книги / Управление колебаниями

Решению задач об оптимальной амортизации систем, рас­ считанных на класс внешних воздействий, посвящены ра­ боты L26G, 189, 51] и другие. Задачи 1—4 могут быть обобщены на системы со многими степенями свободы (см. [75, 109, 266] и другие).

Перечисленные выше задачи являются простыми при­ мерами, отражающими типичные особенности оптимиза­ ционных задач, связанных с проектированием амортиза­ ционных систем. Опи, конечно, не исчерпывают всех воз­ можных постановок. Читателю, интересующемуся пробле­ мами проектирования оптимальных амортизаторов в более широком аспекте, можно обратиться к монографиям [109, 207, 266]. Ниже рассматриваются в качестве примеров некоторые простые задачи оптимальной амортизации для систем с одной степенью свободы.

2. Оптимизация параметров упруго-демпфированных противоударных амортизаторов. В книге [97] показано, что амортизаторы целесообразно применять лишь в том случае, когда путь торможения (или разгона) объекта, содержащего амортизируемое тело, не больше хода амор­ тизатора. Поэтому особенный интерес представляет воп­ рос о защите при кратковременном (ударном) внешнем воздействии па корпус.

Если времл действия внешней силы много меньше ха­ рактерного времени амортизационной системы (например, периода ее колебании), то в некоторых случаях можно считать, что корпус подвергается мгповеппому удару и полагать Fit) = {}6U), где (} — постоянная (интенсивность удара), a 6U) - дельта-функция.

Рассмотрим механическую систему, представляющую собой абсолютно твердое тело, связанное с движущимся корпусом посредством упруго-демлфировапиого амортиза­

Здесь к > 0 н с ** 0 — постоянные коэффициенты демп­ фирования и жесткости соответственно, г и т — копстап-

= (М5Ш), в результате которого амортизируемое тело при­ обретает конечную относительную скорость (3. Движение амортизируемого тела относительно корпуса определяет­ ся дифференциальным уравнением с начальными усло­ виями

х + k\x\rsign х + сЫ '" sign х = 0,

Ставится задача об определении оптимальных коэф­ фициентов демпфирования и жесткости, минимизирую­ щих максимум модуля перегрузки при ограниченном мак­ симуме модуля отклонения. Таким образом, требуется пайти параметры /со, с0 такие, что

Лг,ж (ко. Се) = min/;• "(*, С),

ft,c>o

(8.4.11)

11 (к01со)

Такая постановка соответствует задаче 2, описанной в п. 1. В рассматриваемом случае множество Y допусти­ мых характеристик представляет собой параметрическое

начальная скорость [} и максимально допустимое отклоне­ ние D равняются единице. Это отвечает переходу в

локального экстремума функции x(t). Это свойство явля­

вого локального экстремума функции я(£). Действительно, в силу свойства 1 для любого момента

времени £ > £* выполняется неравенство |х (£) J^ |х (£*) |. Поскольку функция хШ непрерывна и £* — точка ее эк­ стремума, то для любого момента £j > £* существует мо­

ская энергия Е = хУ2 + сЫ т+1/(тп + 1) не возрастает с ростом времени и, следовательно, справедливо неравен­ ство

|i(£i)l^|i(£2)l. (8.4.14)

Решение задачи Коши (8.4.8) ж(£) неотрицательно

вместе со своей производной xit) на отрезке 0 ^ £ ^ £ *. Отсюда и из (8.4.13), (8.4.14) следует, что

|'iUi)| </с|г(£1)1г + с|ж(£1)|т ^А:а:г(£2) + са:т (£2) = |а?(£2)|.

Таким образом, для любого момента времени tx>►£+ справедливо соотношение

|i(£i)| < Ы£г)1 *Smax|z(£)l, <6Е0.

которое и доказывает свойство 2 .

