Конечно, рисунок, особенно при большом числе клеток, может выглядеть и более замысловато.
Show [Graphics[ R a s t e r [ N [Table[ M o d [i,j ] / 9 9 , {i,200}, {j ,200} ] ] ] ] ] ;
Это уже нечто вроде приглашения в театр, где актерами будут клеточные автоматы. Но вначале увертюра. Нам понадобится еще одна функция.
R a s t e r G r a p h ic s [ s t a t e _ ? M a t r i x Q ,
c o lo r s _ I n t e g e r |
2 , o p t s ____] |
г |
г |
г |
s t a t e |
G r a p h ic s |
R a s t e r |
R e v e r s e |
1 --------------------- |
L |
L |
L |
c o l o r s - 1 J |
A s p e c t R a t io -»
( A s p e c t R a t io / { o p ts } /
A s p e c t R a t io -> A u t o m a t ic ) , o p t s ]
Теперь используем правило 481, и занавес поднят!
Show[R a s te rG r a p h ic s [ F i r s t [ C e llu la r A u t o m a t o n [
[481,{2,{{0,2,0},{2,1,2},{0,2,0}}},
{1,1}}, {{{1}>,0}, 50,-1]]]];
Естественно, здесь мы видим только конечный результат. Давайте теперь посмот рим, как эволюционирует Вселенная с одним единственным атомом (число 1), окру женным пустотой (нулями) по правилу 30. Вот начальное состояние:
CellularAutomaton[30,{{1},0},0]//MatrixForm
(1 )
А вот та же Вселенная через три секунды (секунда = 1 шаг):
CellularAutomaton[30,{{1},0},3]//MatrixForm
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 0 |
,1 1 0 1 1 1 1 ;
Авот что будет через 50 секунд.
ca=CellularAutomaton[30,{{1},0},50]; Show[Graphics[Raster[1-Reverse[ca] ]]];
Здесь, правда, для удобства наблюдателей, приведен негатив Вселенной, притом пе ревернутый!
Отвечая на вопрос Наполеона о необходимости Создателя, можно сказать, что если у этой Вселенной и был Создатель, то им был Стив Вольфрам!
Несомненно, самым известным двухмерным клеточным автоматом является игра “Жизнь”, придуманная Джоном Конвеем в 1970 году. Именно она прославилась своими многочисленными узорами и способностью заставлять людей тратить уйму машин ного времени на поиски еще более интересных узоров! В этой игре с очень простыми правилами есть все: катапульты, ружья, паровозы, планеры, циклы, пожиратели пла неров, крокодилы, стационары, семафоры и аннигиляция. Крокодил, например, явля ется пожирателем планеров, поскольку он проглатывает планер без всякого ущерба для себя. С помощью функции CellularAutomaton вы можете разыграть захватываю
щие сценки из этой Вселенной!
А если клетки в придуманной вами Вселенной будут достаточно малыми, а процесс эволюции — достаточно длительный (например, 80 шагов), вы можете увидеть самопо добные конфигурации, и тогда вспомните о фракталах, множествах Мандельброта и Жулиа! Для обстоятельного разговора о них, конечно, нужна отдельная книга, и, воз можно, не одна. Ну а мы, кратко обсудив в главе 1 применение системы Mathematica
к изучению |
фракталов, теперь завершили своеобразный цикл |
511 (очень редкий — |
с нечетным |
показателем!), ведь эта глава — одиннадцатая. И |
последняя — в этой |
книге. И если ваше знакомство с системой Mathematica продолжится, я считаю, вы прочли эту книгу недаром. Ну а сейчас пришло время сказать, как это знакомство продолжить. Иными словами, сейчас я собираюсь вкратце перечислить хотя бы неко торые ресурсы по системе Mathematica и по ходу дела указать на то, что осталось “за кадром”.
Ресурсы по системе Mathematica
Поскольку пользователи системы Mathematica за рубежом весьма многочисленны, существуют сотни книг, посвященных самым разным применениям этой уникальной системы. Среди них есть и краткие общие справочники, и обширные издания, посвя щенные специальным вопросам (например, дифференциальным уравнениям), а также различные навигаторы по этой системе и т.д. Но наиболее важным и полным является, конечно, книга самого Стива Вольфрама (Stephen Wolfram) The M athematica® Book, опубликованная издательством Wolfram Media. (Последнее 5-е издание вышло в 2003 году; оно соответствует системе Mathematica 5.) Эта очень добротная и подробная (почти полторы тысячи страниц) книга является надежным источником всех сведений по системе Mathematica. Любые сомнения можно разрешить с помощью этой книги. Книга переиздавалась при выходе очередной версии системы Mathematica, и каждое из дание заслуженно считается образцом документации по программному продукту.
