книги / Управление колебаниями
..pdf§ 41 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е Д В У Х М А С С О В О Й С И С Т ЕМ Ы |
271 |
Поставим цель найти какое-либо решение системы (6.4.28). Заметим, что начало и конец траектории можно поменять местами, обратив дви жение. Поэтому будем искать
t2, tz в виде, обеспечиваю щем симметрию управления (6.4.27) относительно момента i =* 772
U = 272 - |
/ 2 = |
772, |
|
|
U = Т/2 + |
|
(6.4.29) |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
1 — нсизвестпая пос- |
о |
8п г |
|
тояпная. |
Подставим формулы |
|
|
|
(0.4.29) в систему |
(6.4.28). Пер- |
|
Рпс. 6.9. |
вое уравнение (6.4.28) при этом автоматически удовлетворяется, а остальные уравнения преобразованиями приводятся к виду
2g2 = ТУ4 - a, |
cos (772)12 cos | - 1 - cos (772)1 = 0, |
|||||
sin (772)[2c o s | - l - c o s (772)] = 0. |
(6.4.30) |
|||||
|
||||||
Последние два уравнения |
(6.4.30) |
удовлетворяются, |
||||
если принять |
|
|
|
|
|
|
|
%= |
arccos cos2 (274). |
|
|
(6.4.31) |
|
Подставляя (6.4.31) в первое уравнение (6.4.30), пол}-? |
||||||
чпм уравнение для Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(T)=a. |
|
|
(6.4.32) |
|
Здесь введено обозначение |
|
|
|
|
||
/(Я = |
ТУА- 2 {arccos[cos2 (774)D2. |
(6.4.33) |
||||
Можно показать, что фупкцпя /(Я |
пз |
(6.4.33) строго |
||||
возрастает от 0 до °о, когда Т изменяется от 0 до |
Сле |
|||||
довательно, при любом |
а > 0 |
уравпенпо |
(6.4.32) |
имеет |
||
едннствеппое решеппо |
7’ > 0 . |
График функции /(Я дай |
на рис. 6.9. При Т ->- 0 и Т -*■«> справедливы асимптотиче-
272 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х |
С И С Т Е М |
[Г Л . 6 |
скпе представления |
|
|
|
/(Г )= ш |
+ 0 (П (Г-*0), /( Г ) = £ |
+ 0(1) |
(Г->оо). |
|
|
|
(6.4.34) |
Соотношения (6.4.34) можно использовать для при ближенной оценки решения уравнения (6.4.32) при малых или больших а. Отметим еще следующие равенства, выте кающие из (6.4.33)
/(4я7с) = 4я2/о2, к = 1 , 2 , . . . |
(6.4.35) |
Построение управления (6.4.27) свелось к следующим операциям. Сначала для заданного а > 0 находим единст венное решение уравнения (6.4.32), для этого можно по пользовать график рис. 6.9. Далее определяем £ либо по формуле (6.4.31), либо из первого уравпеппя (6.4.30), что эквивалентно
Из соотношений (6.4.32), (6 АЗЗ) видно, что всегда Т>21а. (6.4.37)
Следовательно, величина |, определяемая равенством (6.4.36) , вещественна и неотрицательна. Искомые момен ты переключений находим по формулам (6.4.29). Из (6.4.36) следует, что | < 274, поэтому момспты переключе ний удовлетворяют неравенствам
|
0 < т |
< |
« 1 < < г < » |
з < |
т < : г - |
<м |
-38) |
|
Если |
а ~ 4я2/с2, |
к = 1 , 2 , |
..., |
то |
вследствие |
равенств |
||
(6.4.35) |
уравнение (6.4.32) пмест решение Т = 4л/о. В этом |
|||||||
случае соотношения (6.4.36), (6.4.29) дают |
|
|
||||||
а = 4я2/с2, |
Т = 4я/о, |
£ = 0, |
Т = 2 i 'и, |
|
||||
|
t\= h = |
t3= 272, |
/с = |
1 , 2 , . . . |
(6.4.39) |
|||
|
|
|
||||||
Режим (6.4.27) с |
тремя |
переключениями |
в |
случае |
||||
(6.4.39) |
переходит в оптимальный режим (6.4.15), |
(6.4.19) |
||||||
с одним переключением. |
|
|
|
|
|
Итак, построено управлеппе (6.4.27), переводящее си стему (6.4.10) из начального состояния в конечное (6.4.11)
