книги / Пространственные задачи теории пластичности

замкнутым контуром Г*

(рис. 3.3), и переходя в

левой части

к контурному интегралу, получим формулу

Ах +

By +

С дН

,

— о*,

(9.21)

$•/

— as = -

dv

Т/з

где Q* — площадь указанной области, s — дуга, a v — направле­

ние внешней нормали к контуру

Г*. Эта формула выражает

теорему Бредта о циркуляции сдвига.

функцию

напряжении

Крутящий момент

выражается

через

М п =

2 2

HhQh +

2 f \ Н dx dy,

(9.22)

h=1

J J

где Hh— значения

H на контуре I\,

a Qh— площадь,

ограничен­

ная ГЛ.

Имеем также статические условия

м г = / 3 j j V a l - H i - H l y d x d y ,

M 2 =

- / 3 j j V o 02- H

l - H l x dx dy,

(9.23)

Vxz = D

— yj / (е0),

TyZ=

D

+

хj / (е0),

г

д

е

________________________________________________

«. -

V

Т м* + В , + С? + D* [(§* -

,)! + (g

+ 41 •

приходим к основному уравнению нашей задачи

д

Г/аф

1/) / (е«)] +

[(^ " + ^) / (ео)] =

°-

(9.24)

дх

Условием отсутствия нагрузки па боковой поверхности стерж­

ня будет

d

(х2 + у2\

dv

|г

(9.25)

ds \ 2

/ ’

где

Г — контур области

поперечного

сечения,

s — дуга

контура,

v — направление

внешней

нормали

коптура.

Таким

образом,

где G — функция

Грина

второго

рода

для

данной

задачи:

G (I, л; х, y)=G * {%, п; х, у)

при

1 < х

и G(g, ц; х, 1/)=С * (х, у;

л)

при \ ^ х л причем

,

п т

,

п т

(х

п т

(У — л)

G* (£, л;

у) = X —£

ch

— (| + a) ch —

— a) cos —

2

_

2лт

п т sh —g— а

Решение задачи (9.29) можно получить также в форме двой­

ных тригонометрических рядов Фурье

,

.

16ab

V?

7'1

aw

cos

+

a) cos

(y + b),

(9.33)

Т п+1

тт

Л

'Z ,

г » ;

* * + » i

где

a

b

<7mft =

j*

J Qn (X, p) cos ^

(x +

a) cos Tjb- (y + &) dx dy.

—a —b

При

степенном

законе

упрочнения,

принимая /(е 0) =

е02\

для выражения Qn будем иметь

п

V

/ £ ^ п

/г

Qn—l№k*

'

\

дх

дх

ду

ду

h= i

Пользуясь

априорными

оценками

Шаудера,

аналогично

[02]

где обозначено

со* =

A# =

А0 + ХА1ч В% = В0 + ХВг, С* =

== С0 + ХСг, D% — D0 + XDl. Здесь фупкция

г|з0 определяется по

(9.31), а г|)1 — согласно

(9.33), причем

\дх

У)

дх

^ \ ду

+ X

д In CDn

дУ

Постоянные

Л,-, Д,

С,,

А , входящие

в (9.34), определяются

Для

числового

примера

полагаем

Мi= 0 , Af2 =

16Afi2,

M\2/b3= 35 МПа,

a/b = 2,

Я = 0,2,

G = 0,77-105

МПа. Из

(9.31)

находим

Во =

В\ =Со =

С\ = 0 ,

&Ло =

36,6

10~4,

ЪА \=

= -44,3 •10~3, Щ> =

5 •10-4,

bDi =

16,8 •10"4.

<5г — о =

/( е о ) er,

T rz =

/ ( е о)

и закона

упрочпеипя материала (8.29), где ео

определяется со­

гласно (8.32).

перемещений.

Определяя из соотно­

1.

