книги / Управление колебаниями
..pdf§ 31 |
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
461 |
рейдируя (3.1.37) полным образом по р, получим вместо (3.1.40)
у,(Р) = ( i f |,= е . |
Ie(p ) = I ( 0 - |
9 - V <Л Р)- |
|
|
(3.3.8) |
Здесь через |е(р) обозначена сложная функция от р, получающаяся из (3.1.33) при подстановке т = 0, где 0 == = 0(р), см. (3.3.8). Подставим в формулу (3.3.8) функ цию dg/d\ из краевого условия (3.1.31)
(I, i o . |
#е\ |
‘*№,А#)рив |
— |
Ле> 4Р / “ |
dp |
(3.3.9)
Здесь Tie определено аналогично |в в (3.3.8). Так как для всех р имеем М — 0 при т = 0(р), то первое слагае мое в (3.3.9) обращается в нуль. Преобразуя второе сла гаемое, получим
/;<р>— fa, ■ £ L e ' w - f a . - § L - <3-3-10>
Здесь и далее через д\/др обозначается производная по р от функции (3.1.33), в которую подставлена зависи мость 0(р). Вместо d\/dx в формулу (3.3.10) подставим правую часть соответствующего уравнения (3.1.31), а вто рое слагаемое в (3.3.10) представим в виде интеграла. Получим
/ ; < » — (ле, < /;> & , 49» © '( Р ) -
|
Р |
л -“ > |
|
т0 |
|
Первое слагаемое формулы (3.3.11) преобразуем при |
||
помощи |
интеграла (3.1.32), взятого при т = 0, |
h = 0. |
Второе |
слагаемое равно пулю, так как £ = а0 при т = то |
для всех р. Под интеграл в третье слагаемое формулы (3.3.11) подставим производную от т) в силу системы
11 Ф. Л. Чериоусько, Л. Д. Акуленко. Б. Н, Соколов
162 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
|
[ГЛ. 3 |
||||||
(3.1.31). |
В |
результате формула |
(3.3.11) примет |
вид |
|||||
^ ( Р ) = |
Р » 6(в ) е #(Р) + |
|
|
|
|
|
|||
- ! [ ( * - £ |
+ т < 4 ' < / :> )' I |
) - ( ч Л у # ) ] * • • ’ <3 'З Л 2 > |
|||||||
Дифференцируя по параметру р уравнение (3.1.31) |
|||||||||
для получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
д% |
аОоУ |
a(fo) |
дг\ |
(3.3.13) |
||
|
|
dx |
д$ ~~ |
дЪ |
+ |
дт\ |
I f |
||
|
|
|
|
||||||
Подставим (3.3.13) в (3.3.12) и воспользуемся тож |
|||||||||
деством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(’Ь<,,>) = |
</.> |
|
(3.3.14) |
Напомним, что тождество (3.3.14) вытекает из (2.2.7)
и определения (3.1.28) функции </о>, или же из кано ничности усредненной системы (3.1.31). Из соотношений (3.3.12)—(3.3.14) получим
А(Р )= Р"> ( & ) в ' (Р) + Р J |
- § ) л = |
ч ' |
' |
ч |
в = в(р). (3.3.15) |
|
Окончательный вид производной J0(Р) совпал со слу чаем фиксированного 0 (см. (3.1.41) и (3.3.15)). Поэто му дальнейшие выводы п. 6 § 1 сохраняют свою силу. Значение р = 0 является точкой возможного экстремума
функции / 0(р). |
Если вторая производная |
Jo (Р) сущест |
вует, то точка |
Р = 0 будет локального |
минимума, если |
выполнено условие (3.1.42). Условия глобального мини мума функции /о(р) можно представить в виде (3.1.44) или (3.1.45).
