книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfдифференциальные уравнения движения |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 дхг0 |
сг. —а( |
= p ^ i |
|
|
|||
|
|
дг ^ |
|
д0 + |
|
_ 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
г |
^at |
|
( 12.1) |
||||
|
|
дхгв . |
1 |
да() |
, 2 |
|
д21\ |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
дг |
+ |
г |
<?0 + |
г Тге |
|
Р а/2’ |
|
|
|
соотношения между компонентами деформации и перемещений |
|||||||||||
да |
|
и |
|
1 |
ди |
|
п |
дм |
v |
1 дм. |
(12‘2> |
е' = Ж ’ |
ев = — |
+ — Ж ’ |
|
2^е = Ж |
- Ж |
+ Ж Ж > |
|||||
закон упрочнения материала |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
<*о = |
кг?, |
|
|
|
(12.3) |
||
где Оо и ео определяются согласно выражениям |
|
||||||||||
СГ0 = — |
У (оГ— ае)2 + 4т%, |
е0 = |
У(ег— е0)2 + 4Y^0; |
|
|||||||
зависимости между компонентами напряжении и деформаций |
|||||||||||
(8.31) при |
е = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ог — о = |
2кг™~ггг, |
а0 |
— а = |
|
|
|
тг0 = |
2feeJl“ 1 vr0. |
(12.4) |
||
Компоненты перемещений, удовлетворяющие условию несжи |
|||||||||||
маемости материала |
ег + е0 = 0, |
|
представим в |
следующем |
виде: |
||||||
и = /(£ )r"x_1cos А(0 — а) — M(t) sin0 + N(t) cos0, |
cv |
||||||||||
v = f(t)r -k- 1sin A(0 — a) — M(t) cos0 — N(t) sin0.
Здесь, /, M, N — произвольные функции времени, |
А, и a — за |
|||||
данные параметры. |
напряжении из |
(12.4) |
можно представить |
|||
Тогда компоненты |
||||||
в форме |
|
|
|
|
|
|
Or = |
ae — 2xfc* |/ (0 Г |
r-(x+2)m cos -x (0 — a), |
x = sign / (*), |
|||
xf0 = |
—x/c* |f(t) |m /—(^+2)m sin A(0 — a), |
/с* = |
/c[2 (A +l)]m. |
|||
Подставляя напряжения (12.6) и перемещения (12.5) в урав |
||||||
нения движения |
(12.1), находим |
|
|
|
||
сге = |
Н (0 -----/ (/) - |
xfc, (^ _ l) I / (0 |m г"»- cos X(0 - |
a) - |
|||
|
— рМ (t) г sin 0 + pN (/) г cos 0, A = |
m1 (^*7) |
||||
где #(£) — произвольная функция от £. Приведенные формулы напряжений (12.6), (12.7) и перемещений (12.5) являются ре
шением системы уравнений (12.1) — (12.4) при |
1. |
Рассматриваемая система уравнений пластичности допускает также решение
Or, о0 = H(t) + [p?'2f (t)± Kkojm(t) ] cos 2(0 — a) —
— pM(t)rsin 0 + pN(t)rcos 0, Tro = —Kkofn(t) sin 2(0 — a),
и = 2/ (t) r cos 2(0 — a) — M (t) sin 0 + N (t) cos 0, k0 =
v = —2f(t) r sin 2(0 — a) — M(t) cos 0 — N (t) sin 0,
причем обозначения сохраняются. Это решение может описывать, г. частности, сжатие клина шероховатыми жесткими плитами, вращающимися с заданной угловой скоростью вокруг цилиндри ческой оси.
Будем рассматривать такие тела, упрочнение которых следует
закону |
|
|
|
|
|
= Ка1 |
(12.8) |
В этом случае, полагая в формулах (12.5) — (12.7) п = 3 и X = 1, |
|||
получаем для напряжений |
|
|
|
ar, a0 = Н (0 - |
|р/(0 + хк, (2 ± |
1) / 1/3 (01 — (0Г— а)- - |
|
— рМ (t)r sin 0 + рN (t) г cos 0, |
т,о = — x k j 1/3 (t) — (6г |
а ), (12.9) |
|
причем кг = 1 |
4К 1,3. |
|
|
Перемещения будут определяться формулами |
|
||
и = f(t)r~2cos (0 — a) — M(t)sinQ + N(t) cos 0,
( 1 2 . 1 0 )
v = J(t)r~2sin (0 — a) — M(t) cos 0 — N(t) sin 0.
Рассмотрим некоторые приложения формул (12.9) — (12.10), соответствующие телам с законом упрочнения (12.8).
1.Сосредоточенная сила P(t), приложенная в точке бесконеч
ной плоскости (рис. 12.1). Принимая в (12.9) — (12.10) Н = М =
—N = a = 0, получаем: для напряжений
от, ае = — (Р/ (0 + /fi (2 ± 1) /1/з (01
sin 0 |
( 12. 11) |
тг0 = — k j 1,s (t) |
|
для перемещении |
|
u = f ( t ) cos 0 v = f(t) sin 0 |
( 1 2 . 1 2 ) |
Мысленно выделим из бесконечной плоскости круг произволь ного радиуса с центром в точке приложения силы. Используя
график которой при /о = 0 приведен на рис. 12.5 сплошными ли ниями для с = 10 и штриховыми для с = 15.
Соответственно для компонент перемещений находим
u = -kj(t)r-*\|/(0), v = -2 k f(t)r’ ^{Q). |
(12.22) |
Граничные условия для уравнения (12.21) следуют из тре бований
о0 = тге = 0 при 0 = ±а,
а также из условия равновесия мысленно выделенного из клина сектора произвольного радиуса г с центром в вершине (рис. 12.6).