§ 4] ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ 273
при любых а > 0. Для доказательства его оптимальности, как и в п. 3, укажем соответствующий пепулевой вектор сопряженных переменных. При этом исключим значения а, указанные в (6.4.39), так как для пих оптимальность
управления уже |
доказана в п. 3. Для а ^ 4 я 2/с2, как не |
|||
трудно видеть лз (6.4.32), (6.4.33), (6.4.36), имеем |
|
|||
Т > 2 а1'2, |
%> 0, |
а Ф 4л2/с2, к = |
1 , 2 , ... |
(6.4.40) |
Рассмотрим при условиях (6.4.40) сопряженные псрс- |
||||
мстптыо |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.41) |
Функции (6.4.4!) удовлетворяют системе (6.4.13), а со |
||||
ответствующее пм управление (6.4.14) равно |
|
|||
u[t) = sign [ т * |
( т - * ) - Ц |
т - ‘)]- |
<6-4-42> |
Нетрудно проверить, что управление (6.4.42) испыты вает переключения в моменты (6.4.29) и совпадает с (6.4.27). Условие Н(Т) > 0 также выполнено.
Итак, построепиое управление (6.4.27) удовлетворяет прттпципу максимума для рассматриваемой линейной за дачи быстродействия, Условие общности положения п принадлежности нуля внутренней части области ограниче ний Ы < 1 здесь также выполнены (см. п. 2 ).
Следовательно, управление (6.4.27), определяемое соот ношениями (6.4.29), (6.4.32), (6.4.33), (6.4.36), оптимально при всех а > 0. Это едипствеппое оптимальное управление есть решение задачи 5.
Обозначим через Т*(а) мпппмальпое время перемеще ния системы (6.4.10) пз лачальпого состояния (6.4.11) в состояние х{1') = a, v(T) = 0. Здесь гашепля колебаний, т. е. равепств ф — а =0 при t = Т, пе требуется. Отималь-
пое |
время быстродействия Т*(а) соответствует примеру |
1 пз |
Г176], который описывается первыми двумя уравне |
ниями (6.4.10), и равно Т*(а) = 2я,/2. Теперь неравенство (6.4.37) приобретает паглядпьтй смысл Т>Т*, т. е. время перемещения с условием гашеппя колебаний не меньше, чем время перемещения без этого условия. С'другой сто-
18 ф. я. Чсрноусько, Я. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов
274 |
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ |
СИСТЕМ |
[ГЛ. в |
роны, имеет место неравенство Т < Т i, |
где 1\Ы) — зави |
симость (6.4.26) времени от пути для квазиоптимальпого режима с одним переключением. В обоих леравепствах Г* < JT < Т\ достигается равенство при значениях а из (6.4.39), п только при них. На рис. 6.10 сплошпой и пунк тирной кривой соответст венно показаны отпошепия Т/Т* н 7УГ* в зави симости от а. Вторая завпсимость является раз рывной функцией а. Прп
|
больших а оба отношения |
|||
|
приближаются к |
единице. |
||
|
6 . |
|
Управ |
|
|
нейными |
колебаниями. |
||
|
Откажемся |
от |
условия |
|
|
малости угла ср и рассмот |
|||
р и ею |
рим |
пелипойпую |
систему |
|
|
(6.4.1). Будем искать уп |
|||
равление с одной точкой переключения, |
расположенной |
|||
в середине интервала |
|
|
|
|
F M = F *f |
i s (0,772), |
0 < F * < F 0, |
(6.4.43) |
|
F(t) = -F *, |
te(T/2,T). |
|
|
|
|
|
|
Здесь F*— неизвестная постоянная, подлежащая опре делению, Т — время процесса. Управление (6.4.43) удов-', летворяет ограничению (6.4.3) и должно переводить си стему (6.4.1) из пачальпого состояния (6.4.4) в конечное (6.4.5).
