Непрерывные случайные векторы

2.2.17. Задана функция распределения случайного вектора:

Найти: а) плотность вероятностей вектора; б) плотности вероятностей координати. Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.18.Задана функция распределения случайного вектора:

Найти: а) плотность вероятностей вектора; б) плотности вероятностей координати; в) вероятность попадания случайного векторав область, задаваемую неравенствами. Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.19.Задана функция распределения случайного вектора:

Найти: а) плотность вероятностей вектора; б) плотности вероятностей координати; в) вероятность попадания векторав треугольник с вершинами в точках,,. Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.20. Функция распределения непрерывного случайного вектора имеет вид:

Найти: а) плотность вероятностей вектора; б) плотности вероятностей координатии определить, являются случайные величиныинезависимыми или нет; в) математическое ожидание вектора; г) вероятность попадания векторав область, изображенную на рис. 2.10.

Рис. 2.10.

2.2.21.Определить плотность вероятностей, математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора , если его функция распределения имеет вид:

2.2.22. Функция распределения случайного вектора имеет вид:

Найти одномерные законы распределения случайных величин и. Являются ли случайные величиныинезависимыми?

2.2.23.Случайный векторимеет плотность вероятностей:

.

Найти: а) коэффициент A; б) функцию распределения вектора ; в) плотности вероятностей координати; г) вероятность попадания случайного векторав квадрат, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину равную 2. Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.24.Дана плотность вероятностей случайного вектора:

Найти: а) функцию распределения вектора ; б) плотности вероятностей координати; в) математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора . Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.25. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределениявектора; в) плотности вероятностей координатии определить, являются ли случайные величиныинезависимыми; г) вероятность; д) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора.

2.2.26.Плотность вероятностей случайного вектораравна:

Доказать, что случайные величины XиYявляются независимыми. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного вектора.

2.2.27.Плотность вероятностей случайного вектораравна:

Доказать, что случайные величины X иYявляются независимыми. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайного вектора.

2.2.28.Плотность вероятностей случайного вектораравна:

Найти плотности вероятностей координат и. Являются ли случай-ные величиныинезависимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.29. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

Найти: а) коэффициент ; б) вероятность попадания векторав первый квадрант плоскости; в) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора.

2.2.30. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

.

Определить коэффициент A, математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора.

2.2.31.Дана плотность вероятностей случайного вектора:

.

Определить: а) коэффициент ; б) одномерные плотности вероятностей; в) условные плотности вероятностей; г) первые и вторые моменты случайного вектора.

2.2.32.Случайный векторраспределен с постоянной плотностью внутри квадрата с вершинами в точкахA(0;0),B(0;a),C(а;a),D(a;0).

Написать выражения для плотности вероятностей и функции распределениявектора. Определить, являются ли случайные величиныинезависимыми. Найти математическое ожидание случайного вектораи вероятность.

2.2.33.Случайный векторраспределен равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2aи 2b, параллельными координатным осям.

Найти плотность вероятностей и функцию распределенияслучайного вектора. Определить, зависимы или нет координаты вектораи. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного вектора.

2.2.34.Случайный векторравномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции случайных величини.

2.2.35.Случайный векторравномерно распределен внутри прямоугольного треугольника с вершинами в точкахA(0;0),B(0;8),C(8;0).

Найти плотность вероятностей вектора . Найти одномерные плотности вероятностей, математические ожидания и условные плотности вероятностей координатXиY.

2.2.36. Случайный векторимеет постоянную плотность вероятностей внутри квадрата с диагоналями, совпадающими с осями координат и равными 2.

Написать выражение для плотности вероятностей вектора, плотностей вероятностей,его координат и условных плотностей вероятностей. Зависимы или независимы случайные величиныXиY? Коррелированны они или нет? Вычислить вероятность.

2.2.37. Случайный вектор распределен равномерно в круге радиуса R с центром в начале координат. Доказать, что случайные величины X и Y зависимы, но некоррелированы.

2.2.38. Случайный вектор распределён равномерно внутри шара радиуса. Написать выражения для плотности вероятностейвектора, плотностей вероятностей,иего координат, а также для условной плотности вероятностей. Вычислить математическое ожиданиеи дисперсию.

2.2.39. Поверхность распределения случайного вектора, представляет собой прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (см. рис. 2.11), а высота равна.

Рис. 2.11.

Определить радиус цилиндра . Найти плотности вероятностей координатиусловные плотности вероятностейи; корреляционную матрицу. Являются ли случайные величиныинезависимыми? Являются ли случайные величиныинекоррелированными?

