книги / Управление колебаниями
..pdf§2 ] |
Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И Б Ы С Т Р О Д ЕЙ С Т В И Я |
251 |
Отсюда найдем, учитывая второе равенство (6.2.26),
t\ —л(2 к + 3 — п) + in.
Так как t\ и tn лежат в интервале (0, 2я), а п прини мает нечетные значения, то последнее равенство выполня ется, лишь если
п — 2к-\-Ъ, |
= tn= (т - <)/2. |
(6.2.27) |
Осталось удовлетворить последнему уравнению (6.2.13). Подставляя в пего соотношения (6.2.14), (6.2.18), (6.2.27), будем иметь
[ 1 — у + и ( 1 + у)] (2 кп 4- т) / 2 — и( 1 + у) {к + 1 ) = а• (6.2.28)
Рассмотрим сначала случай и = — 1. Подставляя h из (6.2.24) в (6.2.28) и полагая п = 2& + 3, и — —1, получим равенство
— 2'у/ся — 2(1 + 7 )№+ 1)Мт/2 — arcsin 1Аsin (т/2)П = а,
(6.2.29)
A = Y(1 + 7 ) - 1(£ + 1)"1 < 1 .
Отметим следующее неравенство
minGlz, я — Az) > arcsin (Л sinz),
(6.2.30)
z e [0 , я1 , 0 + < 1 .
В справедливости (6.2.30) легко убедиться, вычисляя синусы от обеих частей неравенства и учитывая, что sin(i4z) > A sinz.
Полагая z = т/2 в (6.2.30), убеждаемся, что выраже ние в фигурных скобках в (6.2.29) неотрицательно. Следо вательно, равенство (6.2.29) невозможно, так как его ле вая часть неположительна, а а>0. Тем самым значение гг. = — 1 исключается.
Итак, гг = 1 , и длины интервалов t{ представляются следующими соотношениями, вытекающими из (6.2.14),
(6.2.18), |
(6.2.24), |
(6.2.27) |
■ |
ti = tn = |
т/ 2 — (X/u п — 2 к + 3, |
^2 — ^4 — •••— 1 — 2ал, Т == 2пк + т,
252 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е |
К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
1ГЛ . G |
^з = ^ б= . ••= |
t-n- а — 2 (я а л), |
|
|
|
« » = arcsin (1 +‘ vHfe?+ 1)' |
° (6-2-31) |
|
Равенство (6.2.28) при и = 1 принимает вид |
|
||
|
2л&+ M r, 4 ) = а, |
(6.2.32) |
|
где введено обозначение |
|
|
|
К (т, у) = |
* - 2 (1 + у) {к + 1) arcsin [ ^ р ^ г Ь " ) ] ‘ |
||
|
|
|
(6.2.33) |
Исследуем уравнение (6.2.32), служащее для определе |
|||
ния целого к > 0 и т е (0, 2л). Используя неравенство |
|||
(6.2.30), убедимся, что hk^ 0 при всех т е [0, |
2л]. Далее, |
||
нетрудно показать, что функция hh мопотоиио |
возрастает |
||
от 0 до 2л при изменении т от 0 до 2л. Поэтому, разделив обе части равенства (6.2.32) па 2л и взяв целую часть,
получим й: = [а/2я]. Итак, |
если |
|
представить |
заданный |
|
путь а> 0 в виде |
|
|
|
|
|
а= 2лк + Ь,к = [а/2я] = |
0,1, |
..., 0 ^ |
Ъ< 2л, |
(6.2.34) |
|
то тем самым определится |
число |
А, а |
следовательно и |
||
п ~ 2к + 3. Параметр т найдется |
как корень уравнения |
||||
W T, 4 ) = |
Ъ, |
|
(6.2.35) |
||
вытекающего из (6.2.32), (6.2.34).
Отметим, что формулы, аналогичные соотношениям (6.2.31)—(6.2.33) в случае у = 1» были получены в [1461, где рассматривалась задача оптимального управления, ко торая может быть сведена к рассматриваемой выше.