Потребуем, чтобы движение обладало свойством C H M -'I мстрии относительно точки t = 772, точнее, чтобы коорди наты (х — а/2 ), ср были печетными, а скорости — v, со — четными функциями от t — 772. Указанные свойства чет ности допускаются уравнениями (6.4.1) (прп печетпом уп равлении (6.4.43)) и граничными условиями (6.4.4), (6.4.5).^ Вместо условий в конце движения (6.4.5) достаточно по требовать равенств
«(772) = а/2 , <р(772) = 0 . |
(6.4.44) |
Тогда движепие, построенное на интервале (0, Т/2) при граничных условиях (6.4.2), (6.4.44), будет продолже но указанным симметричным образом на интервал (772, Т).
<> 41 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е Д В У Х М Л С С О Б О Й С И С Т ЕМ Ы |
275 |
Проинтегрируем систему (6.4.1) при постоянном управ лении F. Интегрируя дважды уравнение двпжепия цент ра масс, получим
(М + т)v — тЬ(й cos ср = F*t + С\,
(6.4.45)
Ш + т)х — mb sin ср = F*tV2 + Сit + С2.
Здесь С1, Со — постоянные интегрирования.
Полная механическая энергия системы (6.4.1) равна
Е = v + -----mbvсо cos ср — mgL cos ср. (6.4.46)
Изменение энергии (6.4.46) равно работе постоянной силы F*. Поэтому имеем интеграл (Са— постоянная)
(М + то) v /©-----mLm cos ср — mgL cos ф — F^x = C3.
(6.4.47)
В сохранении интеграла (6.4.47) можно убедиться и непосредственно, умножая первые два уравнения (6.4.1) на v, со соответственно и складывая их. Выразим перемен ные v, х при помощи равенств (6.4.45) и подставим их в (6.4.47). После упрощений получим
М т 2 cpj ср2 — mgL cos ф ■ mLFg sin<p -1- M+ m
C\ -2F*C2=ca. (6.4.48) 2{M + m)
Уравнение (6.4.48) сводится к квадратуре. Определим произвольные постоянные, подставляя на
чальные данпые (6.4.4) в интегралы (6.4.45), (6.4.48)
С\ — С2 — 0, Сз,— — mgL.
После этого интегралы (6.4.45) примут вид
Ш -Ьm)v — mLd) cos ф= F* t,
(6.4.49)
Ш+ m)x — mLsin cp — F# tV2,
аинтеграл (6.4.48) даст
mLF,„sin <p
M-i-m — mgL (1 — cos ф). (6.4.50)
18*
2 % |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
[Г Л . О |
Для определения двух неизвестных постоянных F%, Т закона управления (6.4.43) имеем два условия (6.4.44). Подставляя их в (6.4.49), получим соотношение
(M+ m)a = F*T2/4. |
(6.4.51) |
Для получения второго соотношеппя проанализируем уравнение (6.4.50). Его левая часть неотрицательна, так как I > mb2, а его правая часть
2шХ sin ■§• |
cos i - g sin -f-) |
положительна па интервале (0 , ср*), где
Ф« = 2 arctg |
(6.4.52) |
Следовательно, угол ср, изменяющийся согласно урав нению (6.4.50), испытывает колебания в пределах 0 < ^ ф < ср* Условие (6.4.44) для ср означает, что Т/ 2 равно целому числу п периодов колебаний, т. е.
Т_ = 2^п Т |
[I - mzL2 (М-|- щ) - 1 cos2 cpl1/adtp |
|
|
2 |
mL J |
щ _| W)-i sin ср— g (1 — cos ф)]1/2 * |
|
|
|
n = l , 2 t .. . |
(6.4.53) |
Исключая T при помощи равенства (6.4.51) |
|
||
|
|
Т = 2 [{М + m) aF; 1 ] 1/2 |
(6.4.54) |
иподставляя ого в (6.4.53), получим
^Ш + т) a j 1/a _
т* |
(М+ m)-*1 cos2 ф]17Уф |
_ . „ |
_ |
||
mb.) [7^ (7J/ |
mp i sin ф _ g ^ _ cos ф)]1/а ’ |
11 ~~ ’ А' " |
|
|
(6.4.55) |
Итак, расчет искомого режима (6.4.43) сведен к решеипю относительно /'’* трансцендентного уравнения (6 .4 .5 5 ), в котором ср* дано формулой (6.4.52). Решение F* долншо лежать в интервале 10, FQ\. Большим F* отвечает соглас но (6.4.54) мепьшее время Т. Следовательно, натуральное
$ 41 перемещение двухмассоеой системы 277
п следует выбрать таким, чтобы соответствующий корень /'’ * уравнения (6.4.55) лежал в (0, Fo\ и был максимален. Интеграл (6.4.55) может быть упрощен в предельных слу чаях малых и больших отношений т/М.
