Непрерывные случайные величины

2.1.33. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей вида:

а) Найти коэффициент и построить график ;

б) найти функцию распределения и построить ее график;

в) вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала;

г) найти моду и медиану распределения случайной величины Х;

д) вычислить математическое ожидание и дисперсию.

2.1.34. Случайная величина имеет плотность вероятностей, изображенную на рис. 2.6 (закон распределения Симпсона или закон равнобедренного треугольника на интервале ):

Рис. 2.6.

Найти:

а) параметр и написать выражение для плотности вероятностей;

б) функцию распределения и построить её график;

в) числовые характеристики случайной величины :;

г) моду и медиану распределения случайной величины Х;

д) вероятность попадания случайной величины в интервал.

2.1.35. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей:

Найти:

1) коэффициент и построить график;

2) функцию распределения и построить её график;

3) вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал;

4) моду распределения;

5) медиану распределения;

6) математическое ожидание и дисперсию.

2.1.36. Дана функция

При каком значении функцияявляется плотностью вероятностей случайной величины? Найти функцию распределенияи построить графикии. Найти вероятность попадания случайной величиныв интервал. Найти математическое ожиданиеи среднее квадратическое отклонение.

2.1.37. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид:

Найти коэффициент a, медиану и дисперсию случайной величины . Вычислить вероятность того, что уклонение величины от ее математического ожидания будет не более 0,5.

2.1.38. Случайная величина распределена по закону прямоугольного треугольника в интервале(см. рис. 2.7.):

Рис. 2.7.

Требуется:

1) написать выражение для плотности вероятностей ;

2) найти функцию распределения и построить её график;

3) найти вероятность ;

4) найти медиану распределения;

5) найти числовые характеристики случайной величины :.

2.1.39. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид:

Найти:

а) коэффициент A и функцию распределения;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

2.1.40. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины , имеющей в интервалеплотность вероятностей.

2.1.41. Случайная величина X имеет плотность вероятностей (закон распределения Коши):

Найти:

а) коэффициент А; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины в интервал;

г) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

2.1.42. Случайная величина имеет плотность вероятностей (закон распределения Лапласа):

.

Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения и построить графики и; в) и.

2.1.43. Случайная величина имеет функцию распределения:

Найти:

а) плотность вероятностей величины и построить графики и;

б) вероятность ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) моду и медиану распределения случайной величины Х.

2.1.44. Найти плотность вероятностей, математическое ожидание, дисперсию и медиану распределения случайной величины , имеющей функцию распределения:

2.1.45. Непрерывная случайная величина имеет функцию распределения вида:

Найти:

1) коэффициент ;

2) плотность вероятностей и построить графикии;

3) вероятность попадания случайной величины в интервал

4) числовые характеристики и;

5) моду и медиану распределения величины Х.

2.1.46. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид (закон распределения арксинуса):

Определить:

1) параметры и;

2) плотность вероятностей ;

3) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала;

4) числовые характеристики и.

2.1.47. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти моду и медиану распределения величиныХ.

2.1.48. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид (закон распределения Симпсона на отрезке):

Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.

2.1.49. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния от точки до центра круга.

2.1.50. Случайная величина , представляющая собой расстояние от точки попадания до центра мишени, имеет плотность вероятностей (закон распределения Релея):

Найти:

а) коэффициент и построить график;

б) моду распределения случайной величины Х;

в) и;

г) вероятность того, что в результате выстрела расстояние от точки попадания до центра мишени окажется меньше, чем мода.

2.1.51. Плотность вероятностей случайной величины представляет собой полуэллипс с полуосямии(см. рис. 2.8). Величинаизвестна.

Рис. 2.8.

Найти: 1) величину ; 2)и; 3) функцию распределения.

2.1.52. Доказать, что между центральными и начальными моментами первых четырёх порядков имеют место соотношения:

;

;

;

.

Вывести общую формулу:

.