книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfсоотношения между компонентами деформаций и перемещепий
ди |
и 1 dv |
0 |
dv |
и |
1 ди |
(13.31) |
|
ег= д г ' е° = — + 7 5 0 ’ |
z ^r0 = |
d F ~ T + |
T W ; |
||||
|
|||||||
закон упрочнения |
|
|
|
|
|
||
причем |
о 0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ст0 = у V(<*r — сте)2 + 4т20, |
е0 = |
] / (ег — ее)2 + 4у20; |
|
||||
зависимости между компонентами напряжений н деформаций |
|||||||
ог — а = 2 /се™“ 3ег, |
oG— сг = 2кг™~ггд, |
тгЭ = |
2 /се™~1угЭ. (13.32) |
||||
В клиновидных областях ( Х 0 < а и —р ^ 0 ^ 0 |
величины обо- |
||||||
значим соответственно индексами i = 1, 2. В обеих областях зна чения т = 1/п принимаются одинаковыми, а к — различными.
2 . |
Гиперповерхность концентрации напряжений. Перемеще |
|||
ния, удовлетворяющие условию несжимаемости материалов |
ег + |
|||
+ е0 = 0 , в окрестности точки г = 0 представим в виде |
|
|||
|
|
Ui = Г*7ь |
= — (X + 1) |
|
а компоненты напряжений соответственно в форме |
|
|||
<Tri = |
СТ61 + 4 Я |
^ - 1 )т / ; Х ь |
Tr0i = 1н1Хк~ 1)т [ / Г + (1 - X2) и ] |
X I, |
где |
|
|
|
|
|
Xi = |
[/i + |
(1 — X2)/i]2 + 4X2/i ) |
|
Здесь /< = /<(0, X) и X — искомая собственная функция п соб~ ственное значение рассматриваемой задачи соответственно.
Удовлетворив дифференциальным уравнениям равновесия (13.30), приходим к обыкновенному дифференциальному урав нению
\ [й + (1 |
- |
х2)П] xi)" + |
(1 - |
£ |
) |
[/*' + (! - Я2) |
xi + |
|||
|
|
+ 4г| (/*%*) |
= 0 , т) = |
X [1 |
+ |
(X |
1)^] (13.33) |
|||
и к выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
£.Г(А.—1)7П |
|
|
|
|
|
|
, |
|
CT0i |
= |
l ( [ /i |
+ |
( ! — |
X2) /г] Xi)' |
+ |
^ / i X i b |
Х=?И . |
||
В отсутствие внешних сил вблизи угловой точки имеем гранич ные условия
i[fi |
+ ( 1 - х 2) /{] Xi)' + |
W m |
= |
0 , |
/i + |
(1 — X2)/i = 0 при |
0 = |
a, |
(13.34) |
— p. |
На контактной поверхности 0 = 0 имеем условия равенства напря жений а01- и тГ01, а также непрерывности перемещений и{ и у,.
Тогда будем иметь еще следующие условия:
\ [ fi + (1 — № )h \ УлУ + W i X i = У \ [й |
+ (1 — И /а] ХгГ + ^УЧ1гУл- |
||||
[/i + (1 — К ) /, ] Xi = |
Y [/2 |
+ |
(1 - |
Г-) /2] Ъ , |
(13.35) |
f'i = / 2 , f i . = U |
ПРИ |
0 = |
0. |
|
|
Здесь 7 = /сг/^1. Приведенная система дифференциальных урав нений (13.33) при краевых условиях (13.34) — (13.35) в прин ципе определяет функции /1 (0, Я), /2 (0, Я) с точностью до по стоянного неопределенного множителя соответственно в областях
0 ^ |
0 ^ а и -ф ^ 0 < 0 н |
значение Я в зависимости от парамет |
|||
ров |
а, (5, т, у. |
Условие |
Я >1 в пространство этпх параметров |
||
определяет зону |
малонапряженности, |
а при Я < |
1 — зону силь |
||
ной концентрации напряжений. |
Я = Я *<1, |
из (13.33) — |
|||
|
Полуобратным способом, полагая |
||||
(13.35) численными методами можно определить семейство кри вых одинаковых степеней концентрации напряжений. Эти кри вые р = р(а, ч, п ) — следы гиперповерхности Я (а, р, у, га) = Я*
на координатной плоскости оф в зависимости от 7 п п.
Когда внешние кромки клина жестко защемлены, граничны
ми условиями для системы |
уравнений |
(13.33) будут условия |
|||||
сопряжения на контактной поверхности (13.35) и |
условия на |
||||||
внешних краях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
U = /г = 0 |
при |
0 = |
а, — р. |
|
|
|
Если |
же один край (скажем, |
0 = а) |
свободен |
от |
нагрузок, |
||
а другой (0 = —Р) жестко защемлен, этими граничными условия |
|||||||
ми будут контактные условия (13.35) и |
условия |
па внешних |
|||||
краях: |
|
|
|
|
|
|
|
{ [ f l + (1 - V ) h ] Xi)'+ W 1X1 = 0, |
/I + (1 - |
Я,*) А -О |
при 0= а, |
||||
|
/2 =/2= о при е=—р. |
|
|
||||
При подстановке (13.11) снижается порядок |
уравнения |
||||||
(13.33) |
с граничными условиями (13.34), |
(13.35). |
|
специальном |
|||
3. |
Гиперповерхность |
конечных напряжений. В |
|||||
исследовании нуждается случай Я = 1. Компоненты перемещений в этом случае, удовлетворяющие условию несжимаемости мате риалов, ищем в следующем виде:
1Ц = СгГ/i, Vi = — 2CiVfi + С{Г 111 г. |
(13.36) |
Здесь /<= /<(0) и Ci — произвольные функции и постоянные со
ответственно.