Процедура построения приближенного решения зада чи оптимального управления остается той же, что и в слу чае закрепленного времени (см. п. 7 § 1). Отличие бу
§ 3] НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 163
дет состоять в том, что усредненная краевая задача (3.1.31) решается при нефиксированном 0, после чего
устанавливается |
связь |
0 = 0({J) при |
помощи интеграла |
|
(3.1.32) |
, где |
h —0. |
Оптимальное |
управление строится |
также |
аналогично п. 7 |
§ 1 и может |
быть представлепо |
в виде функции различных наборов аргументов. Отме тим, что управление в форме синтеза оказывается зави сящим лишь от а, ф и не зависит от т, что является следствием того, что система автономна, а время оконча
ния процесса Т пефпкенровапо. |
|
лзложенпой методики |
|||
4. |
Пример. Для |
иллюстрации |
|||
рассмотрим задачу управления быстрыми вращениями |
|||||
системы типа маятника (см. (3.1.12)) |
|
|
|||
У = еи + е/(у), |
у (0) = у0, у (0) = у0 > |
0, |
|||
|
М < о о , |
у(Г) = |
у * > 0 , |
(3.3.16) |
|
|
т |
|
|
|
|
J = |
гк'Т + е f u2dt ->■min, |
/с = |
const > |
0. |
|
|
о |
* |
|
|
|
Здесь б > 0 — малый параметр, Т—нефиксированный момопт окончания процесса, / — 2л-периодическая функ ция от I/ с нулевым средним. Скалярная переменная у является быстро вращающейся фазой, а медленная пере
менная у — частотой. Введением дополнительной цикли ческой переменной функционал (3.3.16) приводится к ви ду (3.1.15). Из условия максимума гамильтониана (3.1.17) находим, что и* = V2p, где р — скалярная пере
менная, сопряженная у. Усредненная краевая задача (3.1.31) в данном случае имеет вид
|
_ |
Ч, |
|
|
Ч |
ч! |
|
“ЗГ — |
|
|
|
L, ’ |
|
||
dx |
= |
г |
S |
. = |
о. |
т = е*. |
<3-3-17) |
|
ах |
|
|
|
|||
Ш = |
|
is (0) = |
0, |
h (в) « у * . |
|
1l2(0) = - l , 0 = вТ.
Здесь медленная переменная |i отвечает у, |
функ |
ционалу (3.3.16), а Ць Цг — соответствующие |
сопряжен |
ные переменные. |
|
И *
164 УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. 3
Запишем решение (3.1.33) краевой задачи (3.3.17) для
1ь Ль Ла |1 = -(Р /4 )(т -0 )8-
- (т - 0)в |
(Д + ре'Л) + У*, |
А = У°-У*, |
(3.3.18) |
|||||
т)1- - Р |
( т - 0 |
) - 2 0 |
- , (Д + |
Р в 7 4 ) . |
|
|
||
Первый интеграл (3.1.32) |
при |
1ъ = |
0 дает |
связь меж |
||||
ду переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К1 + у ч |
! - * |
= 0. |
|
|
(3.3.19) |
|
Подставляя в |
(3.3.19) |
решение |
(3.3.18) |
и |
полагая |
|||
т = 0, получим связь между параметрами 0 |
и |
£ в виде |
||||||
|
Ру* + 0~2(Д + V4p02)2 - |
к = 0. |
|
(3.3.20) |
Для вычисления /о(р) = |а(0(р)) воспользуемся соот ношениями (3.3.17), (3.3.18). В результате интегрирова ния получим
/о(р) = 2/с0 - (р2/24)0® - (р/2)0Д - ру*0, (3.3.21)
где зависимость 0(р) дана формулой (3.3.20). Путем диф ференцирования этой неявной функции вычислим про изводные
0' (0) = \0(0) к-1(у , + ± д), кв*(0) = Л2,
/„ (0) = 240' (0) - 0 (0) (у, + 1 Д) = 0. |
(3-3,22) |
Как и следовало ожидать (см. (3.3.15)), точка р = 0 является стационарной точкой функции /о(р). Вычисляя вторую производную (3.1.42) при помощи равенств ю = = |ь (3.3.18), (3.3.22), получим
j"„ (0) = 0s (0)/24 + 0 (0) ( у* + 4 bj/zh > 0.
Таким образом, значепие р = 0 соответствует локаль ному минимуму функционала. Подставляя Р — 0 в (3.3.18), (3.3.21), а также в формулу tt**=V2Ль получим искомое приближенное решение |i для медленной
§4] |
У П Р А В Л Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я М И |
М А Я Т Н И К А |
165 |
||
фазовой переменной у, уравнения и функционала |
|
||||
|
!i = у0 + т7с,/2 sign (— Л), |
A = |
|
||
|
0(0) = |
|Д|7с-1/2, и* = |
kU2sign (— Д), |
(3.3.23) |
|
|
/о |
= 2 1Д |/с1/г = |
27с0 (0). |
|
Здесь 0(0) определено формулой (3.3.22). Управление (3.3.23) можно представить в форме синтеза, а именно
u* = kU2sign (у*-у).
