Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Пространственные задачи теории пластичности

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

37.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3926 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

жепий, -содержащие неизвестные постоянные А, 5, С и D. Они определяются из статических условий (9.22), (9.23), где следует положить х = х (а , Р), г/ = г/(<х, р), dQ = II2dad$, а подкоренное

выражение заменить на а2— Я _2(ф\| + Фр).		изгиб и кру
5.	Круговое сечение. Рассматривая совместный	изгиб и кру
чение,	положим b = с = 0. Принимая а = In р, р = 0	из (9.81),

приходим к формуле (9.57). Далее, ограничиваясь первыми дву мя членами ряда (9.77), получаем окончательные формулы для напряжений

__	~ ]/3 D 1	ar sin 0		_	D'-'-haX
° Z	г2** (l + a2 sin2 0)^’			TZ	r2K (l -f- Д2 sin2 0)*'
		Di-2 k (r +	Xa2? Q)
	T0z	r24 l + a2sin20)^’
Здёсь введены обозначения
1 2Л		r — p cos (Q — cp)			\| г — p 1 cos (0 — cp) pdp dip,
1 f f	Sin2y	r — p cos (Q — cp)			\| г — p 1 cos (0 — cp) pdp dip,
т 2л JJ l-J-a2sin2cp
о о
1 2Л
0 0		4	1	-	'
причем
R\ = Vr2 + p2 — 2rp cos(0 — cp),				i ?2 = У/*2 + p-2 — 2rp_1 cos(0 — ф).

Преобразованием и предельным переходом можно показать, что Trz= T 0Z = 0 при г = 0. На рис. 9.7 для Я = 0,2 и D = а = I показан характер распределения напряжений в поперечном се чении стержня.

(ГЛАВА 10 НАПРЯЖЕНИЯ В ТОРОИДАЛЬНЫХ ТЕЛАХ

Исследования этой главы относятся к (вопросам осесимметрич ного деформирования упрочняющегося пластического тела с кру говой осью и с постоянным поперечным сечением. Это — тор или неполный тор в форме кольца или сектора кольца, нагруженные уравновешенной системой сил, вызывающих деформации, не зави сящие от положения сечения. Такое деформированное состояние возникает, в частности, при совместном кручении и изгибе мо ментами неполного тора.

Задача о кручении неполного тора из линейно-упругого ма териала впервые исследована в работе О. Гёхнера '[188], а затем в работах В. Фрейбергера [186], Г. Лаиджхара [194] и А. Ра биновича [143]. Чистый изгиб неполного тора в осевой плоскости из линейно-упругого материала исследован в работе М. Садов ского и Е. Стернберга [200].

В работе Л. Ершова и Д. Ивлева i [47] исследовано упругопластическое состояние полого толстостенного тора, находящего ся под действием внутреннего давления. В работах В. Фрейбер гера [187] и А. Уоига и В. Прагера [204] рассмотрено кручение сектора кругового кольца из идеально пластического материала в случаях кругового и прямоугольного поперечных сечений со ответственно.

Здесь рассматриваются задачи осесимметричного деформиро вания тороидального тела из упрочняющегося материала. Иссле дуются кручение и изгиб неполного тороидального тела момента ми, приложенными в торцевых сечениях в меридиональной и экваториальной плоскостях.

§ 66. Пространственное деформирование сектора кругового кольца

Пусть кольцо или сектор кругового кольца из упрочняющего ся несжимаемого материала находится под воздействием таких внешних сил, которые приводят к осесимметричному деформиро ванному состоянию. Будем исходить из соотношений теории пла стичности упрочняющихся тел в цилиндрических коордипатах (рис. 10.1). Имеем дифференциальные уравнения равновесия

(8.27), соотношения между компонентами деформаций п пере мещений (8.28), закон упрочнения (8.29), зависимости между компонентами напряжений и деформаций (8.31).