Интегрируя обе части уравнения (12.21) от —а до а и ис пользуя граничное условие Ое = 0 при 0 = ±а, получаем
а
J \\) dQ = 0. —а
Тогда момент количества движения относительно вершины клина будет равен нулю и условием равновесия выделенного сектора будет
а |
|
J тг0г2 <26 + М = 0. |
(12.23) |
—а |
|
Уравнение (12.21) можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка
я|/ = s, |
s' = 8ф + у 2 У х 2 + / т 4 + |
144s'2, |
|
||||
а' = — 4v\|), |
т' = а — vs ■ |
|
12 У 2s |
(12.24) |
|||
]/ т2 + |
l^x4 + 144s2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
при граничных условиях |
|
|
|
|
|
||
о = s = 0 |
при 0 = 0; |
о = |
т = 0 |
при |
0 = а. |
(12.25) |
|
Подставляя выражение тге в (12.23), находим |
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
М = |
/ / 1/2 (<), |
/ = |
j т (0) d0. |
|
|
||
Формулы для напряжений (12.20) преобразуются к виду
М (t) *
где
* |
= О — |
24 У 2s |
Т/() *—т. |
Ог |
CJu — ^ |
||
|
|
■ т4 - j- 1.44а2 |
|
Выражения для перемещении (12.22) перепишутся в форме
„ я _ 2
J2 г3 |
/ 2 |
г3 |
На основании численного |
решения |
граничной задачи |
(12.24)— (12.25) методом пристрелки построены графики относи тельно напряжений ац при v = 30, а = я/6 (рпс. 12.6). Появ ление компоненты о0 по сравнению с решением статического изгиба клина — результат учета инерционных сил.
Любопытнорассмотреть |
частный |
случай |
статического |
на |
||||||
гружения M(t) =ЛГ = const прямоугольного клина 2а = я/2. |
Ис |
|||||||||
пользуя частное |
решениеф = Л cos 20 |
уравнения |
( 12 .2 1 ), |
где |
||||||
А — произвольная |
постоянная, |
пз |
(12.20), |
(12.22) |
|
и (12.23) |
на |
|||
ходим решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м . on |
= |
|
М |
|
, |
ае = |
п |
|
||
аг = — |
sin 20, тГ0 |
------ ^ cos 20 |
|
0, |
|
|||||
г“ |
|
|
|
г“ |
|
|
|
|
|
|
и = |
к М 2 . |
OQ |
|
v = |
к М 2 |
|
OD |
|
|
|
---------- т sin |
20, |
-г.— |
т cos 20. |
|
|
|||||
|
b |
|
|
|
о гл |
|
|
|
|
|
Существует численный способ В. Соколовского [166] решепия этой задачи для произвольных а и п.
§85. Сжатие клина осевой силой
1.Рассмотрим задачу о бесконечном клине из несжимаемого упрочняющегося по закону
е0 = Л'оЦ
материала, в вершине которого приложена осевая сила P(t), ме няющаяся во времени по опреде ленному закону (рпс. 12.7).
Полагая в формулах для на пряжений (12.17) H(t) = 0, /г = 3, получим
оГ, Ов = &/,/3(* )г’1{ [(‘Ф* ”
— 3\|>)х]' + VI]/ — 4(1 ±
Тге = / 1/3/-1 (а))" — Зг|)) %,
Рис. |
12.7 |
х = |
[W - Щ 2 + 1(^'2]~1/3- |
||
Принимая X = 3, M(t) = N (t) *= 0, |
|||||
|
|
||||
в выражениях для перемещений будем иметь |
|
||||
„ = |
_&/(*) r-2i|/(0), v = |
-k f{l)r - ^ (Q ) . |
(12.26) |
||
Уравнение (12.18) при указанных значениях параметров сво дится к дифференциальному уравнению второго порядка отиосн-
тельно выражения (ф" — Зф)х + ^ф, после решения которого при ходим к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка
|
|
(ф" - Зф)х + vip = В sin (0 + ч), |
(12.27) |
||
где |
В и |
т — произвольные постоянные. Графики функции |
/(£) |
||
при |
т = |
1/3, /о = 0 показаны па рис. 12.7 (обозначения |
те |
же, |
|
что на рис. 12.5). |
|
|
|
||
Формулы для напряжений перепишутся в форме |
|
|
|||
|
|
Or, Go = |
/1/3(ф ’-1 [В cos(0 + у) —4(1 ± 1)ф 'х], |
(12.28) |
|
|
|
|
fl/3(t)r~[ [ 5 sin(0 + *Y) — v-ф]. |
||
|
|
Tro = |
|
|
|
Уравнение (12.27) сводится к кубическому уравнению отно сительно выражения ( ф " — Э ф ) - 1 . Определяя действительный ко рень этого уравнения и вводя новую функцию # ( ф ) при помощи
Рис. 12.8
соотношения ф7= ёг(ф), принимая в дальнейшем В = 0, приходим
к дифференциальному уравнению первого порядка |
|
|||
g' = 3 - i + |
|
_ _ 4 УЗф |
|
|
8 |
У / l 08/- + v 4 e + 6 y % - 4 |
V №gl + v V - |
бУЗ? |
|
Однако для численного решения удобнее |
(12.27) свести к системе |
|||
из двух уравнении первого порядка |
|
|
||
у = |
С У зГ 5- |
|
(12.29) |
|
= |
18 |
4 У 3v t|'s |
||
V w + v V + * - / y > + vv - . |
|
|||
|
|
|
||
Граничными условиями для этой системы уравнений будут |
||||
|
|
Ф = 0, 0 при 0 = 0, |
а. |
(12.30) |
Рассмотрим выделенный мысленно из клина сектор с произ |
||||
вольным радиусом г (рис. 12.8) и, используя выражения |
(12.26), |
|||