WOLFRAM WEB RESOURCES
E L itokiwMs ■ |
www.wolfrom.com |
The home site of Wolfram Research, |
including complete information |
|
about products and technologies a |
library.wolfram.com
Thousands of pages of information on Mathematica and its applications to mathematics, science, and other fields «
librory.wolfram.com/explorations
Calculations of all types backed by the power of Mathematica and made available on the web •
store.wolfram.com
The place for purchasing
Mathematica, application packages, custom products, and books «
www.mathematica-journal.com
An online and print journal dedicated to Mathematica users *
mathworid.wolfram.com
The web's most popular and extensive mathematics resource
functions.wolfroin.coin
More than 87,000 facts about mathematical functions *>
wolframscience.com
|
te. |
|
The official website of Stephen |
(| |
«*. |
Wolfram's A New Kind of Science * |
|
wolfram-media.com
The publishing unit of the Wolfram
Group «
i
mathmlcentral.com
The center for MathML tools and resources *>
scienceworld.wolfram.com
A companion to MathWorid, covering astronomy, biography, chemistry, and physics «
gallery.wolfram.com
A visual display of artistic and scientific images created with Mathematica •
stephenwolfram.com
The site all about Stephen Wolfram, scientist, creator of
Mathematica, and author of A Haw Kind ofScience о
iritegrals.wolfrani.com
The power to do integrals as the world has never seen before a
Кроме того, всегда свежая информация содержится на Web-портале www. w olfram . com.
Помимо всего того, что обязано быть на таком портале “по долгу службы”, там мож но найти примеры применения системы Mathematica, советы, инструкции, новейшие результаты, ответы на самые разные вопросы и просто справочную информацию по математике. Например, сайт, посвященный функциям, помимо разнообразной спра вочной информации, содержит более 10 тысяч графиков функций и более 87 тысяч формул! Для каждой тригонометрической функции приведено более двухсот графи ков. Показательной функции посвящено более четырехсот графиков, а корням — более семисот!
. пмстюнсмгоооа \ ушмшАлоа нотдткма ш ам . вшила |
ABOUTтнаяп |
■4 |
|
4_THE WOLFRAM |
^ |
. Airy, Stnnv FuMcdom |
FUNCTIONS SITE |
|
|
|
•Сияли. В«а, Erf
•Uiftk Inter«Ь
•EUptk functions
•Z**a FunctionsA Polytofsrttivra
•ComplMCwyninh
•NunUr Theory Fwtcd sns
•ALPHABETICAL MOEX
AW OUtAM W a RESOURCE
This ihs li ersttcd with snd it developed w d malnulrwd
by Wolfi^rri hesnrch with pertlel support from the NetloneI Science Foundation.
• 1999-2004 Wolfrsm Rewerch, Inc.
As ofJune 20. 2004
Current i of forrmriai: 8 7 ,1 6 0
Currant В of vfiuafizaHons: 1 0 ,8 2 8
Find в formula by ID. |
h^p* |
Providing tb< ttiatbauaticai nud srieniijic mmmanity sitb tire U\irWt laigett toiicciiou offormulas and graphics about uuubrmatiadfum turns.
Яsport a new formula to: newsOfunctlons.wolfram.com
Есть даже журнал, посвященный применению системы Mathematica.
Volume 9, Issue 2
The
Mathematica
Journal
FEATURE ARTICLES
Learning about Differential Equationsfrom Their Symmetries
SCOTT A. HEROD
p-adic Arithmetic
STANYDESMEDT
Updating a Geographic Database
LEENDERT VAN OASTEL AND HARRY UITERMARK
A Generator ofRook Polynomials
DANIEL C. FIELDER
Customizing the Help Browser
PAVISANDHU
The Second Set ofMagic Angles of Projectile Motion
HAIDUKE SARAFIAN
Spatial Inversion: Reflective
Anamotphograms
PHILIP W. KUCHEL
COLUMNS
Tricks of the Trade ►
Symbolic Analysis of DNA Sequences, Oonoroting Barcodes, Computing Your Той,
ond PerentForm
by toutAbbott
In and Out >
Experts Answer Your
Questions
by toutAbbott
Trott's Corner ►
Modular Equations of tha Rogers-Ramanujan
Continued Fraction
by HtebtotTrott
Система Mathematica — не просто система программирования, а еще и сервер, к которому могут обращаться другие программы. Очень часто, например, пользователи электронной таблицы Excel пользуются функциями системы Mathematica. Есть специ альные макросы и для текстового процессора Word. Услугами системы Mathematica могут пользоваться и программы, написанные на языках С и C++.