23 ф. л. Черноусыю, Л. Д, Акуленко. В. Н. Соколов

356 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИЙ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

Отсюда и из отмеченных выше свойств 1 и 2 системы (8.4.8) (здесь имеем £* = 2 ) вытекает, что для амортиза­ тора с квадратичным демпфированием и линейной жест­ костью оптимальные параметры равны fco = c0 = O,5. Пе­ реходя к исходным размерным переменным по формулам (8.4.12), получим зависимость оптимальных параметров и соответствующего значения функционала от величии Р п D

Итак, амортизатор с линейной жесткостью и квадра­ тичным демпфированием обеспечивает абсолютный мини­ мум максимальной перегрузки. Отметим, что в классе упруго-демпфированных амортизаторов с характеристи­ кой вида (8.4.7) только амортизатор с квадратичным демп­ фированием (г = 2 ) и линейной жесткостью (т = 1 ) обла­ дает таким свойством. Действительно, как было отмечено выше, оптимальное управление и0(£), доставляющее пре­ дельно возможное качество амортизации, определяется единственным образом на отрезке 0 < £ ^ 2 (см. (8.4.18)). Поэтому для того, чтобы амортизатор с характеристикой вида (8.4.7) обеспечивал абсолютный минимум перегруз­ ки, необходимо, чтобы выполнялось тождество

что коэффициенты демпфирования и жесткости должны быть равны к = с = 0,5. Дифференцируя тождество (8.4.22) при к = с = 0,5, получим новое тождество

|я(£)1 и 1я(£)1 при помощи обычных методов анализа, по-

лучим выражения для функционалов (8.4.9), (8.4.10)

метры находятся на границе области своих допустимых

Неравенства (8.4.25) имеют простое механическое ис­ толкование. Они означают, что с увеличением как коэф­ фициента демпфирования, так и жесткости амортизатора, максимум модуля отклонения амортизируемого тела уменьшается. Из (8.4.23) следует, что

т. е. линейный амортизатор с оптимальными параметрами обеспечивает хорошее качество амортизации, отличаю­ щееся от предельно возможного всего па 4%. Некоторые задачи амортизации крутильных колебаний в случае удар­ ного воздействия, близкие по постановке к изложенным выше, решены в статье [52].

§5. Об управляемой амортизации ротора

1.Уравнения движения и квазнстацпонарное прибли­ жение. Рассматривается механическая система, состоя­ щая из несбалансированного ротора, вращающегося во­

круг оси, жестко связанной с корпусом. Корпус укреплен на неподвижном основании посредством вязко-упругого амортизатора с линейной характеристикой и может пере­ мещаться поступательно вдоль горизонтальной оси х (рис. 8.13). Пусть М — масса корпуса, т — масса ротора,I

I— расстояние от оси вращения до центра инерцпи рото­ ра; & > 0 , с > 0 — коэффициенты демпфирования и жест­ кости амортизатора соответственно; х — отклонение кор­ пуса от положения равновесия, <р — угол поворота ротора вокруг оси вращения. Тогда имеем уравнение движения центра масс системы

где ф°, ю° — постоянные, в < 1 — малый параметр. Функ­ ция / и ее производная df/dt предполагаются непрерыв­ ными и ограниченными для всех £ е [0, «>). Конкретный

360 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ (РЛ. 8

их вид далее не используется; предполагается лишь, что

е означает, что время, за которое существенно изменяет­ ся угловая скорость вращения ротора, много больше пе­ риода установившегося вращения 2 л/© 1. Приведенная модель описывает подвижные узлы машин и механизмов, широко распространенных в технике. Отметим, что дина­ мика колебательных систем, содержащих неуравновешен­ ный ротор, исследовалась в ряде работ (см., например, [111, 144, 203, 222, 240, 255, 256] и другие).

После замепы (8.5.3) получим (штрихи далее опус­ каем)

х + кх + сх == qr sm ф — ф cos ф,

(8.5.4)

Ф = ©, © = е/(£), ф(0) = ф°, ©(0) = ©°.

Решение уравнения (8.5.4) для х представим в виде суммы свободных и вынужденных колебаний

Здесь 6?i, G2 — функции, отвечающие решению одно­ родного уравнения (8.5.4), Си С2— постоянные интегри­ рования. Вынужденные колебания у(£) в случав медлен­ но изменяющейся угловой скорости приближенно пред­ ставляются в виде