книги / Пространственные задачи теории пластичности

и, меняются в квадратах 0 ^ а, Р < я/2, 0 ^ а, р ^ я/4

соответственно и зависят как от вида упрочнения fi материалов, так и от постоянных А , 5 (определяемых через внешние силы).

Легко показать, что кривые (13.101) н (13.102) не пересе­ каются. Это означает, что область малонапряжепности в рассмат­ риваемом случае определяется кривой (13.102) и точкой (л/4, 0).

Здесь обсуждались наиболее простые задачи малопапряженности составных тел, материалы которых обладают произволь­ ным упрочнением.

§ 98. Криволинейный интеграл

Исследование вопросов малонапряженности без решения соот­ ветствующих систем дифференциальных уравнений можно также проводить, исходя из инвариантных криволинейных интегралов. Ниже, при помощи независящего от пути криволинейного инте­ грала, по аналогии с известными интегралами, введенными

Дж. Райсом и Г. Черепановым и получившими широкое приме­ нение в механике разрушения, рассматривается задача малона­ пряженности составного клина из степенно-упрочняющихся не­ сжимаемых материалов, находящегося в состоянии плоской деформации.

1. В плоскости ху введем криволинейный интеграл

где Г = Г 1 + Г2 (рис. 13.16), 5 — дуга контура Г, положительное направление которого отмечепо стрелками, W — W (х, у ) — удель­ ная потенциальная энергия, T = T (# , у) и u = u(;c, у ) — соответ­ ственно двумерные векторы напряжения и перемещения на кон-

сами г = 1 и г = 2 соответственно; (р, д) = (х, у), пя— направля­ ющие косинусы внешней нормали к Г.

Покажем, что интеграл М не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно показать, что он равен нулю по замкнуто­

му контуру Г* = Г + Га + Г' + Гр, причем Г' = Т[ + Г2. Пред­ варительно рассмотрим области Qi и йг, ограниченные контура­ ми Г1 = Г1 + Га + Г 1 + Г01 и Г2 = Г2 + Г02 + Г2 + Гр соот­ ветственно. Здесь Г01 и Г02 совпадают с осью х , с положительным и отрицательным направлениями.

Рассмотрим криволинейные интегралы по замкнутым конту­ рам Г*:

Mi = (§)Wi'xdy — y d x )~ T i( x ^ + y j ± + nmjds. (13.104)

*

Г*

Преобразуя Mi и переходя от контурных интегралов к двойным но областям Qi с учетом дифференциальных уравнений равнове­ сия, получаем

Далее, используя физические завнсимостиар^—bvqOi=2ki£™i *х X Spqi, с помощью преобразования находим

Если эти края жестко защемлены, то дифференцируя по х усло­ вия и, (я, 0,:*:) = 0, будем иметь

Ото означает, что как при заданных нулевых напряжениях или нулевых перемещениях, так и при смешанных условиях на краях

имеем Mi = 0 на Га и Гр. Далее, для значения интеграла (13.104) по контурам Го1 и Гог получаем

где верхний знак перед интегралом относится к контуру Гоь а нижний — к Г02* Учитывая условие на контактной поверхности,

Отсюда следует утверждение, что криволинейный интеграл М не зависит от пути интегрирования.

2. Удобнее интеграл М представить в цилиндрических коор­ динатах, принимая за контур Г дугу окружности с центром в

Подставляя сюда напряжения и перемещения, представлен­ ные в п. 2 § 96 при X Ф 1, и преобразуя с применением интегри­ рования по частям, находим

согласно граничным условиям и условиям на контактной по­ верхности.

Из условия конечности потенциальной энергии в малой окрест­ ности угловой точки г = 0 имеем ограничение (Х“ 1)(пг + 1) +

§99. Сжимаемые материалы

1.Общий случай. Принимая для материалов составного кли­ па произвольные законы упрочнения и законы пропорциональ­ ности объемных деформаций средним нормальным напряжениям, рассмотрим задачу малонапряжениости, когда элемент края кон­ тактной поверхности находится в совместном состоянии плоской деформации, кручения и продольного растяжения при отсутствии внешних сил на гранях (рис. 13.15).

Вкаждой из областей 0 ^ 0 ^ — (3 < 0 ^ 0 имеем уравпеипя равповесия (8.27), соотношения между деформациями и переме­ щениями (8.28), соотношения между напряжениями и деформа­ циями (8.31):

Ki — коэффициенты объемпой деформации. Перемещения представим следующим образом:

Компоненты напряжений можно представить в форме

Удовлетворив уравнениям равновесия, приходим к дифферен­ циальным уравнениям

где Hi — произвольные постоянные. Определяя //, из условий ра­ венства пулю нормальных сил на внешних гранях и используя

ностью до одинакового произвольного постоянного слагаемого. Таким образом, задача определения гиперповерхности конеч­ ных напряжений сводится к системе дифференциальных уравне­ ний (13.113), (13.114) при граничных условиях (13.115) — (13.117) и (13.112), в принципе содержащей, кроме параметра /;, еще одну «лишнюю» неизвестную постоянную С, зависящую от

внешних сил.

2.Несжимаемые материалы. Для таких материалов, полагая

в(13.112) — (13.114) Ki = 0, приходим к /г, = 0 н к системе диф-

ференциальпых уравнений

1. Пространственное деформирование. Компоненты перемеще­ ния, удовлетворяющие условию несжимаемости, представляем (как в § 95) в форме

Учитывая условия отсутствия нормальных сил на краях клина, нолучаем

Преобразованием системы (13.121) приводится к следующей си­ стеме дифференциальных уравнении:

где }ц = k’i/ki.