный момент случайных величин и:

.

Поскольку и, то можно считать, что случайный векторимеетдве важнейшие характеристики:

• математическое ожидание ;

• корреляционную матрицу

.

Математические ожидания и дисперсиивычисляются по обычным формулам через одномерные законы распределения случайных величини. Корреляционный моментвычисляется только через двумерный закон распределения:

если - дискретный случайный вектор, то

;

если - непрерывный случайный вектор, то

.

Случайные величины и, для которых корреляционный момент, называютсянекоррелированными. Из независимости случайных величин иследует их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Нормированный корреляционный момент

называется коэффициентом корреляции случайных величин и. Коэффициент корреляции удовлетворяет условиюи определяет степень линейной зависимости между случайными величинамии.

Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся так же, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.

Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величиныпри условии, что, называется величина

а условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что, - величина

Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величиныпри условии, что, и случайной величиныпри условии, что, определяются формулами:

;

.

Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.

Если - дискретный случайный вектор, то

;

.

Если - непрерывный случайный вектор, то

;

.

Говорят, что непрерывный случайный вектор распределен равномерно в (измеримой) области , если его плотность вероятностей имеет вид:

где – площадь области.

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеетдвумерный нормальный (гауссовский) закон распределения, если его плотность вероятностей имеет вид:

где – математическое ожидание вектора, и – среднеквадратические отклонения случайных величин и, а– их коэффициент корреляции.

Из вида плотности вероятностей двумерного гауссовского случайного вектора следует, что из некоррелированности его координат () следует ихнезависимость, так как в этом случае:

.

Таким образом, в гауссовском случае понятия независимости и некоррелированности эквивалентны.

Если - двумерный гауссовский случайный вектор, то условные математические ожиданияиявляются линейными функциями условия и определяются формулами:

;

;

а условные дисперсии иявляются постоянными величинами:

;

.

Все приведенные выше определения и формулы для двумерного случайного вектора легко обобщаются на случай-мерного случайного вектора. Приведем наиболее важные среди них, которые используются для решения приводимых ниже задач.

Случайный вектор называетсянепрерывным, если существует функция такая, что для любой точки, функция распределениядопускает представление:

.

При этом функция называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или совместной (многомерной,-мерной) плотностью вероятностей случайных величин. Во всех точках, являющихся точками непрерывности плотности вероятностей, имеет место равенство:

.

Свойства многомерной плотности вероятностей :

1) ;

2) - условие нормировки;

3) вероятность попадания случайного вектора в любую (измеримую) областьопределяется формулой:

;

4) если случайный вектор является непрерывным с плотностью вероятностей, то случайный векторпри любомтакже является непрерывным и имеет плотность вероятностей, определяемую формулой:

.

Условная плотность вероятностей «отрезка» векторапри условии, что случайные величиныприняли определенные значения, определяется формулой:

.

Случайные величины называютсянезависимыми (в совокупности), если для любой точки имеет место равенство:

,

где – функция распределения случайной величины.

Для независимости непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы

,

для всех точек непрерывности функций и.

Важнейшими числовыми характеристики -мерного случайного вектораявляются:

• математическое ожидание ;

• корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты пар координат:. Матрицаявляется симметрической неотрицательно определенной матрицей размераи при этом– дисперсия-ой координаты,.

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеетмногомерный нормальный (гауссовский) закон распределения, если его плотность вероятностей имеет вид:

,

где - математическое ожидание случайного вектора;- корреляционная матрица случайного вектора;- определитель корреляционной матрицы(предполагается, что);– элемент обратной матрицы.

Пример 1.Закон распределения случайного векторазадан таблицей:

	0	1	2
-1	0,1	0,2	0
0	0,3	0	0,1
1	0,1	0,2	0

Найти:

1) Законы распределения случайных величин и. Являются ли случайные величиныинезависимыми?

2) Корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины инекоррелированными?

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинаприняла значение, равное 0; вычислитьи.

Решение: 1) Для случайной величины вероятности её значенийнаходятся суммированием вероятностейв-ой строке таблицы ():

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1	0	1
	0,3	0,4	0,3

Вероятности значений случайной величины находятся суммированием вероятностейв-ом столбце таюлицы ():

.

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	1	2
	0,5	0,4	0,1

Условием независимости случайных величин иявляется равенство:

, для всех .

Поскольку в данном случае

, то

и, следовательно, случайные величины изависимы.

2) Найдем математические ожидания случайных величин и, используя одномерные законы распределения:

;

.

Найдем далее дисперсии ипо одномерным законам распределения:

;

.

Корреляционный моментнаходится только по совместному закону распределения случайных величини:

(отсутствующие слагаемые равны 0).

Поскольку корреляционный момент , то случайные величиныиявляются некоррелированными.

Корреляционная матрица имеет вид:

.

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинаопределяется совокупностью условных вероятностей:

,

которые равны: .

Записывается условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинав виде таблицы:

	0	1	2
		0

Найдем условное математическое ожидание :

.

Условная дисперсия вычисляется по формуле:

.

Пример 2. Плотность вероятностей двумерного случайного вектораимеет вид:

Найти:

1. коэффициент ;

2. функцию распределения;

3. плотности вероятностей координат и;

4. условные плотности вероятностей и;

5. математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора ;

6. вероятность

Являются ли случайные величины инезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

Решение: а) Коэффициент определяется из условия нормировки:

.

В данном случае это условие означает, что

.

б) Функция распределения связана с двумерной плотностью вероятностей соотношением:

.

При имеем: .

При имеем: .

При и имеем: .

Заметим, что в данной области в соответствии со свойством 5) совпадает с функцией распределенияслучайной величины.

При иимеем:

.

В данной области совпадает с функцией распределенияслучайной величины.

При иимеем:.

Окончательно для функции распределения получаем выражение:

в) Найдём плотности вероятностей координат и:

г) Условные плотности вероятностей инаходятся по формулам:

.

В данном случае

д) Найдём математические ожидания ии дисперсиии, воспользовавшись одномерными законами распределения:

;

в силу симметрии.

;

в силу симметрии.

Корреляционный момент находится по совместной плотности вероятностей случайных величини:

.

Корреляционная матрица вектора имеет вид:

.

е) Вероятность вычисляется по формуле:

,

где область .

Интегрируя, получаем:

.

Поскольку , то случайные величиныиявляютсязависимыми. Корреляционный момент , поэтому случайные величины являютсякоррелированными.

Задачи

2.2.1.Дана функция распределенияслучайного вектора. Найти вероятность.

2.2.2. Задана функция распределения случайного вектора. Определить вероятности попадания случайной точкив заштрихованные области на плоскости, изображенные на рис. 2.9:

а) б)

в) г)

Рис. 2.9.

2.2.3.ПустьХ– случайная величина с функцией распределения.Найти функцию распределения случайного вектора(X,X).

2.2.4.ПустьХ– случайная величина с функцией распределения.Найти функцию распределения случайного вектора(X,|X|).

2.2.5. Пусть – независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения. Положим ,. Найти функции распределения случайных величинии функцию распределения случайного вектора.