книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

Задача 9.4. Колоски и их частные случаи — трисектрис^ Лоншама и Маклорена. Плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид г - а/ sin Л<р (или г= a /cos fap), называются колосками. Они получаются из роз (кривых Гвидо Гранди) в результате инверсии роз г = a sin Лер (или г = a cos Л<р) относительно окруж­ ности г = а. Колосок полностью располагается вне круга г = а . Если к — целое число, то колосок состоит из к конгруэнтных гиперболических ветвей при к нечетном и 2к гиперболических ветвей при к четном. Частными случаями колосков являются три­ сектрисы Лоншама (частный случай колоска при к = 3) и Маклорена (частный случай колоска при к = 1/3). Начертите трисектрисы Лоншама и Маклорена на одном черте­ же в ряд. Кроме того, начертите еще несколько колосков по вашему усмотрен^.

Решение. Давайте вычертим трисектрисы Лоншама и Маклорена в полярной сис­ теме координат. Сначала загружаем нужный пакет: «Graphics'Graphics4 Процесс

вычерчивания трисектрис Лоншама и Маклорена упрощается, если предварительно определить следующую функцию.

Rth[а_/k_, t_]=a/Sin [k*t] ;

Определение функции, создающей графики, можно не изменять.

plotq[q_]:=Block[{рр,а=1,k=q},pp=PolarPlot[Evaluate[Rth[a, k, t]], {t,0,2 *Denominator[k]* Pi), Axes->False,

PlotLabel->If [Denominator [k]- - 1 , "k="<>ToString [Numerator [k] ], "k^'oToString[Numerator[k]]<>"/"<>ToString[Denominator[k]]]];pp]

После этого можем нарисовать трисектрисы Лоншама и Маклорена в один ряд.

Show[GraphicsArray[{plotq[1/3],plotq[3]}]];

Вот еще два колоска.

Show[GraphicsArray[{plotq[8/17],plotq[17/8]}]];

Задача 9.5. Подбор цветка в математическом цветнике. Среди двухпараметрического множества кривых (напоминающих цветы) вида (R cos(az), R sin(fe)), где R = sin 6z, выберите ту, которая ближе всего к окружности при условии, что параметры а и Ь принимают целые значения, причем 1<я<9 и 1<£<6.

Решение. Можно, конечно, пересмотреть все 54 кривые по одной. Но лучше рас­ положить все графики на одном чертеже. Поскольку графиков много, формирование массива поручим системе Mathematica. Для этого воспользуемся функцией T a b l e .

Именно с ее помощыр сначала сформируем двухмерный массив шириной 6 и длиной 9 графиков. Затем этй‘графики отобразим на одном чертеже и выберем (на глаз) те, которые более всего напоминают окружность. Отобранные графики можно будет за­ тем рассмотреть в деталях и выбрать наиболее подходящий из них.

Block[{k=6},Block[{a,b,r=Sin[k*z]},,

Block [{XY={r*Cos [a*z] ,r*Sin [b*z] }},

Show[GraphicsArray[

Table[Table[ParametricPlot[XY, {z, 0,2 Pi},

Axes->False],{b,6}],{a,9}]]]]]]

В конце выполнения программы получится следующая картинка.

Окружность, как видим, получается при а = b = 6.

402 П р и л о ж е н и е Л

Задача 9.6. Математический цветник. Есть ли окружность среди двухпараметриче­ ского множества кривых (напоминающих цветы) вида ( R cos(az), R sin(fe)), где fl=sin8z, при условии, что параметры а и b принимают целые значения, причем \$а<9 и l£te6.

Решение. Можно, конечно, и в этом случае пересмотреть все 54 кривые по одной. Но, как и в предыдущей задаче, лучше расположить все графики на одном чертеже и поручить формирование массива системе Mathematica. Для этого воспользуемся функцией Table. Именно с ее помощью сначала сформируем двухмерный массив

шириной 6 и высотой 9 графиков. Для достижения этой цели в предыдущей програм­ ме понадобится изменить лишь один символ.

Block [{к=8},Block [{a,b, r=Sin[k*z] },

Block[{XY={r*Cos[a*z],r*Sin[b*z]}},

Show[GraphicsArray[

Table[Table[ParametricPlot[XY,{z, 0,2 Pi},

Axes->False],{b,6}],{a,9}]]]]]]

В конце выполнения программы получится следующая картинка.

Цветы, конечно, красивые, но ни один из них даже отдаленно не напоминает ок­ ружность. (На самом деле окружность получается при а = Ь = 8, но по условию зада­ чи Ь не может превышать 6.)

Задача 9.7. В фильме “Взлеты и падения” киностудии “Компьютерфильм” куку­ рузник и реактивный истребитель совершают посадку на аэродром. (Это занимает 30 секунд.) После этого наступает полная тишина на 4 секунды. Затем они включают двигатели и взлетают. Напишите звуковое сопровождение к сюжету.

Решение. Возможны самые разные решения. Вот одно из них.

Задача 9.8. В фильме “Наши детективные истории” киностудии “Компьютерфильм” супергоночный автомобиль стремительно (с завыванием мотора) приближается к по­ лицейскому автомобилю, выпускает противотанковый снаряд и столь же стремительно удаляется. Все это занимает 4 секунды. Напишите звуковое сопровождение к сюжету.