Бесспорно, множество книг посвящено применению системы Mathematica в раз личных областях математики (таких, как дифференциальные уравнения, клеточные автоматы, комбинаторика и т.д.). Но и другие науки тоже не обойдены вниманием. Так что, применяя систему Mathematica, вы всегда можете найти помощь. Правда, ес ли готовы читать на английском, ведь большинство книг по системе Mathematica, к сожалению, на русский язык не переведены...
Резюме
Система Mathematica может помочь решать задачи школьникам, студентам, аспи рантам, инженерам и научным сотрудникам самых разных профилей. Система Mathematica — это не только интеллектуальный калькулятор, используемый в инте рактивном режиме, но и система программирования, сервер и помощник с энцикло педическими познаниями в области математики. Как показал ее сам автор — Стив Вольфрам, — она может даже помочь открыть новый вид науки!
Задачи
Задача 11.1. Используйте систему Mathematica всякий раз, когда она упрощает ре шение ваших задач!
Приложение А
Ответы и решения задач
Вэтом приложении...
♦Глава 1 “Исторический обзор и первое знакомство”
♦Глава 2 “Первое знакомство — калькулятор”
♦Глава 3 “Числа, их представление и операции над ними”
♦Глава 4 “Арифметика: разложение целых чисел на простые множители”
♦Глава 5 “Арифметика: простые числа”
♦Глава 6 “Арифметика: наибольший общий делитель
инаименьшее общее кратное”
♦Глава 7 “Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения
икитайская теорема об остатках”
♦Глава 8 “Числовые функции”
♦Глава 9 “Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук”
♦Глава 10 “Алгебра и анализ”
♦Глава 11 “За гранью простого”
Это единственная ветвь математики, я полагаю, в которой хорошие авторы неоднократно получали совершенно оши бочные результаты.... Сомневаюсь, что есть хотя бы один пространный трактат о вероятностях, существующих в при роде, который не содержал бы решений, абсолютно недока зуемых.
Ч. С. Пирс (С. S. Pierce), Popular Science Monthly (1878)
“Нет, довольно!— сказал возмущенный отец.— Есть граница любому терпенью.
Если пятый вопрос ты задашь наконец, Сосчитаешь ступень за ступенью!”
Льюис Кэрролл (Lewis Carroli), Алиса в стране чудес, гл. 5, (1862); перевод С. Я. Маршака
Глава 1 “Исторический обзор и первое знакомство”
Задача 1.1. Фракталы, размерность Хаусдорфа и самоподобие. В 1918 году Феликс Хаусдорф ввел понятие размерности, оказавшееся впоследствии чрезвычайно полезным. Фракталом называется любой геометрический объект, имеющий дробную (нецелую) размерность Хаусдорфа. Фракталы отличны от простых классических (Евклидовых) фигур, таких как квадрат, многоугольник, круг, сфера и т.д. С их помощью можно
описывать многие объекты “неправильной” формы, такие как береговые линии и горные цепи. Даже сам термин “фрактал”, введенный Бенуа Мандельбротом7 (Benoit В. Mandelbrot), происходит от латинского слова fractus (“фрагментированный”, или “разбитый”).
Хотя ключевые концепции, связанные с фракталами, математиками изучались длительное время, а многие примеры фракталов (канторово множество, разнообраз
ные кривые-“снежинки”) были давно известны, именно Мандельброт применил фрак талы в прикладной математике для моделирования ряда разнообразных явлений — от поведения физических объектов до поведения рынка. Введенная в 1975 году, концеп
ция фрактала породила новую геометрию (фрактальную геометрию), которая сущест венно облегчила решение задач из таких областей, как физическая химия, физиология
и гидроаэромеханика.
