Задачи Функции от случайных величин и векторов

2.3.1. Дискретная случайная величина имеет закон распределения

	-2	-1	1	2
	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.2. Дискретная случайная величина имеет закон распределения

	0
	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.3. Случайная величина имеет закон распределения ,. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины.

2.3.4. Случайная величина имеет закон распределения ,Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины.

2.3.5. Случайная величина имеет закон распределения ,Найти закон распределения случайной величины.

2.3.6. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.7. Случайная величина равномерно распределена на интервале. Найти плотностивероятностей случайных величин: а) ; б); в) и построить их графики.

2.3.8. Случайная величина равномерно распределена на интервале . Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.9. Пусть – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке . Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.10. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Найти плотностивероятностей случайных величин: а) ;

б) ; в) ; г); д) .

2.3.11. Случайная величина распределена по закону. Найти: а) плотность вероятностей случайной величины при; б) плотностьвероятностей случайной величины при произвольных и .

2.3.12. Случайная величинараспределена по закону. Найти: а) закон распределения случайной величины

б) плотность вероятностей случайной величины и .

2.3.13. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью

.

Найти плотности вероятностей случайных величин: а) ;

б) .

2.3.14. Случайная величина имеет распределение Коши. Доказать, что случайные величины , , также имеют распределение Коши.

2.3.15. Задана плотность вероятностей случайной величины . Найти плотность вероятностей случайной величины , если: а) ; б); в); г).

2.3.16. Задана функция распределения случайной величины . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.17. Задана функция распределения случайной величины . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.18. Диаметр круга – случайная величина , которая равномерно распределена на отрезке . Найти функцию распределения площади круга.

2.3.19. Пусть – случайная величина с непрерывной функцией распределения , и . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.20. Независимые дискретные случайные величины и имеют законы распределения:

	10	12	16			1	2
	0,4	0,1	0,5			0,2	0,8

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.21. Совместное распределение случайных величин и Y задано таблицей

	-1	1
-1
0
-1

Найти: а) совместный закон распределения случайных величини; б) закон распределенияслучайной величины; в) закон распределенияслучайной величины.

2.3.22. Пусть величина принимает значения с вероятностями соответственно, а величина принимает значения с вероятностями . Величины и независимы. Найти распределение вероятностей случайной величины .

2.3.23. Дискретная случайная величина принимает значения -1,1 с вероятностямии, а случайная величинаявляется непрерывной и не зависит от случайной величины. Найти закон распределения случайной величины, если случайная величинараспределена

а) по равномерному закону

б) по равномерному закону

в) по показательному закону

г) по нормальному закону

д) по закону с плотностью вероятностей

2.3.24. Случайная величина распределена равномерно на отрезке , а случайная величина имеет показательное распределение с плотностью вероятностей

Величины и независимы. Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.25. Пусть и – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.26. Случайные величины инезависимы и имеют равномерные законы распределенияисоответственно. Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.27. Случайные величины ,инезависимы и имеют равномерное распределение на отрезке. Найти плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.28. Случайные величины и независимы и равномерно распределены на отрезке . Найти плотностьвероятностей случайных величин:

а) ; б); в).

2.3.29. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют показательное распределение с параметром . Найти: а) плотностьвероятностей случайной величины ; б) плотностьвероятностей случайной величины .

2.3.30. Пусть и – независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.31. Найти плотность вероятностей случайной величины , если задана плотность вероятностей случайного вектора .

2.3.32. Определить плотность вероятностей случайной величины , если: а) задана плотность вероятностей случайного вектора ; б) и – независимые нормальные случайные величины с математическими ожиданиями, равными , и дисперсиямиисоответственно.

2.3.33. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют показательное распределение с параметром . Найти функцию распределения случайной величины.

2.3.34. Случайные величины и независимы и имеют плотности вероятностей

Доказать, что случайная величина имеет нормальное распределение.

2.3.35. Случайные величины и имеют нормальное распределение и независимы. Доказать, что отношение имеет распределение Коши.

2.3.36. Пусть – нормальный случайный вектор с плотностью вероятностей

Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.37. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину , распределенную равномерно в интервале, чтобы получить случайную величину, распределенную по показательному закону с плотностьювероятностей

?

2.3.38. Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью вероятностей.

Каким функциональным преобразованием можно превратить ее в случайную величину, распределенную по закону Коши:

?

2.3.39. Имеются две случайных величины: с плотностьювероятностей ис плотностьювероятностей . Известно, что случайная величинапредставляет собой монотонную функцию от случайной величины:. Найти вид функции. (Рассмотреть отдельно случаи монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции).

2.3.40. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют нормальные распределения . Доказать, что случайные величины и независимы.

2.3.41. Пусть и – независимые случайные величины, имеющие показательные распределения с параметрами исоответственно. Доказать, что случайные величины и независимы.

2.3.42. Пусть и – независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону . Показать, что случайные величины и независимы.

2.3.43. Пусть – независимые случайные величины, имеющие гауссовские распределения . Пусть и . Доказать, что и независимы тогда и только тогда, когда .

2.3.44. По плотности вероятностей случайного вектора найти плотность вероятностей случайного вектора , если

,

,

2.3.45. Пусть –случайный вектор, имеющий нормальное распределение .Найти плотность вероятностей случайного вектора , еслии,где - действительное число. При каком случайные величины и будут независимы?

_2.3.46. Определить _{плотность вероятностей длины радиус-вектора, если сам вектор имеет нормальное распределение с плотностью}

.

2.3.47. Координаты случайной точки на плоскости подчинены нормальному закону распределения с плотностью вероятностей

.

Определить совместную плотность вероятностей полярных координат этой точки.

2.3.48. Точка P равномерно распределена в круге радиусом R. Пусть – расстояние от точки до центра круга. Найти функцию распределения и плотность вероятностей случайной величины . Найти и . Вычислить и .

2.3.49. На отрезок наугад брошены две точки. Пусть – расстояние между ними. Найти функцию распределения случайной величины и вычислить ,,.

2.3.50. Случайная точка в пространстве подчинена нормальному закону распределения с плотностью

=.

Определить совместную плотность вероятностей сферических координат этой точки .

2.3.51. Дискретные случайные величины независимы и распределены по законам Пуассона с параметрамисоответственно. Показать, что их сумматакже распределена по закону Пуассона с параметром.

2.3.52. Пусть – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром >0. Доказать, что случайная величина имеет плотность вероятностей

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Эрланга.

2.3.53. Пусть случайные величины независимы и имеют нормальное распределение . Доказать, что плотность вероятностей случайной величины равна

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением хи-квадрат с n степенями свободы.

2.3.54. Пусть – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение . Доказать, что плотность вероятностей случайной величины равна

.

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Стьюдента с n степенями свободы.

2.3.55. Найти плотность вероятностей случайной величины , где и – независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат с и степенями свободы соответственно.

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Фишера с степенями свободы.

2.3.56. Пусть – гауссовский вектор с и корреляционной матрицей . Пусть – некоторая числовая матрица размерности nm. Показать, что вектор также гауссовский.

2.3.57. Пусть – сумма независимых случайных величин , каждая из которых имеет показательное распределение с параметром , . Доказать, что с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда

.