Представление поля

шений (8.28) производные перемещений по z, интегрируя и до­

пуская, что тензор деформаций не зависит

от

z, будем иметь

[61]

1

и = UQ(г, 0) +

t e r

о

Trzz — ^

z ,

v =

vQ(r, е) +

1

de

z2

Teiz - - j W

- ,

(9.36)

w =

w0(r, 0) +

re*,

где Uo, vo,

wo — произвольные функции от г и 0,

d w „

4

д ю п

Trz = 2 у г г -------T QZ = 2 у е г —

(9.37)

F - дао

р - и°

j. 1 дро

о,. _ dvo

vo , 1

/О ООЧ

е г ~ 7 Р

Е 0 “ Т

+ 7 5 Г ’

2 ^ 0 = = 7 Г “ Т + 7 1 0

d “ e _

г,

d&z

+

1

д ~Ех

д2г

0,

дг2

=

’

^дг

г

ае2

=

и’ дг <90 =

-------£

П

______ -: 44- - --1 -------------1-

ОП

д Т гх

Л

дТ

0 Z

0Z

У,

1 №г

—Р- =

о,

=

0,

дТ{

1§1 + -

—

= О

Т гх

+

дд

<9г

дг

’

г

+

г

Л

U-

После интегрирования приходим к выражениям

гх=

Ar cos 0 + 5r sin 0 + С,

(9.391)

ТТг =

a cos 0 + р sin 0,

TQZ= Dr — a sin 0 + р cos 0,

(9.40)

где А, В, C, D , а, р — произвольные постоянные.

на .по­

Компоненты

напряжений

ог, о0 и xr0v

оаддые нулю

ег =

ее = — у

ez,

у ^ = U.

(9.4Ь>

Определяя из

(9.38)

-и (9.41)

произвольные функции г/<у(г, 0)

и Vo (г, в), для перемещений

(9.36) окончательно находим

и =

—

(Л cos0

+ 5 sift'0)!(f,?,-fj(2K*y“--S.^,

v =

— j ( A sin в — В с'о£Щ(>-- — 22? ) '+ "iOtar,

zz; =

zz;0(г, 0) +

coS0 +

0 +

Cz.

(9.40) будем иметь

2уп = 1 , 2Vez = ^

+ 2©r:

(9^)>.

также

при

помощи

функции

перемещении.

Полагая

w0=

= 2Z)\f>(r,

0)

и подставляя выражения

т гг =

Df (е0) f j ,

Те, =

Df (е0)

+

г ) ,

(9.47)

ГДв

е0 =

j /

’i

(Areas в + Br sin в + C f +

в уравнения равновесия

(8.27),

приходим к дифференциальному

уравнению

£ [ / < * > ' £ ] + £ [ / Ы ( 7 Я + '■ )] - » •

(9 « )

Условие отсутствия нагрузки на боковой поверхности стержня

дает

^

=

d

( i

(9.49)

d v

Г

5 s

I 2

Здесь

г.j. — расстояние

точки контура

Г

от

начала

координат,

s — длина дуги,

a v — внешняя нормаль к контуру. Таким обра­

зом, задача в перемещениях сводится к .внутренней задаче Ней­

мана в области поперечного сечения -стержня для уравнения

(9.48) при граничном условии (9.49).

(9.48)

можно

представить в

4.

Метод

решения. Уравнение

форме

1

д\|) д In /

д In / _ ^

Д\|)

5 In /

/(е 0) = /*('•, 0),

(9.50)

~дг

дг

+

1

д0~ ~

U

где ооозначеио

Т

дг1

r дг

r-

дв*

У =

2

('•> 6 )-

h = 0

Введем обозначения

80 = Z ) / c o ,

/ ( е 0) =

/* (® ) .

со = (ост cos0 + pr sin0 + у)2 +

^ j

“ +7 5( ! + г )‘ ,

функции <о и In /*, находим

оо

оо

( 0 = 2

(г, в),

In /* = - X 2

(г, 0),

(9.52)

Подставляя

разложения

(9.51) и

(9.52) в уравнение (9.50),

а также (9.51)

в граничное

условие

(9.49), приходим к краевой

задаче для фо

(9.54)

можно показать аналогично [63].

а и Ъ— ра­

5.

Толстостенная цилиндрическая труба. Пусть

диусы внутренней и внешней поверхностей трубы соответствен­

но. Из

(9.54) имеем

г|)0= const, а решение

краевых задач

(9.55)

представится в форме

2Jt 1

О б

где р = r/b, б = а/Ь.

Здесь G (£, tp; р, 0) =

G* (£, <р; р,

0)

при