1. Система уравнений. Компоненты перемещений пз (8.28) можно представить в следующем (виде:

е		е
и = и0 (г, Z) + ] FrdO,	v =	v0 (г, z) + j(re0 — и) dQ,	(10.1)
		о	(10.1)
w = w0 {r, z) + J Fz dQ,
где Wo, vo, wo — произвольные функции от г и z,
FT= 2,> е - r - ^	+ v,	Fz = 2ryez - r - g .	(10.2)
Вычисляя при помощи (10.1)		компоненты деформаций	ег, е2,

7г2 и допуская, что тензор деформаций не зависит от полярного

угла 0, приходим к				следующим выражениям для деформаций:
	ег =			ez =	dw.	2v„		ди	d w n	(10.3)
	ег =	дг	’	ez =	dz	2v„		= — 0 +		(10.3)
и к функциям		дг	’		dz	* ^	rz	dz	1 дг
и к функциям
	Fr = Pi(Q) + p*(B)z,					Fz =	q (0)		P2 (0)	(10.4)
где p,(0),	q(Q) — произвольные функции от 0.
При помощи (10.1), (10.2) и (10.4) приходим к системе
уравнений									о	0
	dvn	I				дип		\	о	0
	dvn	I				дип		\	Г	С
2'7ге — г — + v0 — [г2 —					— r - j± + u0j 0 =				FT+ J d0 J FrdQ,
									0	o
										(10.5)
л	dvn		l n deH
2ry e z - r - ^ - - [ r - dze

Дифференцируя дважды эти уравнения по 0, приходим к про стым дифференциальным уравнениям, решение которых пред ставится в виде

		р{ = Ai cos 0 + Bi sin 0, q = D + 2C0,
где	Bu D, C — произвольные постоянные.
	Тогда из (10.5) получаем две системы дифференциальных
уравнений, первая из которых имеет вид
	2гуге — г	+ v0 = Ах + A2Z,		2ry0z -	r -^f- =	D — A2r (10.6)
и вторая запишется в форме
		г2 -jjr ~~ г ~^г +	ио +	Вг + В-22 — 0.
		дев		В.,г +	2С = 0.
		dz	dz	В.,г +	2С = 0.
		dz	dz
Из этой системы определяется
		е0 = I («o +	^ i +	B2z) + Н,		(10.7)

где Н — произвольная постоянная.

Таким образом, компоненты деформаций ег, е0, гг и угг со гласно (10.3) и (10.7) выражаются через функции и0 и Wo- Условие несжимаемости запишется в виде

(гао) + 17 (rwo) + Bi +			Hr + B2z = 0.
Вводя функцию перемещений 1\|?(г, z) по формулам
н0	1	dz ' WQ
н0	г	dz ' WQ
где обозначено
	G =	Bxz + Hrz +	B2z2,

указанные деформации выразим через единственную неизвест ную функцию \|) и произвольные постоянные В\, В2, //:

£г	± (	±	д± )	г	1	( д**	I	дС\
	dr \	г	dz / ’	г	г	\dr dz		dz/ ’
1 d'2\p			1 d	, 1	д ф	1 2	/ D	1 p „\	( 10 .8)
2уrz	dz~		drm
r	dz~		drm
Исключая из	(10.6)		функцию u0,		приходим к дифференциаль
ному уравнению
	d__			d_		=	0.		(10.9)
	dr			dz		=	0.		(10.9)
	dr			dz

Вводя новую функцию х (г>-)			по формулам
V	г дг	л,	е	г °г Д- D
Тгэ =	'-^ г .	Т	е	* + 2F’

уравнению (10.9) удовлетворим тождественно. Согласно (8.31) соответствующие компоненты напряжении будут даны выраже ниями


тге =	2/(e0)r-g,			т* = 2/(ео) ( г 0 + 0),				(10.10)
где интенсивность деформаций имеет вид
е 0 = 2 \ f £	+ е'к*+ £		+ Trz-г г- (-0j + (г0 + 0 )
Далее имеем	Ог =	с 0 +		2/(ео) (2er +		ez),
								( 10. 11)
о2 =	о0 + 2/(е0) (ег + 2ez) ,				тГ2 = 2/(е0) Yr*.