6. Оптимальное решение. Приведем некоторые сущест венные для дальнейшего свойства фупкций (6.2.33). Не посредственным дифференцированием убеждаемся в том, что
dh. о\
-gf > 0, > 0 при у + к> 0, т е (0, 2л), (6.2.36)
т. е. hlt строго монотонны и выпуклы по т, если хотя бы одно из чисел к, у положительно. В частном случае
§ 2 |
Р Е Ш Е Н И Е З Л Д Л Ч Н Б Ы С Т Р О Д ЕЙ С Т В И Я |
253 |
к = у —0 получим пз (6.2.33) |
|
|
|
0 < т < л, |
(6.2.37) |
|
л < i.T < 2 n. |
|
|
|
|
Из сказанного следует, что при любом Ъе (0, 2л) п |
||
любых |
у 5* О, к > 0 трансцендентное уравнение |
(6.2.35) |
имеет |
единственное решеипе т ^ (0 , 2 л). |
|
Итак, искомое решеипе задачи оптимального быстро действия 1 или эквивалентной ей задачи 3 полностью по строено и определяется следующим образом. Представим заданный путь перемещения а в виде (6.2.34). Если &= 0, то имеем случай п = 1. При этом оптимальное управление равно н = 1 для £е=(0, Т), а Т = а= 2пк. Если же Ь >0, то величина т е (0 , 2 л) определяется как единственный корень уравнения (6.2.35). Число интервалов п, их дли тельности ti и время быстродействия Т задаются фор мулами (6.2.31), а скорость и ускорение точки подвеса — соотношениями (6 .2 .1 1 ) при и = 1 .
В |
случае |
Ъ 0 илн |
Ь |
2л имеем |
соответственно |
т -*■0, |
т -> 2л, |
поэтому |
здесь |
решение |
(6.2.31)—(6.2.35) |
переходит в решение с п = 1 . |
|
|
|||
Оптимальное управление v(t) определено однозначно (с точностью до значений иа множестве нулевой меры) при всех а > 0 , у > 0 .
7. Анализ оптимального решения. Отметим, что функ ции (6.2.33) зависят фактически лишь от двух параметров т, ( 1 + у)(7с + 1 ) и строго возрастают с ростом каждого из них. Строгая мопотоппость по 7 , к доказывается аналогич но (6.2.36). Отсюда вытекает двусторонняя оценка
|
/г0(т, |
0 ) < hk(т, у) < 7U т), у + к > 0 , |
(6.2.38) |
|
где h0(x, 0) определено соотношением (6.2.37), а |
|
|||
|
коо(т) = lim hh(т, у) = т — 2 sin (т/2). |
(6.2.39) |
||
|
|
ft-*СО |
|
|
Приведем еще разложения функций (6.2.33) в окрест- |
||||
пости копцов пптсрвала (0 , 2 л) |
|
|
||
h„ (*, у) - |
и.[* |
(, + J {k + „»] + 0 <т5)’ |
т - * 0 , |
|
hh(т, у) = |
2 (т — л )> О((т — 2л)3), |
Т - . 2 Н. (6-2-40) |
||
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
1ГЛ . о |
hjf(Т)О)
§2] |
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
255 |
|
На рис. 6.5, 6.6 приведены графики функций (6.2.33) |
|||
для к = 0 , |
1 , оо и наиболее интересных случаях f = l п |
||
у = 0 соответственно. Значению |
/с = «» отвечает |
функция |
|
(6.2.39). Случай 7 = 1 отвечает |
двустороннему |
ограниче |
|
нию на скорость точки подвеса, а у = 0 — несимметрично му ограничению, при котором допускается двпжепие лишь в одну сторону (см. (6.1.2)). Графики функции hk при
к> 2 заключены между соответствующими кривыми для
к= 1 и к = оо, откуда видно, что они очень близки друг
к другу. Так при 7 = 1 разность между функциями h0 п h„ но превосходит 0,1. С ростом у все кривые hhприбли
жаются к (6.2.39).