Отметим, что вклад каждого из членов (3.3.16) в функ ционал, как следует из (3.3.23), в первом приближении одинаков и равен IДIА:1/2.
В следующих §§ 4, 5 на основе развитой в §§ 1—3 методики исследуются задачи управления колебаниями и вращениями нелинейных систем с одной и двумя сте пенями свободы.
§ 4. Оптнмальпое управление колебаниями
пвращениями маятника1
1.Постановка задачи. В качестве примера применения метода усреднения с ограничением на управление рас смотрим движения маятника под действием ограниченно го по модулю управляющего момента. Выберем единицу
времени так, чтобы период малых колебаний маятника был равен 2я. Тогда уравнение движепия примет вид
<p + sincp = |
eH, Ы < 1 , |
0 < £ < 2 \ |
(3.4.1) |
Здесь <р — угол |
отклонения |
маятника |
от нижнего |
устойчивого положения равновесия, е > 0 — малый пара метр. Требуется пайти управление и, минимизирующее полную энергию маятника в заданный конечный момент
времени Т = 0е-1. |
|
введем полную |
|
В качестве медленной переменной |
|||
энергию маятника |
|
|
|
а = 1/2ф2— (1 + созф), |
—2. |
(3.4.2) |
|
Здесь за начало отсчета энергии принято верхнее по |
|||
ложение равновесия .маятника |
ф = я, |
так |
что при |
У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х |
1ГЛ . 3 |
— 2 < а < 0 маятник совершает колебания, а при я > 0 — вращения. Дифференцируя (3.4.2) в силу (3.4.1), получим
уравнение |
(см. |
(3.1.9)) |
|
|
|
||
|
|
а = |
щи, |
я(£о) = а°, |
— 2 < а0< °°, |
(3.4.3) |
|
где ф выражается через а, ф согласно (3.4.2) |
|
|
|||||
|
|
|
Ф = ± [2(я 4-1 + |
cos ф )]1/2. |
(3.4.4) |
||
Уравнепис для фазы i|) имеет обычпыи вид (3.1.9) |
|
|
|||||
|
|
|
1|) = ©(я) + еТЧф, а)и. |
|
|
||
Здесь |
« ( а ) — частота колебапий или вращений |
(см. |
|||||
. ниже), |
а вид |
2я-периодической по ф функции |
F для |
||||
дальнейшего несущественен. |
|
|
|
||||
2. |
р, |
Приближенное оптимальное управление. Обозначая |
|||||
через |
q сопряженные переменные, отвечающие |
я, |
|||||
получим на основании принципа максимума (см. (3.1.17), |
|||||||
(3.1.18)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz* = s ig n (/^ + gF ). |
|
|
||
Так как q = 0(e) |
(см. § 1), то при условии отсутствия |
||||||
особых |
управлений |
(р Ф 0) |
с погрешностью 0(e) |
по |
|||
функционалу |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и* = sign(/Hp). |
(3.4.5) |
Введем усредненные переменные 1, ц, отвечающие переменным я, р. Подставим управление и* из (3.4.5) в уравнение (3.4.3) и в соответствующее ему сопряженное уравнение и усредним уравнения по фазе i|). Получим усредпепнуго краевую задачу (см. (3.1.31))
2Я
W = |
|ф № signal, £(0) = я°, |
(3.4.6) |
|
о |
|
|
2Я |
|
И = - 1 ,н 4 г ж 1 |фМЧ> — |
л<в) — 1. |
О |
|
Здесь ф должно быть выражено через я, 1|). Как сле дует из первого уравнения (3.4.6), наплучшпй результат (минимум 7«=|(0)) достигается при условии, что г| < О
§ 4) |
У П Р А В Л Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я М И М А Я Т Н И К А |
107 |
иа всем |
интервале т «=[(), 0]. Требуется выяснить, |
до |
пускает ли второе (сопряженное) уравнение (3.4.6) реше ние, обладающее этим свойством. Очевидно, если поло
жить |
Р = |
0, то |
т](т) < 0 для всех |
т е [0, |
0]. Следователь |
|||
но, |
в |
первом |
приближении можно положить р < 0 в |
|||||
(3.4.5). |
|
установлено, что в |
первом |
приближении по |
||||
Итак, |
||||||||
функционалу (п переменной а) синтез оптимального уп |
||||||||
равления имеет вид: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
и* — — signcp. |
(3.4.7) |
||
Движение маятника (3.4.1) под действием управления |
||||||||
(3.4.7) описывается уравнением |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
<р + sin ф = — е sign ф, |
(3.4.8) |
|||
отвечающим движению при наличии сухого трения. |
||||||||
3. |
|
|
Анализ |
оптимального |
движения. Асимптотическое |
|||
решение |
|
уравнения (3.4.8) строим, следуя [227], где ре |
||||||
шалось |
|
аналогичное уравнение. |
При |
е = 0 уравнение |
||||
(3.4.8) |
описывает |
свободные |
колебания или вращения |
маятника.
