Др-, що допускають пониження порядку

1. Рівняння виду розв’язується послідовним інтегруванням

, …

.

Приклад.

Відповідь: .

2. ДР-, що не містять шуканої функції.

Позначимо , отримаємо рівняння, що має порядок наодиниць менше.

Приклад.

Нехай , тодіі рівняння приймає вигляд- однорідне ДР

Відповідь: .

3. ДР, що не містять незалежної змінної .

Застосуємо підстановку ,,

, …

Таким чином порядок рівняння знижується на 1.

Приклад.

Це рівняння типу .

, ,

, ,.

Лінійні др-

Рівняння виду називаєтьсялінійним ДР-, де - коефіцієнти ДР,- неперервна в інтервалі.

Якщо , то рівняння однорідне, інакше – неоднорідне.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти частинний розв’язок рівняння , що задовольняє початкові умови: при, де- певні числа.

Теорема (про існування та єдність розв’язку). ДР-має єдиний розв’язок, що задовольняє початкові умови, якщо: 1) права частина є неперервна функція змінних; 2) частинні похідні по зміннимобмежені.

Внаслідок того, що за означенням ЛДР-функціїнеперервні на деякому відрізку, а тому і обмежені на ньому, і частинні похідні по зміннимякраз і рівні цим функціям, то ЛДР-задовольняє умови Коші. І тому для кожної початкової умови рівняння має єдиний розв’язок.

Властивості однорідних лінійних др

Очевидно, що серед розв’язків рівняння завжди є частинний розв’язок . Цей розв’язок є тривіальним і не береться до уваги при знаходженні розв’язків.

Надалі будемо розглядати ДР-2.

Теорема 1. Якщо є частинний розв’язок ЛОДР-2, то і, де, є також розв’язком цього рівняння.

Теорема 2. Якщо іє розв’язками ЛОДР-2, то їх суматакож є розв’язком цього рівняння.

Наслідок. Якщо іє розв’язками ЛОДР-2, то, дедовільні сталі, також є розв’язком цього рівняння.

Ці теореми можна легко розповсюдити на випадок . Функціяє розв’язком ЛОДР-при умові, що кожна з функційтакож є розв’язком цього рівняння. Проте не завжди функція такого виду є загальним розв’язком.

Наприклад, для ДР-2 маємо 2 розв’язки і, то може статися, що фактично функція-розв’язок має тільки одну довільну сталу:. Тоді,.

Або при :, Маємо.

Як буде доведено далі, функція буде загальним розв’язком ЛОДР-, коли частинні розв’язки цього рівняннязадовольняють певні умови.

Означення. Якщо функції ,, пов’язані співвідношенням, де- деякі сталі, серед яких є відмінні від нуля, то вони називаютьсялінійно залежними в . Якщо ж для даної системи функційрівністьможлива лише при, то функції цієї системи називаютьсялінійно незалежними.

Приклад. 1)

Лінійна комбінація виконується, наприклад, для чисел, тому дана система функцій є ЛЗ.

2)

Тут лінійна комбінація можлива лише тоді, коли.

Справедлива

Теорема. Якщо функції , що мають впохідні дого порядку включно, лінійно залежні в, то для всіхвиконується рівність ,

де даний визначник називається вронскіаном.

Доведення. Нехай - лінійно залежні в. Тоді длялінійна комбінація, коли не всі коефіцієнтирівні нулю. Нехай, тоді, де. Звідси.

Отже, тий стовпчик вронскіана є лінійною комбінацією всіх іншихстовпчиків, тому і. Доведено.

Нехай дано функцій,і ці функції є частинними розв’язками ЛОДР-.

Теорема. Якщо хоча б в одній точці інтервалу , то функції лінійно залежні.

Доведення. Виберемо . Черезпозначимо значення функцій та їх похідних дого порядку включно в цій точці. Складемо системулінійних рівнянь, вважаючи ці числа коефіцієнтами:

Нехай в точці , тоді дана система має ненульові розв’язки: і складемо функцію. За наслідками 1 та 2 вона є розв’язком ЛОДР-, який задовольняє початкові умови, що випливає з цієї системи.

Ці самі початкові умови задовольняють і тривіальний розв’язок . За теоремою існування та єдності розв’язку випливає, що тривіальний розв’язок збігається зі тому, де не всі. Тому функціїлінійно залежні.

Наслідок 1. Якщо , де - розв’язки ЛОДР-хоча б в одній точці з, то він у цьому інтервалі рівний нулю тотожно.

Доведення. в одній точці, тоді- лінійно залежні в. А за теоремою 1.

Наслідок 2. Для того, щоб частинні розв’язки ЛОДР-були ЛНЗ внеобхідно і достатньо, щоб в будь-якій точці .

Означення. Система ЛНЗ частинних розв’язків ЛОДР-називаєтьсяфундаментальною системою розв’язків (ФСР).

Теорема. Якщо утворюють ФСР ЛОДР-, то загальний розв’язок є лінійною комбінацією частинних розв’язківз довільними сталими:.

Доведення проведемо при . Покажемо, що можна знайтиітак, щоб задовольнити задані початкові умови: при,. Нехай примаємо,,,.

Тоді . Розв’яжемо систему відносноі:

Оскільки (система розв’язківіє ФСР), то дляіможна знайти єдині значення. Таким чином, з розв’язкуможна отримати довільний частинний розв’язок (розв’язок, який задовольняє довільні початкові умови), а це означає, щоє загальний розв’язок.

Отже, для знаходження загального розв’язку ЛОДР-досить мати ФСР його розв’язків.

Приклад. .

Маємо, що функції є розв’язками ЛОДР-2 , в чому можна впевнитися підстановкою. Ці функції утворюють ФСР:

.

Теорема. Для кожного ЛОДР-існує ФС частинних розв’язків.