Таким образом, компоненты напряжений (10.11) и (10.10)
содержат неизвестные функции о0(г,					0, z), of (г, z), x(r,			z) и про
извольные постоянные Д, Л, У/.					(8.27)		следует
Из второго уравнения равновесия
	о0 =	2Q(r, z ) - N { r ,				z)0.		(10.12)
Здесь — неизвестная		функция от г, z				и	введено обозначение
	N = ^г		i	(г2тге) +	ъ	^	4

Далее, подставляя компоненты напряжений (10.11), (10.12) в первое и третье уравнения равновесия (8.27), получаем N = = —2У?, где Е — произвольная постоянная, уравнение

	+ ('•’"W		+ i	(^е*) + 2Яг =	0	(10.13)
и систему дифференциальных уравнении
f	Г/(е„)(2ег +	г,)] + 0		[/(ео)т„1 + + /(е „)(2 е Г + е2) = 0,
						(10.14)
	Ж +	i	I/ (£о) (£' + 2е*’)1 + +		+	Г/ (в.) Т«1 = 0.

Определяя интегрированием Q агз первого уравнения и под ставляя во второе, а затем найдя произвольную функцию по z. окончательно получаем

<те =	Т +	2£0 - 2 [/ (е0) (еге2)]2=0 - 2/ (е0) (ег +	2кг) -
	Г		2
- 2	j { 4	[ / (£о) Т«] + ~7~/ (во) (2вг + е2)}2=оdr - 0	j 0 [/-/(е0) yri] dz,

где Т — произвольная постоянная, а — (некоторое фиксированное значение г. Исключая функцию Q из (10.14), приходим к сле дующему дифференциальному уравнению:

г £_	J__ J L _		[/(е«) Ttr] —
. 2 +	r	дг	[/(е«) Ttr] —
dr*
		д-	[/(e0)(er -	ez)] + -J-		o)(2er + e,)].				(10.15)
		dr dz
Второе		уравнение получаем из			(10.13),		подставляя			в него
компоненты напряжений ( 10.10 ),
	1 7 [-чыS]+1h ыШ				+ £	) } + Е г -			°-	(10.16)
Представления для компонент перемещений (10.1)								окончательно
примут следующую форму:
и =		+ (Лх + ^42Z) sin 0+ (Вх +			B2z) (1 — cos 0),
v =	v0(r, Z) + i2Y0 — (A± +			^42Z) (1 — cos 0) +			(Bx 4* B2z) sin 0,
										(10.17)
w =	----- + Gj — A2r sin 0 — B2r (1 — cos 0) +						C02 +	7)0.
Таким образом, в рассматриваемом классе деформирования
задача	сводится к		определению функций			г\|э(г, z)		и	%(?', z) из
				системы дифференциальных урав
				нений (10.15), (10.16) при соот
				ветствующих граничных условиях.
				2.	Чистый изгиб. Пусть непол
				ный тор в виде сектора кольца
				изгибается		момептами			М,	прило
				женными па меридиональных тор
				цевых сечениях в плоскости кру
				говой оси (рис. 10.2 ).
				Если принять %= 0, а также
				что	произвольные				постоянные
				D = E = 0,		то	уравпение			(10.16)
удовлетворится тождественно и будем иметь							тГ0= т02 = 0. Диф
ференциальное уравнение задачи сведется к (10.15), где следует
принимать
			е0 = 2 *[/"Бг + £rez +
Здесь компоненты			ег, б2,	выражаются		через функцию				г\|:(г7 z)
по формулам ( 10.8).

Впроизвольном поперечном сечении необходимо соблюдать статическое условие

М= | j аег dr dz.

