книги / Управление колебаниями

систему из состояния покоя при i = 0 в состояние дви­ жения со скоростью 1> без колебаний. Краевые условия имеют вид

ф(0) = ф(0) = у(0), <р(Т) = ф(Г) = 0, и(Т) = v0. (7.4.3)

В задаче торможения начальный и конечный момен­ ты времени О, Т в (7.4.3) следует поменять местами.

Введем параметр и и безразмерные переменные

и сделаем замену (7.4.4) в соотношениях (7.4.1)—(7.4.3). Опуская штрихи, получим для задачи разгона

(1 ± цОф ± 2шр + ф = v, 0 ^ у < 1,

(7.4.5)

Ф(0) = <р(0) = и(0) = ф (Г) = ф (Я = 0, v(T) = 1.

Взадаче торможения нужно поменять местами 0 и Г

вкраевых условиях (7.4.5).

Ниже будут построены режимы разгона и торможе­ ния в случаях подъема и опускания груза. Оптимальность этих режимов не проверяется, однако построенные режи­ мы обладают минимально возможным числом точек пере­ ключения п переходят в оптимальные по быстродействию (Т min) в случае маятника постоянной длины (и = 0).

2. Построение режимов разгона и торможения. Опти­ мальный разгон маятника постоянной длины (и = 0) с

Здесь £* — постоянная. Спачала построим разгон при опускании груза (знак «+» в (7.4.5)). Уравнение (7.4.5) питегрпруется в бесселевых функциях на интервалах [0, tif) п О*, 74. Сопрягая эти решения в точке t — t^u удовлетворял граничным условиям (7.4.5) с учетом соот­ ношений (7.4.0), получим всего шесть условий для четы­

рех постоянных интегрирования (на двух интервалах) и для двух параметров **, Т. После преобразований эти ус­ ловия приводятся к системе двух трансцендентных урав­ нений относительно параметров р, q

• U M N ^ p )- ЛГ,(гШу>Шд) + В Д Л М =

-н— ф. Уравнение и ограничения при этом не изменятся, а краевые условия (7.4.5), соответствующие разгону, пе­ рейдут в краевые условия для торможения. Поэтому ре­ жим торможения получим из (7.4.6), если поменять мес­

/Зависимости t* Ы) и ТЫ) — те же, что и в задаче раз­ гона (см. рис. 7.14),

Обратимся к построению разгона и торможения маят­ ника в случае подъема груза (знак «—» в (7.4.5)). Вы­ полним в уравнении (7.4.5) лилейную замену перемен­ ных t== — Aiti + А2, ср — ^43ф1, v = 1 — и\. Подберем по­ стоянные Ait А2, А3 так, чтобы уравнение (7.4.5) со зна­ ком «—» в исходных переменных перешло в уравнение (7.4:5) со знаком «+» в новых переменных ti%qpi, v\. Ока­ зывается, что этого можно добиться, если замену пере­ менных осуществить по формулам

Здесь и — заданное значение параметра (7.4.4), щ — соответствующий параметр уравнения (7.4.5) со знаком «+» после преобразования (7.4.10).

Чтобы граничные условия (7.4.5) не нарушались при замене (7.4.10), потребуем взаимного соответствия момен­ тов времени

t = 0 ^ t 1= Т(щ), t = Г (и) «=> = 0. (7.4.11)

Здесь Т(щ) — время разгона при опускании груза для параметра щ (рис. 7.14), а Т'(и) — искомое время раз­ гона при подъеме груза для параметра и. Из соотноше­ ний (7.4.10), (7.4.11) получим условия

Первое равенство (7.4.12) служит для определения параметра щ по заданному и. Па рис. 7.14 построен гра­ фик Q(u) (кривая 4). Эта зависимость монотонна, поэтому уравнение Q{u\) = и в (7.4.12) определяет единственное щ > 0.

