книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfиз рекуррентной зависимости
|
|
|
71— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
фп = — |
2 |
{U hN n -h -l + |
Vh(fn~h~i), |
|||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
1 |
V |
( дФ'< да п-к . |
дФк дап-к\ |
||||
|
Лп — Нг £ ^ \ д а |
да |
+ |
др |
ар ) ’ |
||||
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
и0 = |
б(Оо-1 , |
ип = |
— |
2 |
{кб — п) щип_ь, |
||||
|
|
|
|
|
Ок=1 |
|
|
||
|
|
|
Vn = |
/гсол |
п |
(л'6 — п + |
к) a>/t^n—/*• |
||
V Q — |
G)0 , |
|
^ |
||||||
|
|
|
|
|
о |
/1=1 |
|
|
|
Вводя новую |
функцию |
1рп(а, |
р) |
при помощи соотношения |
|||||
|
|
Ф „= (сЬ а — cos р)_3/2ф„(а, |
р), |
из (10.55) получаем уравнение -с разделяющимися переменными
+ |
~~3 clh “ ^ |
+ т * я = |
т (ch “ _ |
cos Р)3/2 ф"- |
(10-56) |
||
На внешней окружности имеем ^ (а о, |
Р) = 0, а на внутренней |
||||||
i|3n(ai, |
Р) = bn(ch ai — cos Р)3/2, |
bo = |
const, |
bi = Ь2 = - - - = 0. |
|||
Предварительно введем функцию |
|
|
|
|
|||
|
Zn (a, Р) = РТг (ch a) Q™(ch P) - |
P™ (ch P) Q™(ch a), |
|
||||
где Pn (я) и Qn (x) — |
присоединенные |
сферические |
функции |
соответственно первого и второго рода m-го порядка индекса п. Решение уравнения (10.56), удовлетворяющее указанным вы
ше условиям, будет представлено формулой
|
|
я |
|
|
|
|
■фп (a, Р) = |
^ |
J (ch ах — cos ii)3/2 L (а, р; rj) dx\ + |
||||
|
|
1 —Я |
|
|
|
|
+ |
sj^ r |
Я <Р» & ч )(ch 1 - |
cos 1i ) f G (а’ Р; |
11)dQ' (10-57> |
||
где |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L { а, Р, ri) = |
2-1/Лао' а) |
+ 2 |
2 Z » - l / 2 («О - |
“ ) |
COS п (Р — 1]), |
|
|
|
Z-i72(ao- ai) |
|
п=*1 ,Zn—1/2 (V |
ai) |
|
a G — функция |
Грина для данной задачи, причем G(a, Р; £, т|) = |
|||||
= G*(a, Р; |
г]) |
при £ < а |
и G(a, Р; £, г|) = |
G* (|, 4; а, Р) при |
где
М = 2с21 Я " 2р -41 + 4с31Я ” 21|[|-| (Я ~ 2р -4) I + 2 1 Я " 2р -41 ].
Методом индукции, аналогично предыдущим случаям доказатель ства сходимости, получается оценка ||фп||^0 032/г~1,6Я“ п+1, где Я* = 0,062л/"1/ ) " 2.
Тогда ряд с общим членом Яп11фп11, а следовательно, и ряд (10.53) сходится абсолютно и равномерно с радиусом сходимо сти Я = Я*.
понептамп деформаций и перемещений (8.28), закон упрочнения материала (8.29), где Go и ео определяются согласно (8.30) и (8.32) соответственно, соотношения между компонетами напря жении и деформаций (8.33).
