книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfусловия для системы уравнений (12.29) будут
5 = 0, г|э = 0 при 0 = 0, а. |
(12.34) |
Рассматривая равновесие мысленно выделенного из клина сектора с произвольным радиусом г, аналогично случаю осевой силы (12.31) будем иметь
а |
|
2 \(arsin 0 + Tr0cos9)rd0 + Р = 0. |
(12.35) |
о |
|
Подставляя компоненты напряжений в (12.35), получаем за-
s и г|э определяются из краевой задачи (12.29), (12.34), а / — согласно (12.36).
Динамическое деформирование клипа из неоднородного уп рочняющегося но степенному закону несжимаемого материала рассмотрено в работе [78] Статическая задача о сжатии и изгибе клипа для общего случая степенного закона упрочнения решена В. Соколовским [164]. Поле перемещения построено Н. Арутю няном [11].
§86. Пространственное деформирование среды
1.Рассмотрим осесимметричные динамические задачи для упрочняющейся по степенному закону несжимаемой среды, де формируемой во времени по специальному заданному закону [73].
За исходные уравнения рассматриваемой среды при осевой сим метрии деформирования принимаются:
дифференциальные уравнения движения
соотношения между компонентами деформаций и перемеще ний (2.56), степенной закон упрочнения материала
о0 = /се™, |
(12.38) |
причем интенсивность напряжений оо и деформаций ео опреде ляется выражениями (8.36), и, наконец, соотношения между компонентами напряжений и деформаций (8.37) при допущении несжимаемости материала (8.38). Согласно этим выражениям на пряжения удобно представить в следующем виде:
|
|
От= |
оге + |
|
2/се” -1 (ег— ев), |
<тф = |
сте — 2к (2ег + ее), |
(12.ЗУ) |
|||||||||||
|
|
тГ0 = |
2/C6Q |
|
уГ0, |
т0ф = |
|
m |
Уэф» |
тГф = |
rn—1 |
|
|||||||
|
|
|
2ке0 |
2/сво Угф* |
|
|
|||||||||||||
Перемещения, |
удовлетворяющие |
|
условию |
несжимаемости |
|||||||||||||||
ег + ее + еф= 0, ищем в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
и = х/с/(£)г1_х(ф' + ifctg 0), |
|
и = кк(Х —3)f(t)rl~ky!p, |
|
|
||||||||||||||
|
|
w = х/с/ (2) г1_хф sin 0, |
Я = |
|
|
|
х = |
sign / (J). |
(12.40) |
||||||||||
Здесь |
ф = ф(0), |
|
ф = ф (® )— произвольные |
функции |
от |
0, |
/(£) |
||||||||||||
определяется квадратурой (12.19). Согласно |
(12.39) |
формулы |
|||||||||||||||||
для напряжений представятся в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
аг = |
о0 + 2x/m(f)r-Xm[(3 — 2Я)ф' — Л, ctg 0] X? |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Оф= |
Ое + 2х(3 -Я )/т (г)г~Хт(ф' - |
tfctg 0)х, |
|
(12.41) |
|||||||||||||
|
|
тг0 = |
х Г (0 r~Xm[ф" + (ф ctg 0) ■' + Я(3 - |
|
Я) ф] х, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
твф = |
Kfm(t)r~Xmq>'%sin 0, |
тГф= |
—хЯ/гл(^)г-Хтсрх8т0, |
|
|
||||||||||||
где |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X = |
{ГЧ*»" + (1>ctg 6)' + >- (3 - |
Л) ф ]2 + 4 (Я2 - |
ЗЯ + 3) ( ф ' 2 + ф2 ctg 0) + |
||||||||||||||||
|
|
|
+ |
4 (Я2 — 3) ф'ф ctg 0 + |
(ф'2 + |
Я2ф2) sin2 0)}(т~1)/2. |
|||||||||||||
Подставляя выражения |
для |
компонент |
напряжений |
(12.41) |
|||||||||||||||
и перемещений |
(12.40) |
в |
уравнения |
движения (12.37), |
прихо |
||||||||||||||
дим к формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ае = |
Н (<) + |
^ |
/ (<) г2~* (ф" + |
ф ctg 0) + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
^ |
Г (0 |
|
|
(И>' + |
(Ф ctg 0)' + |
Я (3 — Я) ф] х sin 0)' + |
||||||||||||
+ 6 (1 — Я) (\|/ 4- ф ctg 0) % + |
2Хтп ((2Я — 3) ф |
+ |
Яф ctg 0] %}> |
(12.42) |
|||||||||||||||
где |
Н (t) — произвольная |
функция |
t, |
|
и |
к |
системе |
из |
дву* |
||||||||||
обыкновенных дифференциальных уравнений |
|
|
||||||
{ - ^ e d ^ + |