Второе соотношение (7.4.12) выражает время разгона Т'(и) при подъеме груза. Таким образом, расчет режима разгона сведен к рассчитанному выше разгону при опус­ кании груза, задаваемому формулами (7.4.6) — (7.4.8) и кривыми рис. 7.14. При этом по заданпому и нужно оп­ ределить щ. Пересчет осуществляется по формулам (7.4.10) — (7.4.12) и рис. 7.14. Торможение при подъеме груза рассчитывается аналогично режиму торможения (7.4.9) -при опускании груза.

Вданной главе рассмотрен ряд прикладных задач управления и оптимизации для механических колебатель­ ных систем.

В§§ 1—3 исследуются управляемые колебательные

системы маятникового типа; этот материал по своему содержанию примыкает к главам 6, 7. В § 1 построены способы перемещения маятника с переменной длиной подвеса в вертикальной плоскости. В качестве составных элементов движения используются оптимальные и квазиоптимальные режимы перемещения, найденные в гла­ ве 6, и режимы разгона и торможения из главы 7. По­ строенные способы управления позволяют путем совме­ щения вертикального и горизонтального движений пере­ местить качающийся груз из одного состояния покоя в другое. § 2 посвящен вопросам управления грузоподъем­ ными машинами. Здесь обсуждаются механические мо­ дели таких машин и постановки задач оптимального управления. Отмечено, что реяшмы, построенные в гла­ вах 6, 7 и в § 1 главы 8, могут быть использованы для автоматизации управления грузоподъемных машин с целью сокращения времени их рабочего цикла. Помимо задач быстродействия, представляют интерес также за­ дачи минимизации энергетических потерь в электродви­ гателе. Дано решение таких задач в случае перемещения н разгона груза. В § 3 исследуются некоторые вопросы уп­ равления системой нескольких маятников путем переме­

щения тела, несущего их точки подвеса.

§§ 4—5 посвящены задачам оптимальной амортиза­ ции колебательных систем. В § 4 приведен краткий об8ор проблем оптимального выбора параметров амортиза­ ционных систем и дано решение некоторых характерных задач этого класса в случае ударных воздействий. В § 5 исследуется задача оптимальной амортизации роторной системы в процессе ее раскрутки. В отличие от § 4, на-

раметры системы (жесткость амортизации) могут изме­ няться в процессе движения. Указаны оптимальные за­ коны изменения параметров, позволяющие снизить неже­ лательные резонансные эффекты.

Отмстим, что много задач управления колебательны­ ми системами возникает в области динампки и управле­ ния роботами и манипуляторами. Эта проблематика, пред­ ставляющая собой быстро развивающуюся самостоятель­ ную сферу исследований, в дайной кпиге пе затрагивается (см., например, [161—163, 178, 41, 42, 61, 127, 1281).

§1. Перемещение маятника переменной длины

ввертикальной плоскости

1.Постановка задачи. Рассмотрим задачу о перемеще­ нии маятника переменной длины в вертикальной плоскос­

ти из одного состояния покоя в другое. Эта задача важна

всвязи с управлением грузоподъемными машинами типа мостовых шш козловых крапов и перегружателей. Изложе­ ние следует работе [141].

Математический маятник (рис. 6.1) может перемещать­ ся вдоль горизонтальной оси х со скоростью vit), а его длина Lit) — изменяться со скоростью uit).

Требуется переместить маятник на заданное расстоя­ ние и высоту из состояния покоя в состояние покоя. Го­ ризонтальное перемещение должно равняться а, а началь­ ная и конечная длины подвеса равны соответственно L0 и L\. Граничные условия в обозначениях глав 6, 7 запишутся

ввиде

я(0) = у(0) = ф(0) = ф(0) = 0, L(0) = Lo,

(8. 1 . 1 )

xiT) = a, viT) = ф(Я = ср(Г) = О, LiT) = Ь\.

Без ограничения общности будем считать, что маятник опускается: L\ ^ Lo. В противном случае можно обратить время и поменять местами начальную и конечную точки. Кроме того, за счет выбора направления оси х можно счи-, тать, что а > 0. На управляющие функции uit) и vit) на­ ложены ограничения

где u0и Vo— заданные постоянные.

