Лінійні др-1

Означення. ДР-1 виду називається лінійним (ЛДР-1). Якщо , то воно називається однорідним (ЛОДР-1), якщо - неоднорідним (ЛНДР-1).

Нехай маємо ЛОДР-1 .

.

Якщо задана початкова умова , то .

Загальні властивості розв’язків лодр-1:

1. Якщо і - неперервні, то за теоремою Пікара розв’язок задачі Коші існує і є єдиним;

2. Дане рівняння не має особливих розв’язків.

Методи інтегрування ЛНДР-1.

1. Метод Лагранжа (варіації довільних сталих).

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Підставимо цей вираз в ЛНДР-1:

Остаточно отримаємо розв’язок

.

Приклад.

Складемо відповідне однорідне ДР: , розв’язком якого є . Тоді розв’язок неоднорідного будемо шукати у вигляді . Після підстановки його в дане рівняння отримаємо і .

2. Метод Бернуллі.

Загальний розв’язок даного рівняння будемо шукати у вигляді , де одна з функцій вибирається довільним чином. Маємо . Підставимо вираз для функції та її похідної в ДР, отримаємо:

,

.

Виберемо функцію так, щоб . Отримаємо, що дане рівняння рівносильне системі . Перше рівняння є ЛОДР-1, розв’язком якого є (тут сталу опустимо). Тоді

, , .

.

Приклад.

Зауваження. Може бути, що ДР лінійне відносно як функції від , тобто може бути записане у вигляді .

Приклад. .

Відповідь: .

Рівняння, звідні до лінійних

Рівняння Бернуллі: ,.

Це рівняння завжди інтегрується в квадратурах шляхом використання підстановки . Маємо. Помножимо рівняння на вираз:

- ЛНДР-1

Зауваження. Дане рівняння також можна розв’язати і методом Бернуллі, якщо припустити, що розв’язок має вигляд .

Зауваження. При рівняння Бернуллі має особливий розв’язок. Прицей розв’язок міститься в загальному при. Прине є розв’язком рівняння Бернуллі.

Приклад.

Відповідь: .

Рівняння в повних диференціалах

Нагадаємо, що для функції повним диференціалом називається вираз .

Означення. Рівняння називаєтьсярівнянням у повних диференціалах (РПД), якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції , тобто.

Тоді загальний інтеграл цього рівняння має вигляд ,. Особливих розв’язків РПД не має.

Приклад. Можна помітити, що для ДР функціятака, що. Тому- загальний інтеграл.

Теорема (критерій РПД). Нехай функції і- неперервно-диференційовні в деякій області. Для того щоб рівняннябуло РПД необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність.

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння є РПД, тобто. Звідси,. Функціїі- неперервно-диференційовні, тобтоі- неперервні, тоді, тобто.

Достатність. Нехай виконується умова . Покажемо, що існує функція, яка задовольняє рівняння. Маємо. Візьмемо рівняння. Це рівняння задовольняє функція, де- довільна функція (тут константа по відношенню до), яку виберемо так, щоб виконувалось друге рівняння системи:

.

Звідки . Покажемо, що дійсноне залежить від:

. Вираз не залежить віді тому вибір функціїзавжди можливий.

Доведення цієї теореми містить практичний спосіб розв’язання РПД.

Якщо задані початкові умови , то розв’язок задачі Коші для РПД має вигляд

.

Приклад.

Відповідь: .

Інтегрувальний множник

Розглянемо рівняння , яке не є РПД. В багатьох випадках його можна помножити на функцію, після чого воно стає РПД. Функціюпри цьому називають інтегрувальним множником.

Приклад. Рівняння не РПД (). Але можна перевірити, що функції,,є інтегрувальними множниками цього рівняння.

Помножимо рівняння на інтегрувальний множник:.

Тоді за критерієм РПД .

,

Це рівняння в частинних похідних першого порядку відносно функції , розв’язок якого в загальному випадку знайти досить важко. Але якщо функціяє функцієюабо, то задача розв’язується просто.

а)

, ,

, ,

б)

,

, ,.

Приклад. Розв’язати рівняння

Відповідь.