И, наконец, требование непрерывности Oei на этой же поверх ности дает
? |
|
(Vi + iye |
Г |
К |
+ 1)*> |
|
|
о |
( K « |
+ i ) 2 + ^ 2i r m |
Л |
( К ( ^ + |
1)2 + /^ |
Г т |
(13.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразоваппем уравнение |
(13.38) сводится к виду (£ = 1, 2) |
||||||
|
|
4(1— m) фДф-+ l) |
|
(13.45) |
|||
|
|
фГ + 4фг = |
|
+ |
1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Система |
дифференциальных |
уравнений |
(13.45) |
прп |
гранич |
||
ных |
условиях (13.42) — (13.44), |
в принципе, определяет |
гипер |
||||
поверхность Ф(а, р, у, т ) = О конечных напряжении, отделяю
щую зону малонапряжениости от зоны сильной концентрации напряжений. Следы этой поверхности на координатной плоско сти оф — семейство кривых р = р (а, у, п) для различных значе ний у и /г.
Компоненты напряжений и перемещений определяются с точ ностью до произвольных постоянных множителей В п С соот
ветственно.
Вводя новую функцию gi{^i) при помощи подстановки
фг=£(фг)> уравпение (13.45) сводим к дифференциальному уравнению первого порядка
/ _____ 4^i ~т (! + gj) (1 ~Ь mSj)
+ т (1 + g-)2
Однако для численной реализации решения с точки зрения фор мулировки граничных условий удобнее исходить из уравнения (13.45) .
В частном случае для лппейно-упругих материалов т = 1 из
(13.45) будем иметь уравнение фч + 4ф{ = 0, общее решение ко
торого есть |
|
|
|
|
|
фi = Mi cos 20 + Ni sin 20, |
|
(13.46) |
|
где М { ж Ni — произвольные постоянные. |
при |
m = 1 |
||
Используя |
граничные условия |
(13.42) — (13.44) |
||
и выражение ф< согласно (13.46), |
приходим к уравнению |
|||
F = (y 2 — у + l)cos 2а cos 2 р + (^ — l)cos2 [} — |
|
|
||
|
— Т (Т — l) cos 2а — у sin 2а sin 2 (J+ |
|
|
|
+ (а + |
fty) (sin 2а cos 2 [} + у cos 2а sin 2^) — у = |
0. |
(13.47) |
|
Это уравнение совпадает с соответствующим уравнением К. Чобаняна [178], если в нем положить коэффициенты Пуассона материалов равными 1/2 .
в окрестности угловой точки ищем в виде
Щ = rfu Vi = — 2 г/ь
где /i = /i(0) — произвольные функции. Представляя соответствую
щие компоненты напряжений в форме
0*ri = СГбг “t ^^ч/iXb ^r0i = |
^i/iXb |
причем |
|
* - ( К / Г 7 ¥ , Г |
‘ . |
и подставляя их в уравнение равновесия (13.30), приходим к
выражению
о
OQ{ = Hi — kiDi In г — 2ki \fifo dQ,
о
где Hi, Di — произвольные постоянные, и к дифференциальному
уравнению
( f h i У + 4 / Ф = Di. |
(13.48) |
Из условия непрерывности Ое* на контактной поверхности сле
дует Н\ = # 2 |
и D\ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя новые функции -ф<(0) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
fi = х I Z)< |пф,-, |
X = sign Di, |
|
|
||||
и используя граничные условия /i (ос) = /2 (—Р) = 0 , находим |
|||||||||
h |
= - |
и ID t г ] |
x\hdQ, |
/ 2 = X |D 2 |п | ф2 <*0. |
(13.49) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
- Р |
|
|
Тогда уравнение |
(13.48) перепишется в следующем виде: |
||||||||
где |
|
|
(ф!®»У + |
4\|лсо4 = |
1 , |
|
|
||
|
|
|
_________ |
|
|
|
|||
|
|
o)i = |
[ V |
|
+ 4ф?) |
; |
|
|
|
преобразуя, |
приходим к дифференциальным уравнениям |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3—т |
|
|
|
|
, |
, , |
_ |
« |
+ 4^ ) 2~ |
|
(13.50) |
|
|
|
+ |
4 ф х ------------- —2 |
" |
|
||||
|
|
|
|
|
|
тг1){ + Щ |
|
|
|
Из условия |
и{ = 0 на краях и непрерывности щ |
и тГе< |
на кон |
||||||
тактной поверхности получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ti(a) = |
i|52(-P) = |
0 , |
|
(13.51) |
||
|
фх = |
7_пф2, |
фх®! = фг® 2 |
при 0 = |
0 . |
||||
|
|
||||||||
22 м. А. Задоян
Используя условие непрерывности на контактной поверхности, пз (13.49) находим
ао
J |
+ у ~ п J ^2^0 = 0 . |
(13.52) |
о- р
Система дифференциальных уравнений (13.50) при условиях (13.51) — (13.52) определяет гиперповерхность, на которой интен сивность касательных напряжений конечна. На этих поверхно стях силы
0 |
г |
|
Р г = J o rrdQ, |
P Q = j* OQ dr |
(13.53) |
оо
остаются конечными при приближении к вершине клина.