Отметим одно качественное отличие оптимальных дви жений при у = 0 от движений при 7 > 0. Пусть расстоя ние мало, а -*■0, тогда из (6.2.34) имеем к = О, b -»-0. Корень уравнения (6.2.35) с учетом асимптотического представления (6,2.40) при 7 > 0 имеет вид т = 0(Ь1/3),
256 |
|
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫ Х СИСТЕМ |
[ГЛ. G |
|||||
так что т ->■ 0 при Ь->- 0. Иными слонами, зависимость Бре |
||||||||
мени быстродействия Т от пути а непрерывна и |
Г -+ 0 |
|||||||
при а -*■0, если 4 > 0. |
В случае же |
7 = 0 |
справедлива |
|||||
формула (6.2.37), н при этом кореш, уравнения (6.2.35) |
||||||||
удовлетворяет неравенству т > я при |
b > |
0 . Слсдователь- |
||||||
по, |
имеем Т > я при |
а > 0, |
4 = 0. Таким |
образом, |
если |
|||
Ч= 0 , то указапиым способом пслт.эя переместит], маят |
||||||||
ник па конечное расстояпне, погасив его колебания, за |
||||||||
время, меньшее полупериода колебании. |
Т(а) для |
= 0 |
||||||
На рис. 6.7 представлена зависимость |
||||||||
и Y — 1. Точки кривой Т(а), в которых Т = |
а, отвечают п — |
|||||||
= 1; в |
остальных точках Т > а. Случаю |
4 = 0 отвечают |
||||||
верхппе участки кривых. Зависимость Т(а) строго моио- |
||||||||
топиа. |
Пример. Построим оптпмалыгоо двнжонпе при а — |
|||||||
|
8 . |
|||||||
= я/3, |
,Y = ,J. Согласпо |
(6.2.34) имеем |
к —0, |
Ъ~ я/3, п = |
||||
= 3 |
п |
оптимальным |
будет |
режим |
с тремя участкамп |
|||
Рлс. 6.8.
постоянства управления (п = 3). Уравпоппе (6.2.35), (6.2.33) в этом случае имеет вид
я/3 = т — 4 arcsin [V2 sin (т/2 )],
а его корень равен я.
Длительности интервалов и время двпжеппя паходпм по формулам (6.2.31)
t\ — t2 = t%—я/З, Т = я.
Зависимость v(i) и фазовая траектория маятппка для этого случая дапы па рпс. 6 .8 , Фазовая траектория состо-
§ 2] Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И Б Ы С Т Р О Д ЕЙ С Т В И Я 257
ит из четырех вертикальных отрезков, соответствующих точкам переключения, между которыми заключены три дуги окружностей с центром в пачале координат, отвечаю щие участкам постоянной скорости. Цифры от 0 до 7 на рис. 6 .8 указывают соответствующие друг другу точки графиков. Центральные углы дуг на фазовой плоскости равны времени я/З движения по дугам. Интересно, что при оптимальном но быстродействию движении точка под веса маятника трижды проходит в разных направлениях отрезок [0 , а] оси х.
9. Движение точки подвеса. Исследуем зависимость x(t) для оптимального движения. Подставим скорость
(6.2.11) |
в уравнение (6.1.5) для х и |
найдем координату |
|
подвеса в моменты переключений скорости |
|||
*2i-i = |
* ^ S |
b) = h + (* - 1) [2л - |
(1 + У) h i |
х-а = х ^ 2 |
= к + (* — 4) [2 л - ( 1 + Y) У ~ |
||
(G.2.41)
i = 1, 2, . . . , / c + l .
Здесь использованы соотношения (6.2.31). Оценим границы изменения x(t) при перемещении маятника па расстояние а. В силу неравенства 2я > (1 + y)t2, вытека ющего из (6.2.31) и (6.2.30), величины x2t-i п х2( монотон но возрастают с ростом ъ. Поэтому
а~ = min х (t) = min (0 , х - f У ) = min (0 , t2— yt2),
(6.2.42)
av = max x (t) = max (a, x (!’ — tn— ts)) =
= max (a, a — tx-|- yt2).
