книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

Решение.

|{х -»у[Ъ) , { x ^ l - V 5 } ,

{х^ ^2 (101 - i VЮ1(79-4 V5))},

(101 + i V 101 (79- 4 V5) )}}

х2+дг3+0.01J

ТС тс

Гм’25, '

Решение.

Plot[хл2 (0.5+Sin[1/(хл2+ хлЗ+0.01)]л2), {х, -Pi/25, Pi/25 }]

Глава 3 “Ч и сла, их п р ед ст а в л ен и е и оп ер а ц и и н а д н и м и ”

Задача 3.1. Постройте график зависимости количества единиц в двоичном пред­ ставлении п! от п.

Решение.

ListPlot[Table[DigitCoiint[n!, 2, 1], {n, 256}], PlotJoined->True]

Задача 3.2. Постройте график зависимости от п количества единиц в троичном представлении целой части числа IntegerPart [3An-Sqrt [3] Лп].

Решение.

ListPlot [Table [DigitCount [IntegerPart [3/4n-Sqrt [3] An] , 3, 1] , {n, 256}], PlotJoined->True];

30

25

Глава 4 “А риф м етика: р а зл о ж е н и е целы х ч и сел на просты е м н ож и тел и ”

Задача 4.1. Факторизовать число 1234567891011121314151617181920. Решение. Вот программа и результат.

Factorlnteger[1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 ]

{ { 2 ,5 } , { 3 / 1 } , { 5 , 1 } , { 3 2 3 3 3 9 , 1 } , { 3 3 4 7 9 8 3 , 1 } , { 2 3 7 5 9 2 3 2 3 7 8 8 7 3 1 7 , 1 } }

nl= 1000; D o [ I f [ P r i m e Q [ n A2 + 1 ] , P r i n t [ n , " , " ] ] , {n, n l } ]

В результате прогона этой программы будут выведены следующие числа:

Как видите, таких чисел довольно много — 112. Кроме того, если не считать 1, все они четные.

Задача 5.2. Как вы видели, для многих п из первой тысячи числа вида гг 4-1 явля­ ются простыми. А как подсчитать, сколько таких п в первом миллионе?

Решение. Вот как может выглядеть программа.

k=0;nl= 1 0 0 0 0 0 0 ; D o [ I f [PrimeQ[п Л2 + l],k=k+l]], {n, nl} ]

В результате прогона этой программы будут подсчитаны все такие числа. В первом миллионе их окажется 5 4 1 1 0 , в первых 10 миллионах — 456362 .

Задача 5.3 Числа Каллена. Числа вида п Т +1 называются числами Каллена. Дол­ гое время было известно только два значения п, для которых соответствующие числа Каллена были простыми: п = 1 и п = 141. Найдите все л<10 000, для которых соответ­ ствующее число Каллена является простым.

Решение. Вот как может выглядеть программа.

nl= 10000; Do[If[PrimeQ[п*(2Лп) + 1],Print[n,","]], {n, 0,nl} ]

В результате прогона этой программы будут найдены следующие числа: 1, 141, 4 7 1 3 , 5 7 9 5 , 6611. Оказывается, числа Каллена бывают простыми не только для п = 1 и п = 141!

Задача 5.4. Для каждого ли к найдется такое л, что число А:2Я+1 будет простым? Хотя есть много примеров, подтверждающих это высказывание, оно ложно! Оказыва­ ется, существуют такие к , что число к2 п + 1 является составным при всех натуральных л. Составьте программу, которая для каждого £<1000 находит все такие л<3000, что число £2л-И является простым.

Решение. Вот как может выглядеть программа.

М[п_,к_]=к*2лп+1; Do[{Print["*** к=", к],

t=0,

Do[If[PrimeQ[M[n,к]] , { t= t+ l,P rin t[n ," ," ]}]* (n ,3000}],

Полученные результаты сведены в табл. Б.25 (конец таблицы обрезан).