Полагая тензор деформаций лишь функцией от г, компоненты перемещений из соотношений (8.28) можно представить в виде
и = — (А + В) г + -р-,
г
а
где А, В, С, D, Е, Н — произвольные постоянные. Отсюда имеем
Се = А + |
— ч с2 = |
В, |
702 = Dr + — . |
(11.2) |
||
|
|
г |
|
|
г |
|
Часть компонент напряжений |
из (8.33) |
при е = 0 |
можем |
|||
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
ое = Or + /(е 0);(2е0 + |
ez), |
oz = or + /(ео) (е0 + 2е2), |
|
|||
|
|
|
|
Tez = /(eohex. |
(11.3) |
|
Подставляя эти |
выражения |
в |
уравнения |
равновесия |
(8.27) |
п последовательно интегрируя их совместно, приходим к следую щим выражениям:
г
причем biy — произвольные постоянные. Вводя обозначения
S = |
eg + б0ег + е2 + Vez> Т = |
Tre + |
будем иметь
В случае степенного закона упрочнения
сг0 = |
f(e0) = |
(11.5) |
где к и т — параметры материала, получаем уравненпе относи тельно / вида
£2^2/(1-т) у2у2т/(1-т) = |
£2/(1-™^ |
Определив отсюда /, получим явные |
выражения напряжений |
и перемещений через координаты и произвольные постоянные. Рассмотрим равновесие трубы, находящейся под совместным
действием внутреннего давления р, осевой растягивающей |
си |
||||||
лы N и крутящего момента М. Полагая |
тге= тГ2 = 0, находим |
||||||
ео = 5, |
ао = 5/. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
аг = |
— 2с0 + J/(<5)(2e0 + |
ех)^-, |
а0 = |
аТ+ |
/ (S)(2е0 + ег), ^ |
^ |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
аг = аг + f(S) (е9 + |
2ег) , |
твг = |
f(S) |
|
||
Полагая в выражениях |
(11.1) — (11.2) |
|
|
||||
|
Кгв = |
Tfr* = |
Е = Н = О, |
В — — 2А, |
|
||
для компонент перемещении получим |
|
|
|
||||
|
а |
, |
о Ъ~ |
0 |
rz |
2а |
|
|
“ - - у Г |
+ |
Р -р |
|
|
1/3 |
|
где а, р, if — произвольные постоянные.
Соответственно для выражения компонент деформаций будем пметь
a |
ft62 |
2а |
г |
/,1,1 гуЧ |
ee = - V ? |
+ Р7 ’ |
6г = у Г |
ТегИ=ут* |
(11-7) |
Подставляя (11.7) в формулы напряжений (11.6) и удовлетво ряя граничным условиям на внутренней и внешней цилиндри ческих поверхностях
Or = —р при г = а; ог = 0 при г = 6,
а также условиям статической эквивалентности на торцевых
сечениях трубы |
ъ |
ь |
|
N = 2л j ozrdr, |
М = 2п\ т0zr2dr, |
а |
|
получим соотношения между параметрами a J , к и внешними силами
1 |
|
1 |
|
J> = p jV (* )^ > , |
M0 = y jF (x )x d x , |
|
|
И |
х |
V |
|
|
|
1 |
|
N0 = ИР + V^3a j F(x)dx, |
(11.8) |
Здесь введены |
обозначения |
|
|
|
|
|
^ 0 = 4 ? . |
* . - 4 ’ / о $ ) = т |
|
||
|
по |
|
по |
|
|
|
Х = -г Ч, S = Л / а2 + ^ + - f x . |
|
|||
|
Ь“ |
X |
х |
|
|
Отличные от нуля компоненты напряжений определяются |
|||||
следующими формулами: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ar = - p j V |
( * ) ^ , |
a0 = |
<jr + f F(x), |
||
|
|
|
|
|
(11.9) |
oz = |
Or + | / 3 a + |
|
%&z = y V x F { x ) . |
||
Когда заданы |
внешние |
силы, |
задача |
сводится к определению |
|
|
|
a, Р и ] из системы уравнений |
|||
|
|
(11.8). Для степенного закона |
|||
|
|
упрочнения (11.5) |
имеем |
||
|
|
|
F(x) = |
к ( l / a 2 + |
^ + Y2*) |
|
|
|
|
|
( 11.10) |
|
|
|
Для значений a, р, у из сис |
||
|
|
темы (11.8) на ЭЦВМ получается |
|||
|
|
решение |
|
|
|
|
|
|
a = |
2,09057, р = 1,15762, |
|
|
|
|
|
7 = 7,89860. |
На основании приведенных числовых данных по формулам для напряжений (11.9) и (11.10) вычислены напряжения в раз
личных точках вдоль толщины трубы и построены графики (рис. 11.1).
§ 7 1 . Цилиндрическая труба под действием касательных сил
Пусть длинная толстостенная цилиндрическая труба из уп рочняющегося несжимаемого материала находится под совмест ным воздействием продольных и кольцевых касательных сил,
равномерно распределенных на внутренней и внешней цилиндри ческих поверхностях (рис. 11.2). Принимаем граничные условия
тГ0= тгг = Шг при г = а, Ь.