Многие фракталы, если не точно, то, по крайней мере, приблизительно, обладают свойством самоподобия. Самоподобным называется объект, части которого подобны всему объекту. Иными словами, повторение подробностей строения объекта (т.е. его частей) наблюдается при все большем увеличении. Например, рассматривая мелко масштабную карту, мы видим изрезанность береговой линии. Но и на более крупно масштабных картах, мы, как правило, видим подобную картину (изрезанность берего вой линии сохраняется), а не прямую линию. В случае абстрактных (математических) объектов, таких как канторово множество, это может продолжаться неограниченно, так что любой элемент каждой части при увеличении будет выглядеть так же (или по добно), как некоторая фиксированная деталь всего объекта. Вот типичный пример: кривая-снежинка Коха (Helge von Koch), определенная в 1904 году. Эта математиче ская кривая обладает шестикратной симметрией, подобно естественной снежинке. Она самоподобна в том, что состоит из нескольких идентичных частей, каждая из ко торых, в свою очередь, состоит из частей, которые являются точными уменьшенными копиями целого. Так что каждая из этих меньших частей тоже составлена из элемен тов, которые являются уменьшенными копиями целого, и т.д. В природе такое “рекурсивное” явление часто наблюдается в таких объектах, как снежинки и древес- j ная кора. Все естественные фракталы, так же как и некоторые математические само подобные объекты, являются стохастическими, или случайными. Так что подобие во фракталах часто реализуется благодаря случайности. Если хотите, можно сказать, что подобие выражается в подобии законов, управляющих случаем. Возможно, именно поэтому фракталы так долго не воспринимались всерьез “академической” наукой, ог раничивавшейся, как правило, “идеальными” (детерминированными) и “правильно уст роенными” фракталами вроде кривых Пеано, Гильберта, канторова множества и т.д.
Однако когда физики занялись изучением сложно устроенных объектов, оказалось, что фракталы — не исключение, а повсеместно встречающиеся объекты. Более того, в некотором смысле именно из них и “сотворен мир”. Поэтому изучению фракталов начали уделять все большее внимание. Однако при попытке применить компьютерное моделирование для изучения фракталов выяснилось, что написать нужные программы не так-то просто. И тому были причины... Попробуйте догадаться, какие.
Ответ. Конечно же, для изучения фракталов необходимы хорошие средства их ви зуализации. Ведь одно дело читать длинные колонки нудных цифр, а другое дело — увидеть фрактал (или хотя бы его двухмерное изображение) на экране. Отсутствие адекватных средств отображения даже двухмерных объектов, конечно, тормозило изу чение фракталов. Однако в настоящее время, когда вполне доступны 21-дюймовые
1Встречается также написание Мандельбройт. Знаменитый французский математик, дирек тор серии "Международные математические монографии". Родился в Варшаве 20 января 1899 года, окончил Парижский университет в 1923 году. Основные труды по теории функций действи тельного и комплексного переменного, теории чисел и функциональному анализу. Умер в Па риже в 1983 году.
Ответы и решения задач |
389 |
мониторы с 16 млн. цветов, едва ли можно считать эту причину главной. Сложность программирования визуализации фракталов? Да, было время, когда и отображение точки на экране дисплея было непростой задачей. В настоящее время простейшие программы рисования фракталов пишут студенты-первокурсники (и даже восьми классники под партой в тайне от учителей информатики и математики). Так что сей час недостатка в программах рисования фракталов нет. Проблема, скорее, состоит в том, что почти все такие программы имеют один и тот же недостаток — они позволя ют исследовать фрактал только до определенной глубины, которая фактически опре деляется точностью машинного представления чисел. А ведь изучение фрактала нель зя объявить законченным, достигнув только какого-то из его уровней. Однако для достижения все более глубоких уровней нужно либо увеличивать точность представ ления чисел в программе, либо изменять уравнения так, чтобы, сокращая большие величины в уравнении, можно было использовать имеющуюся точность для представ ления все более малых значений. Для первого способа нужна арифметика произволь ной разрядности, а для второго — компьютерная алгебра. Но если доступна система компьютерной алгебры, то в ней, как правило, имеется и арифметика произвольной разрядности. Однако подойдет не всякая система компьютерной алгебры. Нужна та кая, которая позволяет применять современные технологии написания программ. Именно отсутствие таких систем долгое время и было главным тормозом в написании нужных программ. К счастью, теперь есть система Mathematica...
Глава 2 “Первое знакомство — калькулятор”
Задача 2.1. Решите уравнение sinjt = 0. Решение. Возможно, вы ввели
Solve [Sin[ х ] == 0]
и получили
{{Sin[х]->0}}
Это, конечно, верно. Но ведь это тавтология! Как же быть? Для такого типа урав нений лучше использовать функцию Reduce (Упростить).
Reduce[Sin[ х ] == 0,х]
С [1]е Integers&&(х>2 п С [1] ||х== к + 2 к С [1])
Задача 2.2. Решите уравнение (х - 2)(дс- 1)(дг - 8)(х - 4) = 1 х г Решение.
Solve [(х-2)(х-1)(х-8)(х-4) == 7 хЛ2]
Задача 2.3. Решите уравнение Qr-jc + l)3 лг2(;с— I)2
( 5 - л/5 + 1)3 _ 5(л/5 -1)2 '