^ c t g 0)' |
Ч- ^(3 — Я)-ф] Xsin 0)'} |
+ |
|
|
|||
+ |
Хт (3 — Хт) [ф* + М> ctg 0)' + Х(3 — *) г|>1% + |
|||||||
|
|
+ 2Хт (X — 3) (а|/ — t|)ctg 0) % ctg 0 + |
|
|
||||
+ 2Хт {[(2Я, - |
3) i|/ + |
Ад|)ctg 0] х}' + |
6 (1 - |
X) [(t|/ + |
i|>ctg 0) %]' + |
|||
|
+ |
jfzr2 W |
+ |
to ctg 0)' + |
{K ~ 2) {X “ 3) |
= |
° ’ <12-43) |
|
(ф'х sin3 0 )' + |
К (Km — 3) cpx sin3 0 + уф sin3 0 = |
0. |
||||||
Таким образом, рассматриваемый класс решений характери
зуется компонентами напряжений (12.41) |
и перемещений (12.40), |
||||||||||
где функции ф(0) и Ф(0) |
определяются из системы обыкновенных |
||||||||||
дифференциальных уравнений |
(12.43). В отсутствие деформации |
||||||||||
кручения |
ф = 0 |
имеем |
ТеФ= т„р = w = 0, |
а второе |
уравнение |
||||||
(12.43) удовлетворяется тождественно. |
|
|
|
|
|||||||
2. |
В случае К= 0 система уравнений рассматриваемой теории |
||||||||||
пластичности |
(12.37), |
(2.56), |
(12.38), |
(8.37), |
(8.38) |
допускает |
|||||
решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аг = о0 + xV3gm(£) cos 20, аф= а 0 — у-УЗ#ш(£) sin2 0, |
|||||||||||
а0 = |
Я (<) — х ^ |
gm(/) cos 20 — и |
|
рkg (/) г2 (1 — 3 cos2 0), |
|||||||
|
тг9 = |
— х |
|
gm (t) sin 20, |
туф = |
тГф = |
w -- |
0, |
|||
для перемещений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и = |
— и ^ 0 g (t) г (1 — 3 cos2 0), |
V = |
— v. |
g (t) r sin 20. |
|||||||
Здесь g(t) — произвольная функция £, к = |
±1. |
|
|
||||||||
Полученные классы решений могут описывать ряд случаев динамического деформирования несжимаемой упрочняющейся по степенному закону среды.
§87. Сжатие полупространства сосредоточенной силой
1.Пусть на поверхности полупространства из несжимаемого упрочняющегося по закону
8о = Ка1
материала приложена нормальная сосредоточенная сила P(t), ме
няющаяся во времени по специальному закону. |
полагая |
||
В |
соотношениях и |
уравнениях (12.40) — (12.43), |
|
ф(0) |
= # ( £ ) = 0, п = 2, |
для компонент напряжений, |
отличных |
от пуля, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
аг = |
о0 — 2х/1/2 (t) г-2 (5\f' + 4if ctg 0) %, |
|
|
|||||
|
|
|
оф= |
о0 — 2х /1/2(г)г”2(\|/ — if ctg0)x, |
(12.44) |
||||||
= |
- г |
/ 1/2 (0 ' - 2 ( д а W |
+ (г|. ctg 0)' - |
/^ ] Х^ |
0)' + |
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ 2 (ф' — л\>ctg В) х + |
v (г|)' + |
я|) ctg 0)|, |
||||
где |
|
|
Тге = |
x /1/2(*)r“ 2[if" + (Tf) ctg 0 )' — 4if]x, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
( ^ hf" + (i|> ctg0)' — 4г|)]2+ 28 (if/2+ \f2 ctg2 0) + 52\f'if ctg 0) |
\ |
|||||||||
Функция /(£) в нашем случае определяется |
согласно квадра |
||||||||||
туре |
(12.19) |
при /71=1/2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Компоненты перемещений будут определяться формулами |
|
||||||||||
|
|
и — xA;/(£)r-3(if' + if ctg 0), |
|
v = yikf(t)r~3yjp. |
(12.45) |
||||||
Второе дифференциальное уравнение удовлетворяется тож |
|||||||||||
дественно, а первое принимает следующую форму: |
|
|
|||||||||
( ж |
т |
+ |
^ clg 0^ — /,х№'*■sin 0) ] |
+ |
2 ^ |
+ ^ |
ctg 0^ — ^ |
^ + |
|||
|
|
+ |
2 [(\f' — if ctg 0) хГ + 4 (if' — if clg 0) х ctg 0 + |
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
-тг [if" + |
(if ctg 0)' + |
2if] = 0. |
(12.40) |
|||
Для |
численных |
расчетов удобно |
свести |
уравнение |
(12.46) |
||||||
к системе из четырех дифференциальных уравнений первого по рядка
if' = s —if ctg 0, s' — 4if' + гео, |
|
т = a — т ctg 0 ---- (5 — 2\f ctg 0) — vs, |
(12.47) |
o' = — 2T — (s — 2\f ctg 0) ctg 0 — 2v\f, |
|
где введено обозначение
со = -j=- |/V2 + Y т4 + 16 (7s2 — s\|) ctg 0 + if2 ctg2 0).