Задача 5.5 Простые числа, в двоичной записи которых ровно три единицы. Для каж­ дого ли т найдется такое простое двоичное т-значное число, в двоичной записи кото­ рого ровно три единицы? Иными словами, для каждого ли т найдется такое л, \<п<т,

что число 2т+ 2л +1 будет простым? (Составных чисел такого вида, как легко сообра­

все такие л, 1£п<т , что число 2т+ 2л -f 1 является простым. Решение. Вот как может выглядеть программа.

М[т_, п_] =2лт+2лп+1; Do[{Print["*** т=",т],

t=0,

Do[If[PrimeQ[M[m,n]] , { t=t+l,Print[n, ", " ] } ] , {n,m-l}], Print["=== Всего ", t ] } , {m,2,1000}]

Полученные результаты отформатированы и сведены в табл. Б.26 (конец таблицы обрезан).

Как видно из таблицы, далеко не для всех т существует простое двоичное т -значное число, в двоичной записи которого ровно три единицы.

Задача 5.6. Для каких т<2 200 не существует простого двоичного /я-значного чис­ ла, в двоичной записи которого ровно три единицы? Ийыми словами, для каких ш

при всех п (1<>п<т) числа 2т+ 2л4-1 являются составными?

Решение. Вот как может выглядеть программа поиска таких чисел т .

М[т_,п_]=2лт+2Ап+1; Do[{t=0,

Do[If[PrimeQ[M[m,n]] ,t = t+ l] , {n,m -l}], If[t==0,Print[m,", " ] ] } , {m,2,2200}]

Полученные результаты отформатированы и сведены в табл. Б.27.

Как видно из таблицы, такие т<2 200, для которых не существует простого двоич­ ного т -значного числа, в двоичной записи которого ровно три единицы, распределе­ ны довольно хаотично. В некоторых сотнях их меньше десятка, а в некоторых — почти два.

Задача 5.7. Постройте таблицу простых чисел, близких к степеням двойки. Решение. В программе можно использовать функции PreviouskPrimes и

NextkPrimes. Но так как функции PreviousPrime и NextPrime содержатся в пакете

теории чисел, сначала нужно загрузить этот пакет, если он, конечно, еще не загружен.

«NumberTheory'NumberTheoryFunc'tions'

Затем нужно загрузить (и проверить) определения функций PreviouskPrimes и NextkPrimes. В программе нужно заменить основание степени и диапазон измене­

ния показателей. Кроме того, поскольку уже основание степени не является степенью 10, нужно также добавить вывод степени. После этих изменений программа может выглядеть так.

base=2;

Do [ {

baseN=baseAn;

Print[n,":",baseN,":"];

PreviouskPrimes[baseN,10];

Print[":"];

NextkPrimes[baseN,10]; Print["::"]},{n,15,128}]

Тогда вывод получится следующий (конец обрезан).

15 : 32768

32749

32719

32717

32713

32707

32693

32687

32653

32647

32633

32771

32779

32783

32789

32797

32801

32803

!32831

32833

32839

16 : 65536

65521

Чтобы отформатировать выведенную информацию в виде таблицы в текстовом ре­ дакторе, нужно сделать всего несколько замен. Сначала нужно убрать пробелы, раз­ ры ы строк, символы абзацев (кроме последнего) и запятые перед двоеточием. Вот что получится (конец обрезан).

1 5~: 3 2 7 6 8 : 3 2 7 4 9 , 3 2 7 1 9 , 3 2 7 1 7 , 3 2 7 1 3 , 3 2 7 0 7 , 3 2 6 9 3 , 3 2 6 8 7 , 3 2 6 5 3 , 3 2 6 4 7 , 3 2 6 3 3 :

3 2 7 7 1 , 3 2 7 7 9 , 3 2 7 8 3 , 3 2 7 8 9 , 3 2 7 9 7 , 3 2 8 0 1 , 3 2 8 0 3 , 3 2 8 3 1 , 3 2 8 3 3 , 3 2 8 3 9 : : 1 6 : 6 5 5 3 6 : 6 5 5 2 1 ,

Затем два двоеточия нужно заменить символом абзаца. Этим самым мы разобьем таблицу на строки. Вот что получится (конец обрезан).