Рассмотрим вопрос о возможности схода со связи для режима (6.4.43) в случае точечной массы т, подвешенной на иорастяжпмой нити. Воспользуемся для этого форму лой (6.4.8).
|
В силу симметрии движения достаточно рассмотреть |
||||||||
интервал |
£е[0, 2Y2I, па котором |
F = F#1 ере [0, |
ф*|. |
||||||
В силу равенства (6.4.52) имеем |
0 < ф < я. Рассмотрим |
||||||||
•сначала те моменты времени, |
где 0 ^ ф < я/2. Здесь пз |
||||||||
формулы (6.4.8) сразу получим R > 0. |
лишь |
при |
|||||||
|
Пусть |
теперь |
я / 2 < ф < я , |
что |
возможно |
||||
Ф *> я/2. На этом интервале |
sin ф |
и cos ф |
убывают, н |
||||||
справедливы следующие оценки для (6.4.8) |
|
|
|||||||
д |
т{Р* sin ф + mgcosф) |
т(Р*sin ср» + mgcosф») |
_ |
||||||
|
|
М -f- т |
|
|
|
М+ т |
|
|
|
|
|
|
__ 2mF* tg (ф^/2) + m2g[1 — tg2 (у»/2)1 |
||||||
|
|
|
|
|
(Л/ -f- т) [1 + tg2 (ф*/2)] |
|
|||
|
Подставляя ф* |
из (6.4.52), получим |
|
|
|||||
|
D ^ |
2/и. (М+ |
т) gF\ + т г (М+ |
m)2 g3 - |
^ Л |
|
|||
|
^ |
|
(Л/ + |
т) 3 g |
|
|
> |
|
Итак, R > 0, и сход со связи при данном способе дви жения никогда не происходит.
Покажем, что построенные режимы управления, опре деляемые соотношениями (6.4.43), (6.4.52), (6.4.54), (6.4.55), олтимальпы (являются решением задачи 4) прп некоторых зпачениях параметров задачи. Пусть уравне ние (6 .4 .5 5 ) при некотором натуральном п имеет решепис F.^ = F0, т. е. параметры задачи, таковы, что прп некото
ром п выполняется равенство
Г(М -I- т)а11/2 _
L |
2^ |
J “ |
|
|
Фо |
[I — m*L(М+ ffl)-1 cos2 ф]1/2 eftp |
|
___ К_ Г |
= Ij 2, . .. |
||
~ |
mL ,) |
n |
|
(Л/ - f ю )"1 sin ф — g ( L — cos ф)j 1/z ' |
|
Фо = 2 arctff F0(M + |
^ ) _ 1 g~l. |
(6.4.56) |
|
278 |
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ НОЛЕВАТЕЛЬЙЫХ СИСТЕМ |
1ГЛ. в |
В этом случае управление все время лежит па ограни |
||
чении, а время движения (6.4.54). равно |
|
|
|
r=.2[(Af + i»)ftFJ1]lft. |
(6.4.57) |
Для доказательства оптимальности первое уравнение |
||
(6.4.1) |
представим в виде |
|
|
q = F7 q = Ш + т)х — mb sin <р, |
(6.4.58) |
где q характеризует положение центра масс системы. Из краевых условий (6.4.4), (6.4.5) вытекает, что
g(0) = g(0) = 0, q(T) = m + m ) a , i ( T ) = 0. (6.4.59)
Рассмотрим задачу о наискорейшем перемещении цент ра масс системы (6.4.58) при условиях (6.4.59) и ограни чении (6.4.3). Решение этой линейной задачи быстродей ствия, как отмечалось в п. 5, дается управлением (6.4.43) при F = FQ. Время быстродействия равно (6.4.57).