V 2 |
|
|
|
Граничными условиями для этой системы будут |
|
||
т = if == 0 при |
0 = 0; а = т = 0 |
при 0 = л/2. |
(12.48) |
Рассмотрим мысленно |
выделенное пз |
полупространства тело |
|
в виде нолушара, ограниченное плоскостью 0 = л/2 и сферической поверхностью произвольного радиуса г с центром в начале ко ординат.
Используя выражения для перемещений (12.45), предвари тельно вычислим интеграл
Я /2
|
|
^ (и cos 0 — v sin 0) сШ= |
|
к -^ |
Q, |
|
|
|||
где |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ^ [(^sinG)' cosG — |
|
sin2 0] d0. |
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, интегрируя по частям, получаем |
Q = 0. Это означает, |
|||||||||
что проекция вектора количества движения рассматриваемой по |
||||||||||
лусферы на ось 0 = 0 будет равняться |
нулю |
и равновесие этого |
||||||||
тела выражается условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
| (аг cos 0 — тгЭ si п Н) г2 sin 0 dQ + |
Р = 0. |
(12.49) |
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя сюда ог и тг0 из |
(12.44), выраженные через функ |
|||||||||
ции if, 5, т и о, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р = |
n j f ' - («), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.50) |
|
Я /2 |
|
|
|
|
Я /2 |
|
|
|
|
J = |
J* |^сг — |
(5s — я|) ctg 0)j cos 0 sin 0 dO — 2 |
| т sin2 0 dd. |
о |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для компонент напряжений окончательно находим |
|
||||||||
где |
|
ОН = |
— |
2лJr |
(0)> |
|
|
|
(12-51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CF* == о -----(5s — г|‘<ctg 0), |
|
Ое = |
а, |
|
|
|||
|
|
аф%=ст — A (s _ |
2T|,ctg0), |
т*е = 2т. |
|
|||||
|
Соответственно перемещения будут представлены формулами |
|||||||||
|
|
— к Г Р ) |
.?(0) |
v = |
j . |
Р2 (О |
Ч>(0) |
(12.52) |
||
|
|
л2/ 2 |
г3 ’ |
|
|
л'/' |
г3 |
|
||
|
На основании численного решения краевой задачи (12.47), |
|||||||||
(12.48) на рис. 12.10 при v = 30 представлены |
графики |
относи |
||||||||
тельных напряжений a*j. |
|
|
|
|
|
|
учитывать уже |
|||
|
Для случая ко^уса следует в условии (12.49) |
|||||||||
отличное от нуля Значение Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. На основе полученных формул и уравнений можно иссле довать задачу о действии сосредоточенной силы, приложенной
Рис. 12.10
в точке бесконечного тела (см. рис. 11.9). Систему дифферен циальных уравнений (12.47) в этом случае следует интегрировать при граничных условиях
т = Ф = о при 0 = 0, я.
Условие равновесия мысленно выделенного шара с произволь ным радиусом г и центром в начале координат записывается в виде (12.49) с заменой верхнего предела я/2 на л. Остальные формулы для напряжении (12.51) и перемещений (12.52), а также зависимость (12.50) остаются без изменений.