1 5 : 3 2 7 6 8 : 3 2 7 4 9 , 3 2 7 1 9 , 3 2 7 1 7 , 3 2 7 1 3 , 3 2 7 0 7 , 3 2 6 9 3 , 3 2 6 8 7 , 3 2 6 5 3 , 3 2 6 4 7 , 3 2 6 3 3 : 3 2 7 7 1 , 3 2 7 7 9 , 3 2 7 8 3 , 3 2 7 8 9 , 3 2 7 9 7 , 3 2 8 0 1 , 3 2 8 0 3 , 3 2 8 3 1 , 3 2 8 3 3 , 3 2 8 3 9

1 6 : 6 5 5 3 6 : 6 5 5 2 1 ,

После этого достаточно выделить все, что получилось, и преобразовать текст в таб­ лицу, указав в качестве разделителя столбцов двоеточие Конечно, это еще не все. Нужно ведь еще расставить пробелы после запятых, написать название таблицы и за­ головки столбцов. После всего этого таблица будет выглядеть примерно так, как табл. Б.28.

Задача 5.8. Постройте таблицу простых чисел, близких к степеням тройки, однако в таблице укажите не сами простые числа, а разности между соответствующей степе­ нью тройки и самим простым числом.

Решение. Для построения таблицы нужного вида использовать функции P r e v i o u s k P r i m e sи N e x t k P r i m e s невыгодно. Лучше их модифицировать так, чтобы они печатали не сами простые числа, а разности между ними и тем числом, к которо­ му ищутся близкие простые числа. Эти две новые функции назовем P r e v i o u s k D e l t a

P r e v i o u s k D e l t a P r i m e s [ n _ _ I n t e g e r ? ( # > 1 0 0 & ) , k _ I n t e g e r ? P o s i t i v e ] : = B l o c k [ { p = P r e v i o u s P r i m e [ n ] , i = l },

W h i l e [ i < = k , { P r i n t [ p - n , " , " ] , p = P r e v i o u s P r i m e [ p ] , + + i } ] ]

Код функции N e x t k D e l t a P r i m e s [N, k ]получается в результате замены функции

P r e v i o u s P r i m eна N e x t P r i m e .

N e x t k D e l t a P r i m e s [ n _ I n t e g e r ? ( # £ 1 0 0 & ) , k _ I n t e g e r ? P o s i t i v e ] : = B l o c k [ { p = N e x t P r i m e [ n ] , i = l },

W h i l e [ i < - k , { P r i n t [ p - n , " , " ] , p = N e x t P r i m e [ p ] , + + i } ] ]

Но так как функции P r e v i o u s P r i m eи N e x t P r i m e содержатся в пакете теории чи­

сел, сначала нужно загрузить этот пакет, если он, конечно, еще не загружен.

« N u m b e r T h e o r y 4 N u m b e r T h e o r y F u n c t i o n s 4

Затем нужно загрузить (и проверить) определения функций P r e v i o u s k D e l t a P r i m e s

P r e v i o u s k D e l t a P r i m e s [ b a s e N , 1 0 ] ;

P r i n t [ " : " ] ;

N e x t k D e l t a P r i m e s [ b a s e N , 1 0 ] ; P r i n t [ " : : " ] } , { n , 1 0 , 5 0 } ]

После получения результатов можем приступить к форматированию их в виде таб­ лицы в текстовом редакторе. Для этого сделаем несколько замен. Сначала убираем пробелы, разрывы строк, символы абзацев (кроме последнего) и запятые п е р е д двое­ точием. Затем два двоеточия заменяем символом абзаца. Этим самым мы разбиваем j

таблицу на строки. После этого выделяем все, что получилось, и преобразовываем j

rj

текст в таблицу, указав в качестве разделителя столбцов двоеточие Наконец, при­ думываем название таблицы и заголовки столбцов. После всего этого таблица будет выглядеть примерно так, как приведенная в приложении табл. Б.29.

