книги / Пространственные задачи теории пластичности

Далее, подставляя я|)£ в четвертое условие (13.60), приходим к искомому уравнению поверхности конечных напряжении

tg 2а Icos 2а II”m— f ctg 2^1 sin 2^11”m= 0 ,

следы которой на плоскости а[} показаны на рис. 13.12. Из ха­ рактера изменения этих кривых заключаем, что при увеличении степени упрочнения п зона малонапряженности увеличивается,

если закреплен край клина из более сильного материала, и нао­ борот, зона уменьшается, если закреплен край клина из более слабого материала.

4. Пусть край 0 = а свободен от нагрузок, а на крае 0 = — (} касательное напряжение и нормальное перемещение равны нулю.

Частично используя представленное в предыдущем пункте ре­ шение, компоненты напряжений и перемещений ищем в виде

Используя решение (13.62) и первые три условия (13.63), на­ ходим

Следы этой поверхности на плоскости aft показаны на рис. 13.13. Из характера изменения этих кривых следует, что при увели­ чении степени упрочнения п зона малонапряженности увеличи­

вается, если угол у сильного материала больше, чем у слабого, и наоборот, эта зона уменьшается, если угол у сильного мате­ риала меньше, чем у слабого.

5. Задачу малонапряженности составного клина при смешан­ ных краевых условиях, исследованную в предыдущих пунктах, рассмотрим при учете сжимаемости материалов.

Поле перемещений зададим в форме (i = 1, 2)

и{ = nр{, Vi = - 2 rg{,

где \|)i и gi — произвольные функции 0 ; компоненты напряжений,

аналогично (8.31), при степенном законе упрочнения представим в виде

где

/i = '|>i — g\.

Удовлетворяя уравнениям равновесия (13.30) и условиям сжимаемости материалов

защемленным, приходим к выражениям для средних нормальных напряжений

и к системе дифференциальных уравнений

( х ф У + 4Xi (^ i — U) = 0,

fi + NiXityi — N ijx (ф«— 4 A = 0,

где Ni = к{К и с граничными условиями

зуется к виду

(8.30), зависимости между компонентами напряжений и дефор­ маций (8.31) при условии несжимаемости материала е = 0.

Принимается, что значения степени упрочнения т обоих ма­ териалов одинаковы, а модули к различны.

Будем рассматривать здесь напряжения элемента в окрест­ ности края контактной поверхности составного клина из выше­ указанных материалов, находящегося в совместном состоянии плоской деформации и кручения.

2. Гиперповерхность концентрации напряжений. Компоненты

перемещений в каждой из двух областей, удовлетворяющие усло­ вию несжимаемости материала er + ee + ez = 0, ищем в следую­ щем виде:

и к системе из двух обыкновенных дифференциальных урав­ нений

1[/г + (1 ““ ^2) /г] Хг) + ( 1 “ Г J [/* + С1 ^2) f i ] +

Требование непрерывности трех компонент напряжений и трех компонент перемещений на контактной поверхности дает

Условия отсутствия касательных сил на этих же поверхностях дают

Требование непрерывности касательных напряжений XQZU тге* и

перемещений (13.70) сводится к условиям

(13.76)

________ 4 (1 — т) г|ур-_________

фг = — фг — '

+ т [(1 + ^i)2 + 'Pi2]

Таким образом, в каждой из рассматриваемых областей (£ = = 1, 2 ) имеем систему из двух дифференциальных уравнений (13.76), удовлетворяющих граничным условиям (13.73) — (13.75). Решение этой задачи определяет уравнение гиперповерхности F(a, р, у, п) = 0 конечных напряжений на крае контактной по­

верхности рассматриваемого составного тела.

Случаи !(),•= 0 и фг = 0 соответствуют деформации кручения и плоской деформации, рассмотренным в предыдущих пара­ графах.

Исходя из соображения непрерывности, полагаем, что внут­ ренние точки области, ограниченной поверхностью F = 0, соот­

ветствуют области малонапряженности, а вне этой поверхности — области сильных концентраций напряжений.

Прп т = 1, т. е. для линейно-упругих материалов, задача

распадается на две отдельные задачи — задачу плоской дефор­ мации и задачу кручения.

§ 95. Пространственное деформирование. Продолжение

Рассмотрим пространство параметров конечных напряжений в окрестности края контактной поверхности составного цилинд­ рического тела из упрочняющегося по степенному закону несжи­ маемого материала, находящегося в совместном состоянии пло-

ской деформации, кручения п удлинения (рис. 13.15). Наличие изгибающих моментов па торцевых сечениях не внесет ничего

•будем иметь

На внешних поверхностях отсутствуют внешние силы, поэтому

Из условия непрерывности касательных компонент напряжении п компонент перемещений на контактной поверхности имеем

Наконец, в силу непрерывности Oei на этой же поверхности из (13.77) получаем условие

Исследование пространственного напряженного состояния эле­ мента края контактной поверхности линейно-упругого составного тела [178] показывает, что компонента а2 не влияет на степени концентрации напряжений. Вклад этого напряжения в прочность соединения рассматриваемого края контактной поверхности сво­ дится к простому растяжению или сжатию составного элемента как монолитного тела. Иначе говоря, для линейно-упругого тела -значение az не влияет на области малонапряженности в прост­ ранстве физических и геометрических параметров задачи.

Действительно, принимая т = 1 в полученных дифференци­

альных уравнениях (13.78) и граничных условиях (13.79) — {13.81), приходим к выводу, что поставленная задача распада­ ется на две отдельные задачи — случай плоской деформации и ■случай кручения. В них не отражается наличие растяжения или сжатия составного элемента. Это означает, что для линейно-упру­ гих материалов параметр q не влияет на границу зон мало-

напряженностн.

Система дифференциальных уравнений (13.78) с граничными условиями (13.79) — (13.81) в принципе определяет уравнение гиперповерхности конечных напряжении Ф(а, [}, у, га, д) = 0 ,

отделяющей зону малонапряженности от зоны концентрации на­ пряжений.

Точки на этой поверхности соответствуют конечным напря­ жениям. Из соображений непрерывности заключаем, что внутрен­ ние точки области по отношению к этой поверхности соответ­