§ 88. Колебания полупространства
Рассмотрим полупространство из несжимаемой среды, упроч няющейся по закону
= Ко1
на поверхности которого приложены распределенные нагрузки (см. рис. 11.7)
|
ае = |
— /> (I) -2. cos р, |
тг0 = |
p(t) у |
sin Р при |
0 = |
|||||||
Здесь |
p(t) = |
f W3(t)/a, функция |
j(t) |
определяется |
согласно квад |
||||||||
ратуре (12.19) |
при п = 3, а н р — заданные параметры. |
||||||||||||
Принимая |
в |
(12.41)— (12.42) |
|
п = 3, ср = 0, |
для |
напряжений |
|||||||
будем |
иметь |
|
|
,1/3(0 [/V |
У |
, |
|
|
|
/п , оч |
* |
|
...1 |
|
On do — |
|
* |
« |
« |
- |
|||||||
|
------------- -.(-гг) |
+ |
0- < о ± 3* |
|
4 |
||||||||
|
Оц — 0(3, |
тги ■- |
/ ,/3(0 |
|
|
3 |
|
|
(12.53) |
||||
|
— , |
|
12*-. |
||||||||||
|
СО= 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
О) |
|
* |
|
|
|
Для перемещений получаем
|
« = _/,•/(<) iM , |
У = о, |
|
|
||
|
|
Г |
|
|
|
|
где s = г|/ + г|э ctg |
0 согласно |
(12.43) |
при |
Х = п = 3, |
ф = |
0 удов |
летворяет дифференциальному уравнению |
|
|
|
|||
( £ ) ’ + |
( £ “ * eV + |
- « |
( £ |
) ’ - « » ' - |
о. |
(12.5/,) |
Вводя функцию т(6) при помощи зависимости s' = то), из вы ражения со (12.53) приходим к кубическому уравнению относи тельно 1/s' Определив действительный корень, уравнение (12.54) можно свести к системе из трех обыкновенных уравнений первого порядка
s' = 6 т т ' = а — т ctg 0 -f Q + vs,
(12.55)
а' = - 2т, Q = Y / ? Т 8 Т Р + 9s- Y V х 6 + 8 1 / - 9s.
Граничными условиями для этой системы дифференциальных уравнений будут
т = 0 при 0 = 0; о = cos [), т = sin при 0 = л/2.
Формулы для напряжений и перемещений окончательно за пишутся в виде
O r = — p { t ) ^ г ( о — Q ,), ст,) = — p { t ) ^ o , Стф = а0,
T r o = — P {i)^x, |
= |
кр3(1)-^5, |
у = 0. |
|
||
В отсутствие касательных нагрузок на |
поверхности |
0 = я/2 |
||||
следует принять |
= |
0. Полагая в этом случае тго = 0 по всему |
||||
полупространству |
и |
удовлетворяя |
системе |
уравнений |
(12.55), |
|
приходим к значениям о = |
1, s = Q3/18 и к кубическому уравне |
|||||
нию vQ3 + 12Q + 18 = 0. |
|
|
|
|
||
отличие от обычных концентраций напряжений около гладких поверхностей выточек, вырезов, полостей или включений). Ока зывается, как показал К. Чобанян, эта закономерность, имеющая место для однородных тел, может нарушиться для составных тел. За счет различия деформативных свойств материалов на крае контактной поверхности возможна сильная концентрация напря жений при выступающем угле, и наоборот, этот край может оказаться в малоиапряженном состоянии при входящем угле.
Когда край соединения составного тела фиксирован, т. е. за даны все параметры соединения, то согласно указанной теории делается проверка прочности н этим ставится «диагноз» состоя ния соединения. Если же нужно спроектировать край соедине ния составного тела, когда задана часть параметров, то из уста новленной сложной игры (зависимости) между параметрами, обеспечивающими малопапряженное состояние, определяются остальные параметры.
Р. Шириняном, по инициативе К. Чобаняна, методом фотоупругости изучено явления малонапряженности. Опыты проводились на составных пластинках, находящихся в плосконапряженном состоянии. Одну из состав ляющих пластинку частей представлял оптически активный материал из эпоксидного компаунда, а в качестве второй брались материалы с различ ными упругими характеристиками (дюралюминии, полистирол, оргстекло).
Этими исследованиями были подтверждены теоретические |
выводы явле |
|
ния малонапряженности. Использование этого явления |
в нахлесточ- |
|
ных и стыковых клеевых соединениях, как |
показано в |
экспериментах |
Д. Давидмна и И. Домбаз поп (см. [178,07]), |
может увеличить прочность |
|
в 3—4 раза.
