книги / Управление колебаниями

ное решению при гармоническом воздействии. Величина U является амплитудой квазистационарных колебаний корпуса, вынуждаемых вращением ротора. Как следует

переменных). При сделанных предположениях постоян­ ные С1, С2 равны пулю, а движение корпуса описывается функцией у из (8.5.6).

Отметим, что основная цель амортизации вращающих­ ся узлов состоит в уменьшении динамических нагрузок, действующих на основание. Кроме того, пз-за ограничен­ ных габаритов конструкции амплитуда колебаний корпу­ са как в процессе разгона ротора, так и в стационарном режиме не должна приводить к соударениям с другими элементами конструкции, т. е. величина U долита быть ограниченной. Исследуем указанные характеристики ко­ лебательной системы как функции параметров с > 0 , к > 0 и частоты ©.

Рассмотрим функцию U(c, к, z). При фиксированных

образом, в этом случае функция U(c, к, z) имеет макси­

Из (8.5.7) следует, что R -+z при жестком креплении корпуса к основанию, т. е. при с пли к -*■°°. Следо­ вательно, применение амортизатора для заданной частоты вращения ротора ш эффективно, лишь если R < z. При помощи (8.5.7) находим, что неравенство R < z выполня­ ется, если c < z / 2. Исследование R как. функции коэффи­ циента жесткости с при фиксированных положительных к и z показывает, что динамическая нагрузка вначале возрастает с ростом с, достигает максимума при

с = с * = V2[z + (z2 + 4fe2z),/23 > z/2 ,

а затем монотонно убывает. Таким образом, для значений с < z/2 , при которых R < z, функция R монотонно возра­ стает р ростом с. При фиксированных значениях с, z ди­ намическая нагрузка R монотонно возрастает при с < z/2 и убывает для с > z/2 с ростом к. При с = z/2 функция R от параметра к не зависит.

* 51 у п р а в л я е м а я а м о р т и з а ц и я р о т о р а 363

Ыз установленных свойств вытекает, что в стационар­ ном режиме (z = о 2 = 1) обо функции U, R возрастают

возрастает при уменьшении с. Отметим, что должно быть с > е для справедливости приближенных формул (8.5.5), (8.5.6).

3. Релейное управление жесткостью н оптимизация параметров. В некоторой области значений параметров с, к величина отклонения корпуса от положения равновесия в процессе раскрутки ротора может значительно превы­ шать амплитуду установившихся колебаний. Это обстоя­ тельство связано с прохождением частоты вращения через резонансное значение. Поэтому, как следует из анализа функции U (рис. 8.14), может оказаться целесообразным

на начальном этапе раскрутки несколько увеличить жест­ кость амортизатора, несмотря на возможное возрастание динамической нагрузки. При этом повышается резонанс­ ная частота, и наступление резонанса оттягивается. Впо­ следствии жесткость следует уменьшить, и резонанс оказывается как бы пройденным. Время пребывания си­ стемы вблизи резонанса при этом сокращается, а макси­ мальное по диапазону частот со s [0 , 1 ] значение ампли­ туды U уменьшается. Отметим, что вопросы реализации скачкообразного управляемого изменения параметров ко­ лебательной системы при помощи электромеханических устройств рассматривались в работе [2 2 2 ].

Рассмотрим задачу об оптимальном релейном управле­ нии жесткостью амортизатора с с целью уменьшения ам­

мент переключения, минимизирующий максимум ампли­ туды квазистационарпых колебаний С/(с, к, ш2). Сделан­ ное предположение о монотонности ш по f приводит к эквивалентной задаче об оптимальном выборе величины

364 ПРИКЛАДНЫ Е ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

Здесь с(©, ©*) — закон переключения жесткости, за­ висящий от текущей угловой скорости © и выбираемого параметра to*.

