Тема 2. Кинематика вращательного движения

Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.6).Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток временизададим углом.

Угловой скоростьювращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

(1.18)

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).

Таким образом, вектор определяет направление и быстроту вращения. Если, то вращение называетсяравномерным.

Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью произвольной точки А. Пусть за времяточка проходит по дуге окружности длину пути. Тогда линейная скорость точки будет равна:

(1.19)

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращенияТ– временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

(1.20)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.7); при ускоренном движении вектор направлен в ту же сторону, что и, и в противоположную сторону при замедленном вращении.

Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки Авращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

(1.21)

(1.22)

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

,

где начальная угловая скорость.

Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Поступательное	Вращательное
Равномерное
Равнопеременное
Неравномерное

Тема 3. Динамика поступательного движения

Как уже отмечалось, динамика – это раздел классической механики, изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил, т.е. дающий связь между взаимодействиями тел и изменениями в их движении. Она является основным разделом механики и базируется на трех законах Ньютона (1687 г.)

Первый закон Ньютона(закон инерции) формулируется следующим образом:всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии или взаимном уравновешивании внешних воздействий называется инертностью. Если на тело действует неуравновешенная система сил, то инертность сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно. При этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела.Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Системы, в которых он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, относительно которой свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением, являетсянеинерциальной, и в ней не выполняются ни закон инерции, ни второй закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.

Понятие «инерциальная система отсчета» является научной абстракцией. Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом (Землей, корпусом корабля и т.п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Однако в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звездам), поэтому любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему с началом координат в центре Солнца и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач инерциальной системой можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей (не учитывается вращение Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца).

Как уже отмечалось, масса – это физическая величина, определяющая инерционные свойства материи. Масса – это свойство самого тела и, в отличие от веса, не зависит от места ее измерения (вес Ртела в разных точках земного шара различен: он максимален на полюсах и минимален на экваторе).

За единицу массы принят килограмм массы, равный массе эталона, сделанного из сплава иридия и платины. Следует отметить, что масса тела считается постоянной величиной только в классической механике Ньютона. В современной физике установлено, что масса тела увеличивается с увеличением скорости его движения.

Для описания воздействий тел (материальных точек) друг на друга вводится понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). Таким образом, сила- это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением (модулем), направлением в пространстве и точкой приложения.

Второй закон Ньютона– основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материального объекта (точки, тела) под действием приложенных к нему сил.

Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

(2.3)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В Международной системе (СИ)=1, поэтому(2.4)

Второй закон Ньютона обычно записывается в следующей форме:

или . (2.5)

Вектор называетсяимпульсомиликоличеством движения. В отличие от ускорения и скорости, импульс является характеристикой движущегося тела, отражающей не только кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое свойство – массу.

Таким образом, можно записать: (2.6)

Выражение (2.6) является более общей формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Это уравнение называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в системе СИ – ньютон (Н):

При действии на материальную точку нескольких сил справедлив принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было:

где сила называетсяравнодействующей силилирезультирующей силой.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго закона: в случае равенства нулю равнодействующей силы ускорение также равно нулю, т.е. тело находится в покое или движется равномерно.

Воздействие тел (материальных точек) друг на друга всегда является взаимным и определяется третьим законом Ньютона(законом о равенстве действия и противодействия):действия двух тел друг на друга всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела:

(2.7)

где - сила, действующая на первое тело со стороны второго;- сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Необходимо помнить, что силы иприложены к разным телам (материальным точкам) и поэтому не уравновешивают друг друга; они действуют парами и являются силами одной природы.

Из второго и третьего законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса замкнутой системы.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называютсявнутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называютсявнешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называетсязамкнутойилиизолированной. В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных механических систем в природе не существует.

Рассмотрим изолированную механическую систему, состоящую из nтел с массамиm₁,m₂,…,m_n. Обозначим скорости этих тел череза внутреннюю силу, действующую наi-е тело со стороныk-го, - через.

На основании второго закона Ньютона можно составить следующую систему уравнений движения всех тел системы:

Складывая почленно эти уравнения и группируя силы и, получим:

.

Согласно третьему закону Ньютона =-, поэтому все скобки в правой части этого уравнения равны нулю, т.е.

или .

Векторная сумма представляет собой импульс всей системы. Таким образом,или(2.9)

Выражение (2.9) представляет собой закон сохранения импульса:импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике; он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. действует и в квантовой механике. Другими словами, этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, т.е. не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс системы можно выразить через скорость ее центра масс. Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-векторомсоотношением:

Следовательно, .

Центром массилицентром инерциисистемы материальных точек называется воображаемая тоскаС, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где масса системы.

Скорость центра масс определяется выражением:

т.е. . (2.10)

Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции. Подставив выражение (2.10) в (2.9), получим:

т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние силы), то выражение (2.9) с учетом (2.10) запишется следующим образом:

,

или

(2.11)

где ускорение центра масс.

Из (2.11) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).

Пусть в момент времени tмасса ракетыm, а ее скорость; тогда по истечении времениdtее масса уменьшится наdmи станет равнойm–dm, а скорость увеличится до величиныИзменение импульса системы за времяdtбудет равно:

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е.илиТогдаили(2.12)

где член называютреактивной силой. Если векторпротивоположен, то ракета ускоряется, а если совпадает с, то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массыимеет следующий вид:

(2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.

Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

откуда

или

где С– постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени, а стартовая масса ракеты составляетm₀, то.Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая массаm₀;

б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости инамного меньше скорости светас.