книги / Пространственные задачи теории пластичности

а также условия сопряжения на контактной поверхности

где 7 = &2/&1. Таким образом, приходим к четырехточечной зада­ че на собственные значения для системы дифференциальных уравнений (13.8) прп граничных условиях (13.9), (13.10).

Вводя новую функцию *ф*(0, X):

(13.11)

из (13.8) — (13.10) приходим к дифференциальному уравнению

и условии на контактной поверхности

где Hi — произвольная постоянная.

Применяя (13.15) для различных интервалов 0 и используя

которые вместе с (13.14) составляют систему из трех уравнеппй относительно pi, рг и X. Эта система уравнений, в принципе,

после исключения pi и рг определяет Я = А,(а, р, ч, и)- Полагая полуобратным способом Я = А,^.<;1 , приходим к уравнению ги­ перповерхности одинаковой степени концентрации напряжений.

Следы этой поверхности на координатной плоскости оф: се­ мейство кривых [J= [}(a, ч, п) в зависимости от у и п.

Определяя /,• из уравнения (13.11) и используя условия со­ пряжения при 0 = 0 и 0 = —ф, находим Д с точностью до

Y на 1Ау в (13.14), убеждаемся, что система уравнении (13.14), (13.17), определяющая Я, остается неизменной.

3. Три симметричных клина. Из полученного решения следу­ ет решение для случая трех симметрично расположенных клинь­

определяется по-прежнему из системы уравнений (13.14), (13.17), а функция — согласно (13.15) при г = 1, 2, причем ср в выражении Яг (13.16) считается за­ данным. Функции /1 и /2 опреде­ ляются по формулам (13.18).

4. Однородный материал. В слу­ чае, когда клинья состоят из одп-

Рис. 13.2 наковых материалов, т. е. имеем однородный клин, следует

получен Г. Черепановым [176] и Дж. Раисом [146] другими способами. Когда v Ф 1, получаем

5. Линейно-упругий материал. В этом случае при п — 1 из

(13.14), (13.17), (13.19) приходим к уравнению относительно Я:

соответственно. По-прежнему, используя решение (13.15) при условии \f>i (сс) = —т|^2(—Р)= —°°, находим

г ( ‘ +

Тогда из системы уравнений (13.14), (13.17) можно определить

На рис. 13.6 показаны следы этой поверхности на плоскости оф. Эти кривые, соответствующие конечным напряжениям, отделяют область малонапряженности (ниже кривых) от области сильной концентрации напряжений (выше кривых).

Из характера изменения этих кривых заключаем, что при увеличении степени упрочнения п зона малонапряженности

уменьшается, если сильному материалу соответствует больший угол, чем слабому, и наоборот, зона увеличивается, если силь­ ному материалу соответствует меньший угол, чем слабому.

Нетрудно показать, что при а = р и в рассмотренном случае составной клин ведет себя как однородной (ч = 1 ), значение X

которого (включая и случай v = l) совпадает со значением, по­ лученным по формуле (13.20).

К уравнению (13.24) приходим и при допущении изменения знака перемещения. При а = (3 нулевая линия (ср = 0) переме­

щения проходит по контактной поверхности, и в этом случае составной клин ведет себя как однородный (ч ~ 1 ). Здесь для X

получается формула (подробнее см. статью автора в Изв. РАН. МТТ.— 1992.— № 4)

шанных граничных условиях, для определенности полагаем, что край 0 = а свободен от нагрузок, а край 0 = —fJ жестко защем­ лен. Принимая, что перемещение не меняет знак, решение строим

где верхний знак относится к v ^ 3/4, а нижний — к v ^ 3/4. Такое значение X получается и в случае (3= 2а, при котором

нулевая линия (ф = 0 ) перемещения проходит по контактной поверхности и составной клин ведет себя как однородный.

Полученные выражения X для фиксированных п — монотонно

убывающие функции v. Для первой и второй граничных задач «расчетным» X является (13.20), а для третьей задачи — (13.26),

3.Эти исследования можно провести также путем сведепия

ксистеме интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра, при помощи введения функции напряжений, методом годографов [146], однако указанные пути не проще, чем изложенное здесь решение в перемещениях.

§ 91. Продольный сдвиг с растяжением

Рассмотрим конечное напряженное состояние элемента на крае контактной поверхности составного клиновидного тела из упрочняющихся материалов, находящегося под совместным воз­ действием продольного сдвига и продольного растяжения (рис. 13.9). Такое напряженно-деформированное состояние вблизи этого края реализуется также при совместном кручении и растя­ жении данного составного цилиндрического тела.

Будем исследовать область малопапряженности в простран­ стве физических и геометрических параметров. Здесь для опре­ деленности рассматриваем первую краевую* задачу.

Исходными уравнениями являются: дифференциальные урав­ нения равновесия (8.27), соотношения между компонентами де­ формаций и перемещений (8.28), закон упрочнения (8.29), зави­ дь симость между компонентами напряжений и де­ формаций (8.31) при допущении несжимаемости

Поле перемещений, удовлетворяющих усло­ вию несжимаемости материала, представим в следующем виде:

отсутствуют напряжения а01- и тг0г. Полуобратным способом полагаем, что по всему объему тела Ori о01 xvoi 0 .

Принимаем степенной закон упрочнения

Рис. 13.9 т. е. для обоих материалов значения т считают­ ся одинаковыми, а к — различными. Отличные

от нуля компоненты напряжений будут представлены формулами

причем ^ = /С2//С1. Удовлетворяя граничным условиям (13.27), первому условию (13.28) на контактной поверхности, полагая а, Р Ф л/2 и обозначая Mi = М, С = Mq в соответствующих областях,