Отметим, что в момент релейного изменения жестко­ сти с возникнут свободные колебания и к функции у из С8.5.6) следует добавить члены C\G\ + C4G2 в (8.5.5). Од­ нако свободные колебания экспоненциально затухают с постоянной Бремени порядка единицы, которая мала по

тельной степени е. Следовательно, свободными колеба­ ниями можно пренебречь и пользоваться квазпстационар-

следует согласно (8.5.8) изменить коэффициент жесткости с, равна

и -\- Ъ 2,

(8.5.9)

о, Ъ^ 2.

Решение (8.5.9) получается путем непосредственного вычисления минимума (8.5.8) для функции £/(с, к, z) из (8.5.6). При помощи соотношения (8.5.6) для © может быть также однозначно определен момент переключе­ ния t *<

Решение (8.5.9) имеет простой смысл, ясный из рис. 8.14. Переключение жесткости производится при ча­ стоте ©*, отвечающей пересечению кривых £7(с, к, ©2) для с = а и с = 6 . На рис. 8.14 указана частота переклю­ чения ©* для а = 0,5, b = 0,25. Если же абсцисса указан­ ной точки пересечения лежит вне отрезка [0 , 1 1 , то пере­ ключение производится лишь в пределе при t °°, т. е. при выходе на установившийся режим. Из рис. 8.14 вид­ но, что указанное регулирование жесткости, вообще гово­ ря, позволяет снизить максимальное значение амплитуды XJ колебаний корпуса и уменьшить нежелательные эф­ фекты при прохождении системы через резонанс.

4. Оптимальный выбор коэффициента вязкого трения. Приведем решение задачи об оптимальном выборе по­ стоянного коэффициента вязкого трения к в случае установившихся колебаний при постоянной угловой ско-

рости вращения ротора ©. Жесткость с также считаем постоянной, и поэтому для уменьшения числа безраз­ мерных параметров полагаем Q 1 = [с/(т+ М)]1/2 в (8.5.3). После этого в соотношениях (8.5.4), (8.5.6), (8.5.7) следует положить с = 1 , так что амплитуда колебаний корпуса и амплитуда динамической нагрузки предста­ вятся в виде

£/(со, к ) = © 2[ ( © 2 — I) 2 + А2са2]-1/2,

(8.5.10)

Ж©, 1с) = иЫ, й:)(1 + А;2©2)1/2.

Поставим задачу о выборе параметра к > 0, удовлет­ воряющего при данной частоте © ограничению на ампли­ туду колебаний U(©, /с) < 4 и доставляющего минимум амплитуде нагрузки Ж©, к). Здесь А > 0 — постоянная.

Из первого выражения (8.5.10) следует, что ЕД©, к) монотонно убывает с ростом к. Непосредственным диф­ ференцированием второго выражения (8.5.10) устанав­

рать минимально возможный коэффициент к, допускае­ мый ограничением Z7(©, к )^ А . В результате получаем решение поставленной задачи об оптимальном выборе & в виде

366ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

5.Исследование системы амортизации с сухим тре­ нием. В практических задачах динамики несбалансиро­

ванного ротора амортизатор с вязким трением приво­ дит к большим значениям амплитуды нагрузки в случае больших угловых скоростей ротора; см. формулу (8.5.7). Поэтому представляется выгодным использовать аморти­ затор с сухим трением, для которого демпфер обладает

го трения, а через Р обозначена сумма всех сил, кроме силы сухого трения, приложенных к корпусу; см. (8.5.1). После подстановки функции Q, определяемой согласно

Введем безразмерные переменные t', х\ ©' по форму­ лам (8.5.3), в которых полагаем ш1= [с/(яг + Д/)]1/2, а / '=

Штрихи при безразмерных переменных опущены. Рас­ смотрим основной случай безостановочных колебаний,

когда скорость z(£) не равна тождественно нулю ни на каком конечном промежутке времени. В этом случае име­

ем д = signs согласно формуле (8.5.13).