Глава 6 “Арифметика: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное”

Задача 6.1 Линейное представление наибольшего общего делителя чисел Фибоначчи. Так как наибольший общий делитель п- и уя-го чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с номером d = НОД(я, т), то это число можно представить в виде линей­ ной комбинации п- и т -го чисел Фибоначчи. Составьте таблицу коэффициентов г и s линейного представления в зависимости от л и т. Иными словами, найдите такие числа г и S, что НОД(Fibonacci[n], Fibonacci[m]) = Fibonacci[НОД(n,m)] =

=гFibonacci[n]+5 Fibonacci[m].

Решение. Вот нужные нам определения.

d:= GCD[n, m] ;

prnt:=Print [n, ":",m, ":",d, ": r, ": s]

Теперь можно написать и программу.

Do [

Do [

{ { g ,{r , s} }=ExtendedGCD[Fibonacci[n], Fibonacci[m]], prnt},

{m,n-1}],

{n,20}]

По результатам выполнения этой программы составляем нужную нам таблицу (табл. Б.34).

Глава 7 “Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения и китайская теорема об остатках”

Задача 7.1. Найти длину периодов дробей 1/19, 1/41, 1/(13*37), 1/(17*29), 1/(7*23*31), 1/(11*13*17), 1/(2*11*13), 1/(4*53*73).

Решение. Сначала надо загрузить пакет теории чисел.

«NumberTheory'NumberTheoryFunctions'

Затем нужно определить функцию DigitCycleLength.

DigitCycleLength [r__Rational, b_Integer?Positive] :=

MultiplicativeOrder [b,

FixedPoint[Quotient[#,GCD[#,b]]&,Denominator[r]]]

После этого можно выполнить вычисления.

DigitCycleLength [1/19,10] 18

DigitCycleLength [1/41,10] 5

DigitCycleLength[1/(13*37),10]

6

DigitCycleLength [1/ (17*29) ,10]

112

DigitCycleLength[1/(7*23*31),10]

330

DigitCycleLength[1/(11*13*17),10]

48

DigitCycleLength[1/(2*11*13),10]

6

DigitCycleLength[1/(4*53*73) ,10] 104

Задача 7.2. Вычислить квадратные корни из 7 по модулю 17. Решение.

SqrtModList[7,19]

{ 8, 11}

Задача 7.3. Решить квадратное уравнение 2х 2 + 5х+4 = 0 в поле вычетов по модулю 11, Решение. Применим формулу решения квадратного уравнения:

т.е. х = 2 или х = 1. Вычислить квадратный корень можно было и так.

SqrtModList[-7,11]

{2,9}

Да и числитель формулы решения квадратного уравнения можно было записать так:

x=Mod[-5+SqrtModList[5Л2-4*2*4,11] ,11] {8,4}

Осталось выполнить деление в поле вычетов по модулю И.

х=х/4

{ 2 , 1 }

Здесь, конечно, мы воспользовались тем, что в данном случае результаты получа­

ются сразу. В противном случае пришлось бы вычислить дробь — в поле вычетов по 4

модулю 11 и умножить на нее числитель.

Задача 7.4. Найти последние 50 цифр чисел З3 ? 4 4* (в случае, если число записывается менее чем 50 цифрами, вычислить число).

Решение. Применим функцию PowerMod.

