Метод ізоклін

Рівняння визначає в кожній точці, де існує функція, значення, тобто кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в цій точці.

Якщо в кожній точці області задано значення деякої величини, то кажуть, що в цій областізадане поле цієї величини. Таким чином, ДРвизначаєполе напрямків.

Трійка чисел визначає напрямок прямої, що проходить через точку. Сукупність відрізків цих прямих дає геометричну картину поля напрямків.

Задачу інтегрування ДР можна сформулювати так: знайти таку криву, дотична до якої в кожній точці має напрямок, що співпадає з напрямком поля в цій точці.

Задача побудови інтегральної кривої часто розв’язується введенням ізоклін.

Означення. Ізокліною називається ГМТ, в яких дотичні до шуканих інтегральних кривих мають один і той самий напрямок. Сімейство ізоклін ДР-1 визначається рівнянням , де- параметр. Надаючи параметрудосить близьких числових значень, отримаємо досить густу сітку ізоклін, за допомогою яких можна наближено побудувати інтегральні криві ДР-1.

Зауваження. Нульова ізокліна дає рівняння ліній, на яких можуть знаходитись точки максимуму та мінімуму інтегральних кривих. Для більшої точності побудови інтегральних кривих знаходять також ГМТ точок перегину. Для цього знаходятьза виглядом заданого ДР-1 та прирівнюють до нуля.

Приклад. За допомогою методу ізоклін наближено побудувати інтегральні криві рівняння .

Рівняння ізоклін .

При отримаємо рівняння двох прямих.

При отримаємо рівняння сім’ї гіпербол.

Пряма є інтегральною кривою, оскількиє розв’язком. Ізоклінуінтегральні криві перетинають під кутом. Це означає, що точки ізокліниє точками екстремуму розв’язків.

Для визначення характеру екстремальних точок, обчислимо :.

Тому всі точки вісі ординат, для яких є точками максимуму,- мінімуму , оскільки. Точки перегину кривих належать прямим.

Прямі і(ізокліни) поділяють координатну площину на 4 частини, в кожній з якихзберігає знак. Отже, перетинаючи пряму, інтегральні криві переходять з області зростанняв область спадання, якщо, і навпаки, якщо.

Для ізоклін ідотичні, проведені до інтегральних кривих в точках перетину з ними, утворюють з віссюкутиівідповідно.

Метод послідовних наближень

Нехай треба знати розв’язок ДР-1 , що задовольняє початкову умову.

Припустимо, що в деякому прямокутнику з центром в точцівиконані умови теореми Пікара або Коші. Тоді розв’язок задачі Коші можна знайти методом послідовних наближень, суть якого полягає в наступному.

Будуємо послідовність функцій, що визначаються рекурентними співвідношеннями

В якості нульового наближення можна взяти довільну функцію, неперервну в околі точки, зокрема- початкову умову задачі Коші. Можна довести, що при цьому послідовні наближеннязбігаються до точного розв’язку, що задовольняє початкову умову в деякому інтервалі, де.

Оцінка похибки, що отримується при заміні точного розв’язку -тим наближенням, дається нерівністю, де. Застосовуючи метод послідовних наближень, треба зупинитися на такому, для якогоне перевищує припустимої похибки.

Приклад. Методом послідовних наближень знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початкову умову.

Очевидно, що для даного рівняння на всій площині виконані умови теореми існування та єдності розв’язку задачі Коші. Будуємо послідовністьфункцій, прийнявши за нульове наближення:

,

,

,

…..

.

Очевидно, що при. Безпосередньою перевіркою впевнюємося, що функціядійсно є розв’язком задачі Коші.