Задача состоит в отыскании управляющих функции и и v, удовлетворяющих ограничениям (8.1.2) и реализую­ щих для' рассматриваемой системы граничные условия (8.1.1). Длительность процесса Т должна быть равна или близка к времени оптимального быстродействия. Постав­ ленная задача практически важна в связи с управлением грузоподъемными машинами.

Введем безразмерные константы d, А, с и перейдем к безразмерным (штрихованным) переменным х , cp', L

и', v' по формулам

ствия очевидно: маятник пмеет нулевую длину и переме­ щается с максимальной скоростью Vo вдоль оси х.

В переменных (8.3.1) (далее штрихи всюду опущены) уравнения движения в случае малых колебаний и соотно­

Соотношения (8.1.4) содержат три постоянных пара­ метра d, Л, с, которые связаны с исходными константами формулами (8.1.3).

Точное аналитическое решение задачи оптимального быстродействия (Т -*• min) представляет значительные трудности в силу нелинейности системы уравнений (8.1.4) и ее сравнительно высокой размерности. Реализация на практике законов управления, которые могут быть рассчи­ таны на ЭВМ, также будет представлять известные труд-

< 1. Здесь скорость u(t)' может быть произвольной функ­ цией (0 < и < с).

Е.Оптимальное по быстродействию перемещение груза

тоянства скорости и имеет вид (см. формулы (6.2.11), (6.2.31), (6.2.32), где надо положить и = 1, Y = 0)

В частном случае, когда Ь/(2л) — целое число, ско­ рость точки подвеса в задаче оптимального быстродей­ ствия постоянна и вместо формул (8.1.7) — (8.1.9) имеем

§ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ МАЯТНИКА В ПЛОСКОСТИ 319

мального том, что содержит три участка постоянства ско­ рости. Оно задается соотношениями

Из перечисленных движении можно построить три простых способа управления, решающих поставленную задачу о перемещении груза, а именно движения: АЕА, AFA, ABDCA.

Режимы АЕА и AFA содержит один свободный па­ раметр — длину L па участках Е и F соответственно. В режиме ABDCA имеются два свободные параметра — по­ стоянные длины Li и Ь2 при движепиях В, С. Эти пара­ метры естественно выбрать так, чтобы минимизировать суммарное время перемещения.

3. Построение управления в виде оптимального соче­ тания исходных режимов. При реализации режима АЕА суммарное время перемещения Т\ согласно соотношениям (8.1.4), (8.1.0) задастся формулой Т\ = (1 — h)/c + ТЕШ. Параметр L найдем из условия minTi по L при ограниче­ нии h ^ L < 1.

Первое слагаемое в формуле для Т\ не зависит от L, поэтому достаточно пайтн минимум ТЕиз (8.1.9). ПреОбразуем ТЕк виду Те = сЩЬ), где использованы обозначения (8.1.3), (8.1.7) и

320 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБЛИИЙ [Г Л . 8

Функция ф*(6) из (8.1.12) задаст время оптимального быстродействия как функцию расстояния. Эта функция изу­ чена в § 2 главы 6 (где она обозначена через ТЫ)). Функ­ ция ф*(&) строго возрастает, и справедливы соотношения

ФУ

W

IJr

1,0

Рис. 8.1.

d^b^d/YIn вытекает, что при d < 2яУАимеем Ъ< 2л, и

Если же d> 2nYh, то оптимальное управление v(t) мо­ жет содержать один либо более трех участков постоянства скорости. Если при некотором i > 1 выполняется включе­ ние d/j/H], то на отрезке [d, d/Yh\ имеется хотя бы одна точка Ь<, где достигается абсолютный минимум функ­ ции ф(Ь), равный ф(Ь<) = 1 (см. рис. 8.1). В качестве оптимального значения Ъ здесь следует выбрать любое