книги / Оболочки и пластины

промежуточное положение между аналитическими методами и методом сеток [109]. В этом методе производные по одним'независимым пере­ менным заменяются приближенными выражениями через конечные раз­ ности, а производные по остальным переменным оставляются без изме­ нения. Таким путем от дифференциального уравнения или системы уравнений в частных производных можно прийти к обыкновенному диф­ ференциальному уравнению или системе обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений.

К методам такого типа относится и метод Л. В. Канторовича при­ ведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям [114]. В этом методе вид решения выбирается априорно лишь по одной независимой переменной, а зависимость от другой переменной разыскивается в ре­ зультате точного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Этот метод занимает промежуточное положение между точ­ ным решением задачи и решением методами Ритца и Бубнова—Галер- кина.

Выше мы привели примеры сочетания точного интегрирования урав­ нений по одной независимой переменной с приближенным решением по другой. Очевидно можно применить комбинации различных прибли­ женных методов: вариационных с методом конечных разностей, или с методом коллокаций и др.

Вработе [108] приведены примеры применения метода конечных разностей в сочетании с методом коллокаций к решению задачи о боль­ ших прогибах квадратной пластины под действием равномерно, распре­ деленной нагрузки и к решению линейной задачи изгиба круглой пла­ стины сосредоточенной силой.

Взадаче о больших прогибах квадратной пластины функция без­ размерного прогиба £ разыскивалась в виде дискретных значений в узлах сеточной области, а функции безразмерных параметров касатель­ ных, составляющих перемещения и* и v*, задавались в виде

В задаче об изгибе круглой пластины сосредоточенной силой функ­ ция параметра поворота 0 представлялась в виде

Q = In 6 + 0 ® ,

где 0(£) находилась из уравнений в конечных разностях.

Д. МЕТОДЫ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

§ 16. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИН1

Известно, что большинство конструктивных материалов могут счи­ таться упругими лишь в ограниченных пределах. Поэтому расчет, осно-1

1 Изложение этого параграфа принадлежит А. Р. Ржаницыну [124].

ванный на уравнениях теории упругости, не может дать истинного пред­ ставления ни о характере разрушения, ни о несущей способности кон­ струкций. В полной мере это относится к расчету пластин и оболочек. Но для стержневых конструкций из металла и железобетона уже давно существуют методы расчета, учитывающие пластические свойства ма­ териалов, а расчет оболочек и других пространственных систем за пре­ делом упругости до последнего времени считался слишком сложным для практического использования. Как известно, впервые задача о точ­ ном расчете пластин и оболочек в пластической стадии их работы была поставлена А. А. Ильюшиным [120]. Им были найдены конечные соотно­ шения между внутренними усилиями в сечении, находящемся в состоя­ нии предельного равновесия. Отечественные и зарубежные исследова­ тели получили решения для наиболее простых случаев расчета пластин и оболочек из жестко- и упруго-пластического материала. Но эти реше­ ния не обладали универсальностью и простотой практических методов расчета, используемых инженерами.

Между тем в теории пластичности уже давнр существовало на­ правление, которое можно назвать инженерным; оно нашло широкое применение в практических расчетах стержневых систем. Строгое тео­ ретическое обоснование применяемых в нем методов было дано в 1938 г. А. А. Гвоздевым [121] и распространено в дальнейшем на более слож­ ные и общие задачи теории пластичности А. А. Марковым [122]> А. Р. Ржанипыным [124], Гринбергом и Прагером [123]. Здесь имеются в виду вариационные принципы теории пластичности, лежащие в основе двух главных методов расчета по стадии предельного равновесия: ста­ тического и кинематического. Для цельности изложения необходима рассмотреть основной вариационный принцип, относящийся к кинемати­ ческому методу, и внести в него некоторые обобщения.1

1. Обоснование кинематического метода

Ограничиваясь случаями простого деформирования!, будем счи­ тать, что для данного материала существует пластический потенциал П, т. е. работа, затраченная на заданную деформацию, зависит только от компонентов этой деформации. Если материал изотропный, то этот потенциал и работа внутренних сил Т зависят только от инвариантов тензора деформаций / ь /2, h или от главных деформаций еь е2, ез> которые являются частным случаем трех независимых инвариантов тен­ зора деформаций. В первом случае

1 Простым деформированием по 'аналогии с простым нагружением будем назы­ вать такое изменение деформаций, при котором соотношения между компонентами тензора деформаций в каждой точке остаются постоянными.

Во всех состояниях равновесия системы

щенной нагрузки Р в предельном состоянии должна быть равна мини­ мальному значению —бГ/б/

Поскольку понятие пластического потенциала определено здесь лишь для простого деформирования (система внутренних сил в упруго­ пластическом теле неконсервативна), то в данном методе можно рас­ сматривать только случаи сохранения формы деформации системы за

1 Знак суммирования по i= 1, 2, 3 везде опускается.

все время деформирования последней. Поэтому для линейно деформи­ руемой системы следует положить

На основании (3,16,15) неравенство (3,16,14) следует записать в виде

причем а,- здесь заданные функции е,- ( i= l, 2 , 3) согласно (3,16,10) и

(3,16,2).

В частном случае упруго-пластического материала, пластический потенциал которого зависит только от второго инварианта тензора де­ формаций, а объемные деформации равны нулю, имеет место зависи­ мость

или, полагая на основании условия равенства нулю объемной дефор­ мации, что

Величину П'(еи) можно обозначить через Su и назвать интенсив­ ностью напряжений. Из (3,16,16) мы видим, что

Обычно интенсивностью напряжений называют величину, пропор­ циональную Su и равную

ои = (Тт — пределу текучести при растяжении.

Если система геометрически нелинейна, т. е. компоненты деформа­

d f

то

(3,16,37)

р < 1 «

Следует сказать, что знак меньше или равно в неравенстве (3,16,16) и последующих нельзя заменить знаком min, так как кроме простого нагружения возможен иной путь деформирования системы, при кото­ ром величина P ( f ) будет принимать минимальное значение. Однако для стержневых конструкций и большинства случаев расчета пластин и обо­ лочек сохраняется условие простого деформирования ввиду малости или равенства нулю поперечных деформаций, а также из условий сим­ метрии, При этом Р можно определить как угодно точно, приближаясь к истинному его значению сверху за счет рассмотрения как можно боль­ шего количества возможных форм деформирования. Кроме того, известно [125], что в случае, когда оь 02, сг3 представляют собой однородные функции 1 независимых переменных еь ег, е3, в процессе нагружения те­ ла постоянной^ по форме нагрузкой перераспределения компонентов деформаций не происходит и в этом случае обязательно осуществляет­

и жестко пластическое тело без упрочения при условии отсутствия объ­ емных деформаций. Для того чтобы а и сг2, а3 были однородными функ­ циями ei, ег, е3, достаточно, чтобы пластический потенциал П был одно­ родной функцией переменных еь ег, е3.

2. Применение к расчету пластин

Расчет плоских пластин на изгиб производится исходя из гипотезы Кирхгофа о сохранении перпендикулярности нормалей к срединной поверхности пластин после ее деформации. Из этой гипотезы следует, что

визны срединной поверхности после деформации пластины в направле­ ниях осей х н у , равные при малых прогибах до

Будем исходить из пластического потенциала (3,16,17). Выраже­ ние для интенсивности деформаций (3,16,28) напишем в произвольных прямоугольных осях х , у , совместив ось 3 с осью z. Тогда, используя выражение

1 Однородной функцией п-й степени называется такая функция, которая при умно­ жении всех ее аргументов на одно и то же число а получает множитель ап.