Одно нз немногочисленных практических применении открытия Чоба-
няпа сделано |
в Южном |
филиале научно-производственного объединения |
|
по тракторостроению (вблизи Еревана) |
в отношении дисков муфты сцеп |
||
ления. Обычно |
эти диски |
изготавливают |
из стального и асбестового слоев |
с помощью заклепочного соединения, из-за которого диски выходят из строя, причем значительная часть их толщины остается неиспользованной.
Заклепочные соединения заменили клеевыми, создав па крае контакт ной поверхности малопапряженное состояние. В результате, из-за повы шения прочности соединения асбестовая накладка используется рацио нально, сохраняя работоспособность и изнашиваясь практически до кон тактной поверхности. 11а Харьковском заводе тракторных самоходных шас си ускоренные стендовые испытания этих дисков показали повышение ресурса работы в 2—2.5 раза по сравнению с серийными (заклепочными) дисками за счет увеличения допустимого износа накладок. Эту практиче скую рекомендацию легко реализовать также во время эксплуатации, ког да выходит из строя заклепочпый диск (часто дефицитный). Устрапив за клепки, полуиспользованиую асбестовую накладку надо приклеить на стальпое основание, создав на краях контактной поверхности углы, соот ветствующие малопапряжепному состоянию.
В последующих работах К. Чобаняна и его учеников А. Аве тисяна, Р. Алексаняна, С. Геворкяна, В. Едояна, А. Саргсяна, А. Хачпкяиа (см. [67. 178]) получило дальнейшее развитие и обобщение исследование явления малонапряженности составных линейно-упругих тел.
Одним из перспективных направлений в этой области «меха ники неразрушения» может быть исследование явления малонапряженности с учетом нелинейных эффектов. В этой, последней главе рассматриваются вопросы малонапряженности в угловой точке контактной поверхности составного тела из степенно уп рочняющихся материалов. Исследуются продольный сдвиг, плоская деформация, пространственное деформирование состав ного клина. Обсуждается также задача малонапряженности составных тел при произвольном упрочнении материалов.
§ 89. Продольный сдвиг Рассмотрим напряженное состояние в окрестности клиновид
ного выступающего или входящего края контактпой поверхности составного цилиндрического тела со степенным упрочнением ма териалов в условиях продольного сдвига [74]. Такое напряжен ное состояние реализуется и при кручении данного цилиндриче
|
|
|
ского тела. Для однородных тел с фи |
||||
|
|
|
зическими нелинейными соотношения |
||||
|
|
|
ми между напряжениями и деформа |
||||
|
|
|
циями вопросы, связанные с продоль |
||||
|
|
|
ным сдвигом, |
исследованы в |
работах |
||
|
|
9 - 0 |
Г. |
Нейбера |
[124], |
В. Соколовского |
|
|
|
|
[165], Г. Черепанова [9, 176], |
Дж. Рай- |
|||
|
|
|
1 са |
[146]. Подробный |
анализ |
исследо |
|
|
|
|
вании в этой области содержится в ра |
||||
|
|
|
ботах [9, 146]. |
|
|
||
|
Рис. |
13.1 |
|
1. Постановка задачи. Угловая точ |
|||
системы |
координат, ось |
ка выбрана за начало цилиндрической |
|||||
0 = 0 направлена по контактной поверх |
|||||||
ности, а |
ось |
z вдоль продольной оси тела (рис. 13.1). В каж |
|||||
дой из двух областей поперечного сечения имеем дифференци альное уравнение равновесия
<9тrz |
1 |
dXQz + |
^ |
|
= 0; |
(13.1) |
|
дг |
г |
|
<90 |
|
|
|
|
соотношения между компонентами |
деформаций |
и перемещений |
|||||
О |
dw |
|
г, |
|
1 |
дWл |
(13.2) |
zVrz |
j r ’ |
' |
zYe* — |
г |
Л1\ » |
||
|
d r |
|
|
Г |
<90 |
|
|
закон упрочнения материала
о0 = /7(ео)е0;
зависимости между компонентами напряжений и деформаций
т02 = |
2F(e0)4oz, |
= 2F(so)4rz, |
(13.3) |
причем |
|
|
|
°Ч) — |
Туг + т~rz, |
е0 = 2 | / * + yrz* |
|