Уравнение (8.5.14) при gr= signrr в случае устано­ вившихся безостановочных колебаний было проинтегри­ ровано в работе [271] путем «склейки» решений на двух полупериодах, отвечающих постоянному q = ± 1. Ампли­ туда, т. е. максимальное зпаченне смещения xit) на пе­ риоде, для этих негармонических колебаний равно

Ut(со, /) = [ш<(е>2 - l ) - 2- / 2<o-2tg2(ji/2ci>)]1/2. (8.5.15)

Исследования [271] показывают, что безостановочпые стационарные колебания существуют при выполне­ нии одного из двух эквивалентных неравенств:

□ (8.5.16)

Первое из неравенств (8.5.16) показывает, что для существования безостановочных колебаний данной ча­

резопанс не наблюдается. Движение с остановками су­ ществуют в довольно узкой области Z7|<1(. Способы их исследования являются весьма громоздкими [272] и здесь не рассматриваются.

системы (8.5.12) являются состояния покоя в зоне за­

В режиме покоя, при / ^ 0 2, найдем Ui = 0, R\ = ©2. По­ лученные формулы определяют амплитуды колебаний

368 ПРИКЛАДНЫ Е ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАН ИЙ [ГЛ. 8

корпуса Z71 и динамической нагрузки Ri в режимах без­ остановочных колебаний и покое.

6. Об оптимальном выборе коэффициента сухого тре­ ния. Аналогично п. 4 рассмотрим задачу об оптималь­ ном выборе коэффициента / для амортизатора с сухим трением. Потребуем, чтобы для постоянной угловой скорости © коэффициент / был выбран так, чтобы:

1) в системе имели место либо безостановочные колеба­ ния, либо режимы покоя, т. е. удовлетворялось одно из неравенств (8.5.16) или неравенство /^ ш 2; 2) удовлет­ ворялось ограничение Z7i(©, /) < А , где Л > 0 — постоян­ ная; 3) при выполнении условий 1), 2) амплитуда дина­ мической нагрузки была минимальна: ЛДю, /) ->- min.

Решение поставленной задачи построено численно и здесь не приводится. Ограничимся сравнением получен­ ных результатов с оптимальными характеристиками

амортизатора с сухим трением имеем следующий относи­

чения динамической нагрузки для оптимальных аморти­ заторов с вязким трением (см. (8.5.12)) и с сухим трением.

Проведенное исследование дает оценку сверху для минимально возможного значения амплитуды динамиче­ ской нагрузки в случае амортизатора с сухим трением. Это связано с тем, что поиск оптимального коэффициен­ та сухого трения производится среди значений, обеспе­ чивающих либо безостановочные колебания, либо ре­ жимы покоя, а более сложные движения ие рассматри­ ваются. Несмотря на это ограничение, полученные ре­ зультаты позволяют сделать вывод, что амортизатор с сухим трением при выборе параметров может обеспе­ чить хорошее качество защиты основания от динамиче­ ских нагрузок, вызванных вращением несбалансирован­ ного ротора.

ЛИТЕРАТУРА

7.А к у л е и к о Л. Д. Построение вращательных решений для невозмущепных консервативных спстем с одной степенью свободы по обратным степеням «энергии».— Вестник МГУ,

Серия фпз., астрой., 1967, № 3.

8. А к у л е н к о Л. Д. О некоторых вращательно-колебательных системах, подверженных высокочастотным возмущениям.— ЖВМ п МФ, 1968, т. 8, № 5.

9.А к у л.е и к о Л. Д. Об исследовании резопапсов в пелппейпых системах.— 11ММ, 1968, т. 32, выл. 6.

1978, т. 42, вып. 1.

4 Ф. Л. Чсрпоусьио, Л. Д. Акуленко, В. Н. Соколов

т. 161, № 1 ,

33.А р п о л ь д В. И. Дополнительные главы теории обыкновен­ ных дифференциальных уравнений,— М.: Наука, 1978,