2. |
Эту |
задачу будем |
рассматривать также |
в напряжениях. |
||
Вводя функцию напряжений |
|
|
|
|||
1 |
дФ* |
_4 1 |
^ |
д2Ф{ |
1 дФ{ |
1 а2Ф. |
° Н = Т |
~ |
7" IP - ’ |
aei=‘ ~dr^~’ |
Tr0i = 7" “Ж |
~ ~ дгд§’ |
|
удовлетворяем уравнениям равновесия (13.30). Представляем эту функцию в форме
ф 1 = А г % ( В ) - ^ г Ч п г + ^ А г \
где /i(0) и А — произвольная функция и постоянная соответ
ственно. Для компонент напряжений получим
o ri = A fi |
+ 2Afi — A In г + А , |
(?вг = 2Afi — A In г, r m = — A f i |
|
Для степенного закона |
упрочнения eoi = К & о», причем п = |
= 1/т, и при условии несжимаемости материала имеем зависи
мости между деформациями и напряжениями
К
£r i = ~4“ ^Ог (о»гг <?0i)> Y r0i = “ g " ^ 0 i ^ r0 i-
Выражая компоненты деформаций через компоненты перемеще ний, интегрированием находим
Mi = В K i r |
(oj)- + |
1 ) х { , |
Tpi = f ' i , |
|
V i = rcpi — B K i [ |
[(т|4 + |
1) Xi]' + 4i|)iXil Г In r, |
||
где ф( = ф,(0) — произвольные функции, В = |
2~п~1А\А\п~х, |
|||
X* = [ V |
(ф! + |
О 2 + |
4г|н)” |
\ |
Подставляя выражения щ и |
в условия несжимаемости ма |
|||||||||||
териала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дН |
|
“ j |
1 |
toj |
О, |
|
|
|
|
|||
|
дг |
+ |
г + г |
50 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
приходим к уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(V i + |
1 )х * Г |
+ |
Ц ф |
= |
E iy |
|
|
(13.54) |
||||
q>i + 2Bki(^l + |
l)x t= |
0 » |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
где Ei — произвольная постоянная. Определяя функции ср» |
из вто |
|||||||||||
рого уравнения (13.54) |
и |
пспользуя условие |
1^ = 0 |
на |
краях |
|||||||
клина, получаем £ ,= 0 и |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
а |
l) Xjd0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
i>i= 2В К гг ^( % + |
V2= |
— 2B K 2r |
] |
+ l ) |
%2dQ. |
|||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
-P |
|
|
|
|
Из непрерывности |
а0,- |
на |
контактной |
поверхности следует |
||||||||
/х(0 )= /2(0 ). Тогда, интегрируя, находим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J i = |
\ г|^0 + |
JV, |
N |
= |
const, |
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразованием первого уравнения |
(13.54) |
приходим к следу |
||||||||||
ющей системе дифференциальных уравнений: |
|
|
|
|
||||||||
aj)j + 4\|)i = 4(п-1)я|ч(я|?{ |
+ |
1) |
|
|
(13.55) |
|||||||
|
|
|
4г|)? + л(г|)' + |
1)2 |
|
|
|
|||||
Используя граничные условия для щ и условия непрерывности щ
и Tr0i на контактной поверхности, получаем соответствующие значения для функции ф,-:
|
obi (а) |
= ^г(— Р) = — 1, |
|
(13.56) |
||
^ х = ^ 2. |
(г|)1 + l)x i = f ( ^ 2 + 1 )хг |
ПРИ 6 |
= 0 , |
|||
|
||||||
где g = К ъ / К ь |
Условие непрерывности vt |
па контактной поверх- |
||||
ности дает |
|
|
|
|
|
|
? |
|
о |
|
|
|
|
j (^ 1 + О Xi^9 + 8 |
1(^2 + 1) ХгdQ = |
0'. |
(13.57) |
|||
о |
|
- р |
|
|
|
|
Система Дифференциальных уравнений (13.55) с условиями (13.56), (13-5?) определяет гиперповерхность конечных интен сивностей напряжений. Любопытно отметить, что полученная си стема уравнений (13.55) с условиями (13.56), (13.57) совпадает с уравнениями (13.45) с условиями (13.42) — (13.44), если в по следних заменить т и у на п и g соответственно.