В поставленной задаче о паискорейшем перемещении с гашением колебаний (6.4.1), (6.4.3) — (6.4.5) требуется, помимо условий (6.4.59), удовлетворить еще условиям на Ф, со. Поэтому время быстродействия в исходной задаче но меньше (6.4.57). Это доказывает оптимальность режима (6.4.43) с одним переключением, а с F *=F 0 для тех слу чаев, когда выполнено условие (6.4.56). Условие (6.4.56) выделяет счетное число значений расстояния а, пропор циональных п2.
Построенные здесь режимы являются непосредствен ным обобщением решений пп. 3, 4 и переходят в них в в случае малых колебаний.
Г Л А В А Т
ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Вэтой главе рассмотрены режимы, сообщающие колебательпой системе заданную скорость с гашением ко лебаний относительно положения равновесия. Такие ре жимы будем пазывать режимами разгона. Будут рас смотрены также режимы торможения, гасящие колеба ния системы, с одновременной, ее остановкой.
В§ 1 дана постановка задач разгона и “уорможенпя. Показано, что задача торможения заменой переменных сводится к задаче разгона. В § 2 исследованы задачи разгона при ограничениях, наложенных либо на ско рость, либо на ускорение положения равновесия. В § 3 рассмотрена задача разгона при совместных ограниче
ниях па скорость и ускорение положения равновесия. В § 4 приводится решение задачи о разгоне маятника переменной длины. Изложение этой главы опирается па результаты работ [199, 197, 141, 140, 92].
§1. Задачи папскорсйшего разгона
сгашением колебаний1
1.Постановка задач. Рассматриваемая колебательная система представляет собой маятник, точка подвеса ко
торого может перемещаться вдоль горизонтальной оси х. Эта система (рис. 6 .1 ) описана в и. 1 § 1 главы 6 , и ее уравнения в безразмерных переменных имеют вид (6.1.5), а именно .
Ар = £0 , 0 = — ф + U>, X = V, V — W. |
( 7 . 1 . 1 ) |
Построенные в главе 6 оптимальные п квазиоптпмальпые способы управления колебательной системой (7.1.1) обеспечивали ее перемещение па заданное расстояние а с гашением колебаний. При этом законы управления зависели от а и в процессе движения система соверша-
280 |
РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ |
[ГЛ. 7 |
ла колебания. Рассматриваемые в данной главе режимы разгона (торможения) переводят систему из покоя в состояние поступательного движения без колебаний (и обратно). Эти режимы особеппо удобны с практической точки зрения, так как их применение позволяет разбить перемещение колебательной системы па три этапа: раз гон — движение без колебаний — торможение. Управле ние па этапе разгона и торможения определяется только параметрами системы п не зависит от расстояпия, па ко торое требуется переместить систему. Движение без ко лебаний па среднем участке дает возможность сочетать этот впд движения с другими, например, с измененном длины подвеса. Это позволяет, в частпостн, сравнитель но просто перемещать маятник в вертикальной плоскости на заданное расстояние и высоту с гашением его колеба нии. -
Предполагается, что па скорость vit) н ускорение wit) наложены ограппчопия вида (а, р, Ъ— заданные константы)
|
а ) - а < у < р , а > 0 , Р > 0 ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
б) - Ь < н ;< 1 , |
Ь > |
0. |
(7.1.2) |
. |
Будет |
рассмотрен |
также случай, когда |
ограничение |
|||
на |
ускорение зависит |
от |
знака скорости точки |
подвеса |
|||
|
— |
(у > |
0), |
— K w < :b |
iv < |
0), |
(7.1.3) |
-р < v < р.
Вчастности, одно из двух ограничений (7.1.2) может отсутствовать.
На рис. 7.1, а, б изображены области допустимых значений управления wit) и скорости подвеса vit) для ограничений (7.1.2), (7.1.3) соответственно. Отметим, что одна из постоянных в ограничениях (7.1.2), (7.1.3) При пяти равной едипице, что уменьшает число независимых параметров и не ограничивает общности, так как эта пос тоянная может быть принята в качестве масштаба при введении безразмерных перемеппых. А лмеппо, в соот ношениях (6.1.4) пужпо Припять vo = w0T0, где w0 — мак симальное ускорение в положительном направлении осп
хв случае (7 .1г,2 ), или в направлении текущей скорости
v— в случае (7.1.3),