Вслучае прямоугольного поперечного сечения, стороны кото рого параллельны координатным осям г и z, имеем также условия

Or = xrz = 0 при г = п, /2,

(10.18)

Oz = Xrz = 0 при z = ±h.

Исходя из характера деформирования кривого стержня в рас сматриваемой задаче, полагая Vo = А{ = Bz = С = 0, для компо нент перемещений (10.17) будем иметь

и = -у-	+ Вх(1 — cos 0),		v =	HrQ + Вхsin 0,
	1		^	ГГ
	W ----------------— — Z b ---------HZ.
	Г dr	1	г

Интенсивность и компоненты деформаций выражаются через единственную неизвестную функцию о)) (г, 2). Это означает, что задача сводится к интегрированию в области поперечного сечения

Q дифференциального		уравнения			р
(10.15)	относительно	гр.	В	слу
чае рассматриваемого прямоуголь
ного	сечения граничные			ус
ловия	для ^ следуют	из	(10.18)

и(10.11).

3.Кручение. Пусть сектор

кругового кольца с		прямоуголь
ным	поперечным	сечением
(рис. 10.3) находится под дей
ствием перерезывающих сил Р и
крутящих моментов		М = Ра, при

ложенных	на торцевых сечениях в меридиональных плоскостях.
Принимая	ty=Bi = H = E = T = 0, уравнению (10.15)	удовлетво
рим тождественно, а из формулы для напряжений		получаем

Or ===Оо = Oz ' Тгг ===0.

Отличные от нуля компоненты напряжений (10.10) выража ются через функцию %(r, z), удовлетворяющую дифференциаль ному уравнению

где

17 м. А. Задоян

Граничные условия для рассматриваемого прямоугольного се чения (рис. 10.3) формулируются в следующем виде:

- g = 0	при г = г 1( г2;	и =	- - ^	при z =	± h .
Имеем также	условие статической		эквивалентности		внутренних
и внешних сил
М = 2 J J г/(е0) [(г -		a) -g- - z - g		- £ ( r - a ) j d r dz,

ri~ h

определяющее постоянную D.

Представления (10.17) для компонент перемещений примут

вид

и = (A\ + A 2Z) sin 0, v = v0(r, z) — (A\ + A 2Z) (1 — cos 0), w = DQ — А2Гsin 0.

Постоянные А{ определяются из условия закрепления стерж ня, vo(г, z) — функция деплапации, подлежащая определению в ходе решения задачи.

§67. Кручение сектора кругового кольца

1.Задача в напряжениях. Исследуем задачу кручения круго вого стержня из упрочняющегося материала с постоянным по перечным сечением, находящегося под воздействием приложен ных па торцевых сечениях перерезывающих сил Р и крутящих

моментов М = Ра, где а — радиус оси стержня [65] (рис. 10.3). Подобное напряженное состояние возникает в пружине с малым шагом при ее центральном сжатии. Полагая в уравнении (10.13) Е = 0, получим

^ г(г2тге) +	-^ (г 2т0г) =		0.
Вводя функцию напряжений i\|)(r, z)
1 at	Tez —	1	at
Tre — r2 dz '		r2 dr

и используя зависимости между компонентами деформаций сдви гов и напряжений

Чгв = F (о0) тг0, Y0Z = / т(о0)те2,

из (10.9) приходим к дифференциальному уравнению нашей задачи

о	Г^(°о)	1
дг	г3 дг	+ i

г3

-Э 1-1 dz

(10.19)

где обозначено

			«	• - р У		Ф	М	З	)	'
Таким образом,				задача		сводится		к	определению		функции
ф(г, z)	из	уравнения			(10.19)		в области			поперечного	сечения
стержня	при условии				ф = 0	па контуре.				ч
В случае многосвязной области ф на
каждом	контуре		принимает				различные
постоянные		значения,			подлежащие опре
делению.
Для случая многосвязной области по
перечного сечения следует обобщить тео
рему Бредта о циркуляции деформации
сдвига [13]. В области					поперечного сече
ния Q возьмем произвольный замкнутый
контур	Г*	(рис.	10.4). Интегрируя					обе		Рис. 10.4
части уравнения (10.19) в области, огра
ниченной контуром					и переходя от двойных интегралов к кри
волинейным, находим
		г*								г*