Здесь использованы |
соотиошения x(T) = а и (6.2.41). |
|||
Согласно (6.2.31) имеем |
|
|
||
|
К - Vh= т - |
(1 + 2т) «train |
(6.2.43) |
|
Покажем, что если /с |
1, то ti > yt2 для всех т. Иско |
|||
мая |
оценка следует |
из |
формулы (6.2.43), |
неравенства |
(1 + |
-у)(/с + 1) > 1 + 2 у |
п |
и з соотношения |
(G.2.30), где |
17 Ф. Л. Чсрноусько, Л. Д. Акуленко, Б. И. Соколов
258 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е |
К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х |
С И С Т Е М |
[Г Л . О |
надо |
положить z = т/2 |
и А = (1 + 2ч)-1. Следовательно, |
||
при к > 1 , т. е. при а > 2 я выполнено |
|
|
||
а~ = min х (t), а+ = max х (t) = а |
( а > 2л). |
(6.2.44) |
||
|
t |
t |
|
|
Рассмотрим случай а < 2л, т. е. к = 0. Легко убедить |
||||
ся, что h — 'ih согласно |
(6.2.43) — строго выпуклая функ |
|||
ция т при 4 > 0 , которая имеет единственный положи
тельный корень тое (0, 2л). Если т |
то, то t\^ |
|
^^2» л име |
||||
ют |
место соотношения (6.2.44). Если же те |
(0, т о), то |
|||||
< |
7 *2. В этом случае пз (6.2.42) |
следует |
|
|
|||
|
а~ = t\ — fa < 0, а+ = |
а — h + 4*2 > 0. |
|
(6.2.45) |
|||
Корень то функции (6.2.43) |
удовлетворяет |
уравнению |
|||||
|
то = |
2(1 -Ь 2^)arcsin[(l + 4 )- 1 |
sin (то/2)]. |
(6.2.46) |
|||
|
Так как зависимость а(т) в (6.2.32) монотонна, то ус |
||||||
ловие т < т о |
означает а<а(то). |
Найдем а(то) |
согласно |
||||
(6.2.32), (6.2.33) при к = 0 и затем преобразуем а(то) при помощи равенства (6.2.46). Получим неравенство
0 < а < а(то) = ч(1 + 2^ ) - 1 т0. |
(6.2.47) |
Итак, в том и. только том случае, когда выполнено ус ловно (6.2.47), где то — корень уравпеипя (6.2.46), точка подвеса при оптпмальиом движении выходит за пределы отрезка [0, а] оси х. При ч = 0 этого ие происходит. При 4 = 1 имеем то = я в (6.2.46), так что выход за пределы отрезка происходит при а < я/3.
Условию (6.2.47) можно придать иную форму. Выразим то через а(то) при помощи (6.2.47) и подставим в соотно шение (6.2.32), взятое при т = т0. Получим трансцендент
ное уравнение |
|
fcotr1 01 + 2ч)а0, 4] - «о = 0 , ч > 0. |
(6.2.48) |
Левая часть уравнения (6.2.48) есть выпуклая функция от а0, обращающаяся в нуль при а0 = 0 и а0 = а(т0) . Следо вательно, неравенства (6.2.47) эквивалентны неравенству
М ч - 1 ( 1 + 2 ч)а, 4 ] < в .
§ 3] |
К В А З И О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Р Е Ж И М Ы |
259 |
§ 3. Задача максимального перемещения
иквазноптимальпыс режимы
1.Решение задачи максимального перемещсппя. Обра тимся к решению задачи 2 пз § 1 . Как следует из (6.2.36), зависимость времени быстродействия от пути ТЫ), опреде ляемая соотношениями (6.2.31), (6.2.34), (6.2.35), непре рывна и строго мопотонпа (см. рнс. 6.5). Поэтому согласно сделанному в и. 3 § 1 замечанию, решение задачи 2 получа ется из решения задачи 1 следующим образом. Заданпос время Т представим в виде (6.2.18) и найдем /с, т. По формуле (6.2.32) определим максимальное расстояние а(Т),
после чего интервалы U вычислим по формулам (6.2.31). Оптимальпое управление определяется прежними форму лами (6.2.11) при и —1. В частном случае Т = 2пк, к — целое, имеем управление i?(f) = 1 прп t е (О, Т), здесь
а= Т.
