2.3. Функции от случайных величин и векторов Законы распределения функций от случайных величин

Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями. Тогда для произвольной функции, область определения которой содержит множество возможных значений величины, случайная величинаявляется дискретной и ее возможными значениямиявляются различные среди значений. При этом вероятностизначенийопределяются по формуле:

,

то есть необходимо сложить вероятности тех значений , для которых.

Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а–монотонная в области возможных значений случайной величины Х и дифференцируемая функция, то случайная величина является непрерывной и ее плотность вероятностейопределяется по формуле:

,

где – функция, обратная к функции.

Если дифференцируемая функция не является монотонной в области возможных значений случайной величины , то

,

где – функция, обратная к сужению функциина-й промежуток монотонности.

Законы распределения функций от случайных векторов

Пусть – двумерный случайный вектор с заданным законом распределения и случайная величина, где– неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора.

Если –дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями, то– дискретная случайная величина и ее возможными значениямиявляются различные среди значений. При этом вероятности значенийаналогично одномерному случаю определяются по формуле:

.

Если –непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей , тоявляется непрерывной случайной величиной, если функциядифференцируема по каждому из своих аргументов. При этом функция распределенияслучайной величинынаходится по формуле:

,

а плотность вероятностей находится дифференцированиемпо.

Если – неслучайная векторная функция, то в результате функционального преобразования случайного вектораполучается также двумерный случайные вектор. При этом, если– дискретный случайный вектор, тотакже будет дискретным случайным вектором при произвольной функциии закон его распределения находится аналогично скалярному случаю. Если– непрерывный случайный вектор, а преобразованиеявляется взаимнооднозначным и существует якобиан обратного преобразования:

,

то случайный вектор будет непрерывным и его плотность вероятностейнаходится по формуле:

.

В общем случае, если –-мерный непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностейи– неслучайная вектор-функция со значениями в(), то плотность вероятностей преобразованного случайного вектора

находится следующим образом:

если и преобразованиевзаимнооднозначно, то

,

где – якобиан обратного преобразования ;

если , и уравнениеимеет единственное решение относительно вектора, состоящего из каких-нибудькоординат вектора, то

,

где – якобиан обратного преобразования .

Задача композиции.

Часто на практике возникает задача определения закона распределения случайной величины , являющейся суммой координат случайного вектора, закон распределения которого известен.

Если - дискретный случайный вектор, принимающий значенияс вероятностями, то– дискретная случайная величина и ее возможными значениямиявляются различные среди значений. При этом вероятности значенийопределяются по формуле:

.

Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, то случайная величинаявляется непрерывной и имеет плотность вероятностей, определяемую формулой:

.

Если дополнительно известно, что координаты случайного вектора являютсянезависимыми случайными величинами, то:

• случайная величина является дискретной, еслии- дискретные случайные величины, и имеет закон распределения

,

где вероятность , еслини при какомj, и аналогично вероятность , еслини при какомi;

• случайная величина является непрерывной, еслии- непрерывные случайные величины, и имеет плотность вероятностей

,

где и- плотности вероятностей случайных величинисоответственно;

• случайная величина является непрерывной, если- дискретная а- непрерывная случайные величины, и имеет плотность вероятностей

,

где и- значения случайной величиныи соответствующие им вероятности,- плотность вероятностей случайной величины.

Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин называется задачей композиции законов распределения.