книги / Пространственные задачи теории пластичности

ную И, для отличных от пуля компонент напряжений находим

Переходя к пределу т -►Он используя условие Губера — Мизеса, из этих выражений (11.37) получаем соответствующие фор­ мулы Д. Ивлева [84] для конической трубы из идеально пласти­ ческого материала.

§ 78. Коническая труба под действием внутреннего давления и продольных касательных сил

Рассмотрим коническую трубу из упрочняющегося но сте­ пенному закону несжимаемого материала, находящегося под сов­ местным воздействием нормальных и продольных касательных равномерно распределенных сил на внутренней и внешней по­ верхностях (см. рис. 5.3). Принимаем граничные условия

о0 = — тг0 = т{ при 0 = ос, р.

Полагая, в (11.29)— (11.31) ^ = 71 = 72 = 0, будем иметь

1 9 *

Второе уравнение (11.32) удовлетворяется тождественно, а первое перепишется в виде

К/' +/ctg0)'x*sinOr -г ()x*(/sin0)' = 0-

Граничными условиями для этого уравнения будут соответ­ ственно

А’Х* (/' + / ctg 0) = — пц при 0 = а, (3.

Соотношение (11.34) перепишется в виде

Р

ЗА ] [/" — Г ctg 0 — (1 — ctg2 0)1 х* dG = Pl — p2.

а

Компоненты перемещений из (11.28) будут равны

u = —r{j' + j ctg0), v = Зг/, ш = 0.

Действующие на произвольной сферической поверхности с ра­ диусом г напряжения аг и тго уравновешиваются внешними силами р{ и 77г„ приложенными на внутренней и внешней кони­ ческих поверхностях.

§79. Конус под действием нормальных и продольных касательных сил

Пусть длтшпый сплошной конус из упрочняющегося по сте­ пенному закону несжимаемого материала находится под совмест­ ным воздействием нормальных и продольных касательных сил,

Компоненты напряжений и перемещений, отличные от нуля, будем искать в следующей форме:

Or = о0+ 6А:/'х> °<р==°о + 6А (/' —/ ctg 0) х,

из условия интегрируемости этих выражений следует ограничение

Рпс. 11.7

О ^ v < 2. Для v = l это распределение показано на рис. 11.7. Равнодействующая сил на круге с радиусом а по модулю равна 2тга2р/(2 — v ).

+ 4 (v2n2 — 3vn +3) ( / '2 + / 2 clg2 0) + 4 (v2n2 — 3) / '/ ctg 0}(7n 1)/2.

Соответственно компоненты перемещений запишутся в виде

Приведенное уравнение можно свести к системе из четырех дифференциальных уравнений первого порядка

/' = s — / ctg0, s' =vn(vn — 3 ) / + ТО),

т' = а — т ctg 0 ----- {[v (2vn — 3) + 3 (1 — v/г)] s — v(vn—3) /ctg0}, (11.46)

o' = v (v — 3) т — 2 -jj- {vn — 3) (s — 2/ ctg 0) ctg 0,

причем функция со определяется из степенного уравнения

0)n_1 — т2со2 — 4 (v2n2 — 3vn + 3) s2 +

+ 4 (v/г — 3)2 (s — / ctg 0) / ctg 0 = 0.

Краевыми условиями системы уравнений (11.46) будут

т = / = 0 при 0 = 0,

о = v cos р, т = —sin [} при 0 = я/2.

Формулы для напряжений, отличных от нуля, преобразуются к виду

Соответственно для отличных от нуля компонент перемеще­ ний будем иметь

Когда на поверхности полупространства 0 = я/2 приложены только нормальные силы, следует принять [} = 0.

§82. Сжатие конуса осевой силой, приложенной в вершине

1.Рассмотрим бесконечный конус из упрочняющегося по сте­ пенному закону несжимаемого материала, сжатый осевой со­ средоточенной силой Р, приложенной к вершине (рис. 11.8). Такая задача в случае линейно-упругого сжимаемого материала для полупространства решена Буссинеском [126, с. 227].

причем о) определяется из степенного уравнения

2 п

со71” 1 — т2со2 — 4 (Ап2— Gn + 3) «s’“ +

+ 4 (2п — З)2 (s — / ctg 0) / ctg 0 = 0.

Преобразуя соответствующие выражения для компонент на­ пряжений (11.47) и перемещений (11.48), согласно (11.50)'

приходим к граничным условиям для уравнений (11.52)

Р*

где

Для численного решения системы дифференциальных урав­ нений (11.52) при граничных условиях (11.53) формулируется задача Коши для этой же системы уравнений при заданных ус­ ловиях / ( 0 ) = т ( 0 ) = 0 и дополнительных условиях для неиз­ вестных значений а и s в точке 0 = 0, подбором которых дости­ гаются требуемые значения о = т = 0 на конце отрезка 0 = а.

На рис. 11.8 показаны результаты такого численного решения для п =• 2, а = JT/ 6. На основании этих рас­

четов построены графики функций Oij(0). При п = 1, полагая / = —sin 0 и о = = т = 0, из (11.54) — (11.56) получаем со­

ответствующие формулы Буссннеска [126] для линейно-упругого материала

В статье [107] рассматривалось, в частности, напряженное состояние по­

лупространства со степенным упрочнением материала от дейст­ вия сосредоточенной нормальной силы, в которой удалось опре­ делить перемещение точек поверхности с точностью до неопре­ деленного постоянного множителя.

2. Рассмотрим задачу о сосредоточенной силе в бесконечном теле. Пусть в точке бесконечного тела со степенным упрочнением в начале координат по оси 0 = 0 приложена сосредоточенная сила Р (рис. 11.9). Систему дифференциальных уравнений (11.52) в этом случае следует интегрировать при граничных условиях

т = / = 0 при 0 = 0, л.

Формулы для напряжений и перемещений определяются по (11.54) — (11.56), где надо положить / = /(л , п).