2.Квазпоптимальные режимы в задаче перемещения. Практический интерес представляют режимы с фиксиро ванным небольшим числом переключений, когда число
участков постоянства скорости v(t) точки подвеса задает ся заранее и от времени движения пе завпспт. Этп режи мы удобны для технической реализации п приводят к небольшому увеличению минимизируемого фупкцпопала. Соответствующие оценки будут даны ниже.
Рассмотрим класс режимов с 2т+ 1, т> 1 участками постоянства скорости. Прп Т < 2пт оптимальный режим
в(6.2.31), (6.2.32) содержится в указанном классе. Для
Т> 2пт построим режим управления следующим образом. Будем предполагать, что ТФ2пк, так как прп Т'=2пк
точный оптимальный режим содержит одпп участок пос тоянства скорости. Представим Т в виде (6.2.18) п по ложим
Т = Ti + Т2, Т\ = 2я(/е - m+ 1), Т2= 2я(те - 1 ) + *• (6.3.1)
Пусть а(Т2) — максимальное значение расстояния за дачи 2 , в которой: момент окопчаппя движонпя равен Т2. Пусть и, t2, ..., t2m+\— соответствующие оптимальные длины интервалов постоянства скорости v(t). Положим
-j- Т±, |
= t2, •• tgm+i — hm+i‘ (6.3.2) |
17+
260 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е |
К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
[Г Л . 6 |
|
Управление (6.2.11) |
с в = 1 и интервалами постоянст |
|
ва скорости (6.3.1), очевидно, обеспечивает гашение ко лебаний маятника к моменту Т. Обозначим через а„,(Т) соответствующее значение функционала х(Т). Легко ви
деть, что- |
(6.3.3) |
ат(Т) = 2л(к - m+ 1) + а{Т2). |
|
Преобразуя выражение (6.3.3) при помощи соотноше |
|
ния (6.2.32), получим |
|
aJT) = 2пк + 7im-i(t, 4 ). |
(6.3.4) |
Прп ш= к+ 1 формула (6.3.4) переходит в (6.2.32). Значеппя функции а(Т) п а„кТ) для оптимального и квазпоптимальпого режимов удовлетворяют очевидным соот ношениям
а,п(.Т) < а(Т) < Т, а(2пк) = aJ2nk) = Т.
2. Анализ квазноптпмальных режимов. Можно пока зать (см. [228]), что квазпоптпмальпыо режимы оптималь ны в классе всех режимов, имеющих не более 2m + 1 участков постоянства скорости. Оценим разность по функ ционалу а между построенным квазиоптимальпым и оп тимальным режимами. Как следует пз формул (6.3.3), (6.2.32), (6.2.38), эта разность равна
акТ) — а,АТ) — /гл(т, |
I(T, -у) < / U |
T) - 7*т_,(т, <у). |
|
|
|
|
(6.3.5) |
Вследствие свойства |
монотонности |
(6.2.38) |
фуикцпй |
hhпо к имеем |
|
|
|
a(T )-am{T X h J x ) - h Q(T, 4 ) = |
|
|
|
— 2(1 + ^) arcsin [(1 + у) - 1 sin (т/2)] — 2 sin (т/2). |
(6.3.6) |
||
Здесь использованы формулы (6.2.33), (6.2.39) для 7&) h„. Полученная в (6.3.6) функция четна относительно точки т = я и достигает максимума в этой точке. Поэтому получим из (6.3.6)
а(Т) - ат{Т) ^ 2(1 + •yhresind + -у) " 1 - 2. (6.3.7)
Простейшими квазиоптпмальными режимами являются режимы с минимальным числом участков постоянства ско рости, равным трем (m = 1). Рассмотрим их в двух наибо лее важных случаях -у = 1 и Y = 0. По формуле (6,3.7)