Решение. Возможны самые разные решения. Вот одно из них.

P la y [ s in [ — — ] , { t , - 2 , 2 } ] ;

Ж

Задача 9.9. В фильме “Октябрь на Венере” киностудии “Компьютерфильм” мед­ ленно приближающийся танк —*оружие марсианских троцкистов-роботов — периоди­ чески (период, конечно, равен л — ведь это же производство киностудии “Компью­ терфильм”!) обстреливает шаровыми молниями позиции венерианских партизан. В середине сюжета венерианские партизаны выкатывают броневик, на который под­

саживают старичка-большевичка, страдающего старческим слабоумием. Старичокбольшевичок бесшумно двигает челюстями, хмурит густые брови и простирает трясу­ щуюся руку, после чего видно, как трассирующие пули летят в направлении, указанном генеральным секретарем партии венерианских большевиков, и слышится короткая автоматная очередь из автомата Калашникова. (Впрочем, на слух определить, моди­

фицированный это автомат из арсенала ГРУ или обычный, которым оснащалась мо­ топехота советской армии, зрителям не удается.) Возможные продолжения:

1)старичок-большевичок попадает рукой в тарелку с манной кашей, танк проез­ жает на переднем плане и, удаляясь, продолжает выпускать шаровые молнии в стойких приверженцев венерианской революции;

2)старичок-большевичок пытается достать тарелку с манной кашей, но товарищи пошустрее подхватывают его руку, направляют ее в сторону танка и после ко­ роткой автоматной очереди наступает тишина. Весь сюжет занимает 40 секунд. Напишите звуковое сопровождение к обоим вариантам сюжета.

Решение. Возможны самые разные решения. Вот одно из них. Ниже представлено звуковое сопровождение к первому варианту сюжета.

А вот вариант, в котором после короткой автоматной очереди наступает тишина. (Она, конечно же, подчеркивает значимость последующей речи генерального секрета­ ря ЦК КПСС.)

Глава 10 “Алгебра ианализ”

"1

Задача 10.1. Найти решение системы дифференциальных уравнений у п= z , удовлетворяющее начальным условиям у = 1, у'= 1, z = 1, z'= 0 при х = 0. Построить графики функций у(х) и z(x).

Решение. Сначала находим решение системы дифференциальных уравнений у" = iy z " = у , удовлетворяющее начальным условиям у = 1, у ' - 1, z = 1, z'= 0 при х = 0.

Y е"х (1 + 3 е2х - 2 ex Sin [х])]}}

Теперь построим графики функций у(х) и z(x).

Plot[Evaluate[{у [х],z [х]}/.so!2],{х,-4,4}];

Теперь построим графики функций *(/), y(t) и z(t).

Plot[Evaluate И х [t] ,y[t] ,z[t] }/.so!2] ,{t,-4,4}] ;

Теперь строим фазовый портрет.

ParametricPlot3D [Evaluate [{x[t],y[t],z[t] }/. sol2],{t, -4,4} ];

0.5.

0.5

-0.5

Задача 10.3. Найти решение системы дифференциальных уравнений х' = х+у-/2+/-2, у' = - 2 x + 4 y + 2 t 2- 4 t ~ l , удовлетворяющее начальным условиям х = О, у = 2 при t = 0. Построить графики функций x(t) и y(t), а также фазовый портрет.

Решение. Сначала находим решение системы дифференциальных уравнений х ' = х+у-/2+/-2, / = -2х+4у+2/2-4/-7, удовлетворяющее начальным условиям х = 0, у = 2 при / = 0.

sol2=DSolve [ {х* [ t ] = x [ t ] + y [t] - t A2 + t - 2 ,y ’ [ t ] = - 2 x [ t ] +4у [t] + 2tA2 -4 t-7 /

х[0]=0/У [0]=2}, {x,у},{t}]

{{x -> Function [{t}r t2],

у -» Function [{t}, 2 + t]}}

Теперь построим графики функций x(t) и y(t).

Plot[Evaluate[{x [t],у [t]}/.sol2],{t,-3,3}];

Теперь строим фазовый портрет.

p a ra m e tr ic P lo t[E v a lu a te [ { x [ t ] , у [t ] } / . s o l 2 ] , { t , - 4 , 4 } ] ;

Я думаю, вы узнали параболу.

Глава 11 “За гранью простого”

Задача 11.1. Используйте систему Mathematica всякий раз, когда она упрощает ре­ шение ваших задач!

Решение. Если вы знаете, как применить систему Mathematica к конкретной зада­ че, применяйте ее! Если нет, подглядывайте в шпаргалки (можете использовать эту книгу, справочную систему и любые другие ресурсы)!

Приложение Б

Таблицы

Таблица Б.1. Представление чисел Бернулли в виде цепных дробей

60{ - 2 1 3 9 9 9 4 9 2 5 7 2 2 5 3 3 3 6 6 5 8 1 0 7 4 4 7 6 5 1 9 1 0 9 7 , - 2 , - 1 , - 1 , - 4 , - 1 , - 6 , - б , - 1 , - 2 , - 1 , - 1 , - 8 , - 1 , - 1 6 0 , - 1 , - 3 }