2.2.40. Поверхность распределения случайного вектора, представляет собой круговой конус (см. рис. 2.12), основанием которого служит круг радиусас центром в начале координат. Вне этого конуса плотность вероятностейравна нулю.

а) Написать выражение для плотности вероятностей ;

б) Найти плотности вероятностей координат и

в) Найти условные плотности вероятностей и;

г) Определить, являются ли случайные величины инезависимыми;

д) Определить, являются ли случайные величины инекоррелированными.

Рис. 2.12.

2.2.41. Известны математические ожидания двух нормальных случайных величин и их корреляционная матрица

.

Написать выражение для плотности вероятностей случайного вектора .

2.2.42. Заданы следующие характеристики двумерного нормального случайного вектора : математические ожиданияи корреляционная матрица

.

Написать выражение для плотности вероятностей вектора.

2.2.43. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

.

Найти коэффициент с и корреляционную матрицу вектора .

2.2.44. Плотность вероятностей двумерного случайного вектора имеет вид:

.

Найти плотность вероятностей случайной величиныи основные числовые характеристики вектора.

2.2.45. Случайный вектор имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей вида::

.

Определить: а) плотности вероятностей каждой из координат вектора ; б) условные плотности вероятностейи; в)условные математические ожидания и дисперсии.

2.2.46. Случайный вектор распределен по нормальному закону с параметрами ,. Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрь области D, ограниченной эллипсом .

2.2.47. Координаты точек на плоскости являются независимыми случайными величинами и распределены по нормальным законам с параметрамиисоответственно. Найти радиус круга с центром в точке, вероятность попадания в который равна 0,997.

2.2.48. Случайный вектор распределен по нормальному закону распределения с параметрами:Написать уравнение эллипса с центром в точкеи полуосями, вероятность попадания случайного векторав который равна 0,9.

2.2.49. Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели, зона поражения которой представляет собой круг радиуса с центром в начале координат. Рассеивание точки попадания снаряда нормальное с параметрамиСколько выстрелов нужно произвести, чтобы поразить цель с вероятностью не меньшей 0,95?

2.2.50. Трехмерный нормальный случайный вектор имеет математическое ожиданиеи корреляционную матрицу:

.

Написать выражение для плотности вероятностей случайного вектора .

2.2.51.Случайный векторимеет плотность вероятностей:

.

Найти плотности вероятностей ислучайных векторов и соответственно.

2.2.52. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами , . Случайная величина Y распределена равномерно на интервале . Написать выражение для плотности и функции распределения вектора .

2.2.53. Случайные величины инезависимы и распределены следующим образом:- по показательному закону с параметром,- по равномерному закону на интервале.

Найти вероятности и.

2.2.54. Случайные величины инезависимы и распределены каждая по показательному закону с параметрамиисоответственно. Найти вероятность

2.2.55. Величины независимы и имеют нормальные законы распределения соответственно. Найти:

а) ; б) .

2.2.56. Пусть – случайный вектор, у которого координата X распределена по показательному закону с параметром : ; а координата Y при заданном значении распределена по показательному закону с параметром x: .

Найти плотность вероятностей вектора , плотность вероятностей случайной величины Y, условную плотность вероятностей .

2.2.57. Случайная величина X – дискретная величина с двумя значениями и , имеющими вероятности и . Случайная величина Y – непрерывная величина, ее условным распределением при служит нормальный закон с математическим ожиданием, равным, и дисперсией . Найти функцию распределения вектора . Найти плотность вероятностей случайной величины Y.

2.2.58. Для случайного вектора известны: плотность вероятностей случайной величины Y, условное математическое ожидание и условная дисперсия . Определить MX и DX.

2.2.59. Коэффициент корреляции случайных величин X и Y равен единице. Может ли случайный вектор иметь плотность вероятностей?

2.2.60. Пусть и – две плотности вероятностей двумерных гауссовских распределений на плоскости с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и равными коэффициентами корреляции. Доказать, что: а) функция является плотностью вероятностей некоторого случайного вектора ; б) вектор не является гауссовским; в) каждая из величин X и Y имеет гауссовское распределение с параметрами .

2.2.61. Пусть – нечетная непрерывная функция на интервале, которая равна нулю вне промежуткаи. Пусть. Доказать, что: а) функция является плотностью вероятностей некоторого случайного вектора ; б) вектор не является гауссовским; в) каждая из величин X и Y имеет гауссовское распределение.