PowerMod[123,402,10Л50]

77978709719860374963310473700500364378845086951129

PowerMod[3,3Л3,10Л50]

7625597484987

PowerMod[4,4Л4,10л50]

31858186486050853753882811946569946433649006084096

PowerMod[5,5Л5,10Л50]

14650315037954175778622811776585876941680908203125

Глава 8 “Числовые функции”

Задача 8.1. Наименьшее число, имеющее 18 делителей. Найдите наименьшее число, имеющее 18 делителей.

Решение. Вот нужная нам программа.

т=18;

п=1;

While[DivisorSigma[0,n]!=т,n++]; Print[n," DivisorSigma[0,n]]

Выполнив эту программу, получим результат.

180 18

Искомое число равно 180.

Глава 9 “Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук”

Задача 9.1. Розетки в полярных координатах. Плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид г = a + b cos /ткр, называются розетками. Начертите какую-нибудь розетку.

Решение. Давайте вычертим розетку в полярной системе координат. Сначала за­ гружаем нужный пакет: «Graphics4Graphics'. Процесс вычерчивания розетки уп­

рощается, если предварительно определить представленную ниже функцию.

Rth[а_, b_, m_, t_] =a+b*Cos [m*t] ;

Теперь выбираем параметры и определяем график.

Module[{а= 10,b=30,m=19/20} ,p lo t 0 1 = P o la r P lo t [ R t h [ a ,b ,m ,t ] ,

{t/0,2 ^Denominator[m]*Pi},

PlotLabel->MPo3eTKa a="<>ToString[a]<>"; b="<>ToString[b]<>

"; m="<>ToString[Numerator[m]]<>"/"<>ToString[Denominator[m]]]];

Задача 9.2. Цветок — несколько кривых в одной и той же системе полярных коорди­ нат. Начертите 5 кривых, уравнения которых в одной и той же полярной системе ко­

ординат имеют вид г = —(1+cos 5<p) +b sin25cp для b = 10, 20, 30, 40, 50.

Решение. Поскольку построение графика будем выполнять в полярной системе ко­ ординат, сначала загружаем нужный пакет: «Graphics'Graphics' После этого в качестве первого параметра функции PolarPlot задаем список правых частей урав­ нений наших кривых. Для формирования списка используем функции Table и

Evaluate.

plot01=PolarPlot [Evaluate [Table [

(b/2)* C o s [5t]* (1 + C o s [5t]) +b*Sin[5t]A2 , { b , 1 0 , 5 0 , 1 0 } ] ] , { t , 0 , 2 * P i },

PlotPoints~>2000,PlotDivision->200];

Задача 9.3. Розы, или кривые Гвидо Гранди. Плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид r= a sin Axp (или г = a cos &<р), называются розами, или кривыми Гвидо Гранди. (Впервые розы исследовал Гвидо Гранди в 1728 году.) Роза полностью располагается внутри круга г = а. Если к — целое число, то роза состоит из

лепестков, если одно из чисел т и п является четным. При иррациональном к лепест­ ков бесконечно много. Начертите розы при к = 1/3, 1/2, 4/3, 5/3, 2, 3 на одном чер­ теже в ряд.

Решение. Давайте вычертим розы в полярной системе координат. Сначала загружа­ ем нужный пакет: «Graphics'Graphics' Процесс вычерчивания роз упрощается,

если предварительно определить следующую функцию.

Rth [а_, k__,t_J =a*Sin [k*t] ;

Теперь определяем функцию, создающую графики.

plotq[q__]:=Block[{рр,а=1,k=q),pp=PolarPlot[Evaluate[Rth[a,k,t]]f {t,0,2 *Denominator[k]* Pi}, Axes->False, PlotLabel->If[Denominator[k]==1, ,,k="<>ToString[Numerator[k]}, "k=,,<>ToString [Numerator [k] ]<>"/"<>ToString [Denominator [k] ]]];pp]

После этого можем нарисовать графики в один ряд.

Show [GraphicsArray [[plotq[l/3] ,plotq[l/2] , plotq[4/3],plotq[5/3],plotq[2],plotq[3]}]];