Далее, подставляя dr = —ds cos(v, v — направление внешней нормали к дуги этого контура, находим

z) и dz = dscos(v, г), где контуру Г*, a s — длина

г*

Г *

Полученная формула выражает теорему о циркуляции де формации сдвига, которую следует использовать при рассмотре нии стержней с многосвяэным поперечным сечением.

Крутящий момент выражается через функцию напряжений соотношениями

Применяя формулу Грина — Остроградского, получим

М = -

4 - dz + 2а

dQ.

Полагая ф = 0 на внешнем контуре, будем иметь

17*

где tyh— значения ф на внутренних контурах Г*. Для односвязной области имеем

2. Прямоугольное поперечное сечение. Пусть z = 0 и г = а являются осями симметрии рассматриваемой прямоугольной об ласти (рис. 10.5). Полагаем, что компоненты напряжений отне сены к 2£?, где G — модуль сдвига материала, и безразмерная

	а	-------- ^ -----1-----	л
1	а	J 1
1		J 1
		Г2	л т

Рис. 10.5

функция упрочнения F (GO) содержит физический параметр Я,, нулевое значение которого соответствует линейно-упругому ма териалу, т. е. F (a o )= l. Закон упрочнения принимаем согласно

F (о0) = 1 + ^ао-

Уравнение

(10.19),

если

ввести обозначение

о|) = 1)Ф, можно записать в следующем виде:

'{£/PRfF}(S--?-« +S)-

с граничным условием ФI г = 0.

= “ 1 + l f l 7

+ f S

( 10-2 ° )

Решение уравнения

(10.20)

ищем в виде степенного ряда по К

Ф =

Я'!Фй(г,г).

( 10.21)

к=о

Подставляя (10.21) в (10.20), приходим к системе диффе

ренциальных уравнений

д2Ф„

дФ„

д2Ф„

и =

(10.22)

1 F - T

- W + 1 F

-—

V "

Здесь @о = 1, а Qn при

п ^

определяется

рекуррентными соот

ношениями

V ( д(»кдфп -к -1

кдфп-к-1\

„ ^

Qn = 2 i Ь т — — + 1 Г

д ~ -

)

~ 2* ^ Q - k - 1,

к=0 \

п \

к=о

? (10.23)

дФк дФ.п—к^

СО» = D2r - 4 2

дФк дФп_ к

( дг

дг

dzдГ~ )'

к=0 4

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3926 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.32 Mб1Промышленные роботы. Ч. 3.pdf
#
12.11.202314.26 Mб0Промышленные системы водоснабжения и водоотведения. Ресурсосберегающие технологии очистки воды.pdf
#
12.11.202311.05 Mб1Промышленный экологический анализ..pdf
#
12.11.202314.59 Mб5Пространственная модель турбулентного обмена..pdf
#
12.11.20238.66 Mб1Пространственное развитие городских систем..pdf
#
19.11.202337.49 Mб1Пространственные задачи теории пластичности..pdf
#
12.11.20236.9 Mб1Противопожарное водоснабжение..pdf
#
12.11.20231.49 Mб1Прототипирование сетевой системы управления. Разработка Windows-приложения удаленного контроллера прототипа робота-официанта на базе PROMOBOT V.4.pdf
#
12.11.20231.35 Mб2Профессии в горной промышленности..pdf
#
12.11.2023588.52 Кб2Профессионально-прикладная физическая культура студентов технического университета..pdf
#
12.11.202312.87 Mб9Проходческо-очистные комбайновые комплексы калийных рудников. Ч. 1.pdf