В режиме колебаний при — 2 < а < 0 , решение зада ется соотношениями [89, 236, 723
|
Ф = |
2 агсзт{А:1 sn[&i(i + 6|), /cil), 0 ^ /с*< 1 , |
|
к\ = |
а |
а, |
(3.4.9) |
1 + у |
Тх= 4К (/fj), Фо = 2 arcsin kL. |
||
Здесь 6i — произвольная фазовая постоянная, ^ — пе |
|||
риод |
колебаний, |
фо — их амплитуда; sn — эллиптический |
синус, К — полный эллиптический интеграл первого рода,
/с, — модуль |
эллиптических функций. |
Нижний индекс 1 |
|
далее будем |
относить |
к колебаниям, |
2 — к вращениям. |
В реяшме вращений, при а > 0, имеем |
|||
Ф = |
2 am[(i |
б2) к^1, й2]. |
|
* Г * - 1 + т в, |
“ > 0 - П = 2 к,К(кг). (3-4-10> |
Здесь бг — фазовая постоянная, Т%— период враще ний, am — эллиптическая амплитуда, къ — модуль.
168 |
У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х |
З А Д А Ч А Х |
[Г Л . 3 |
|
Выпишем первое уравнение (3.4.6) для режима коле |
||||
баний (3.4.9) в явном виде (имеем г\ < |
0) |
|
||
|
тг |
т±/4 |
|
|
£ — |
1 7 J 1 * 1 * - - - ^ J |
|
|
|
|
= |
— 4ГГ1(Ро = — 2К 1(/сх) arcsin kL. |
(3.4.11) |
Здесь s заменено на а и использованы свойства чет
ности функции ф из (3.4.9). Переходя к переменной /с? и выбирая в качестве т = 0 момент перехода из режима
вращений в колебания, где а = 0, получим из |
(3.4.11) |
dkl/dx = - КГг(Аа) arcsin /съ кг(0) = 1, т > |
0. (3.4.12) |
Уравнение (3.4.12) интегрируется в квадратурах. Аналогично, пользуясь соотношениями (3.4.10), выпи
шем уравнение для а в режиме вращений
Переходя к переменной к\ согласно (3.4.10), получим
dkl |
к* |
М 0 ) = |
1, Т < 0 . |
(3.4.14) |
■ З Г = Т Ш |
||||
Уравнение (3.4.14) интегрируется в полных эллипти |
||||
ческих интегралах. |
Действительно, |
обозначив |
z = к\, |
|
и пользуясь формулой из [236, стр. 117], находим |
||||
|
|
z=fc| |
|
|
|
4 E ih) |
|
т < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4.15) |
Здесь ЕШ — полный эллиптический интеграл второго |
||||
рода, Ж1) = 1. Формула |
(3.4.15) |
определяет |
решение |
|
уравнения (3.4.14) при х ^ |
0. |
|
|
|
Отметим некоторые свойства функций к{(х), к2(х), |
||||
следующие из (3.4.12)— (3.4.15). Обе |
функции монотонно |
|||
убывают с ростом величины 1x1. При малых т, |
когда к\ |
§4] |
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯМИ МАЯТНИКА |
близко к единице, асимптотика /сДт) имеет вид
1 -fc \
(3.4.16)
Здесь использована связь к\ и а из (3.4.9). Формула (3.4.16) позволяет отойти от точки т = 0 при численном интегрировании уравнения (3.4.12). Формулы (3.4.16)
справедливы также и для режима вращений (3.4.13)— (3.4.15) с заменой к\ на к2, т на — т и а на — а.
Исследуем асимптотику в другом предельном случае, когда ki и к2 близки к нулю. Используя представления Ki.lt) при малых к в (3.4.12), (3.4.14), получим
к\ « |
— (т — т*)/л, |
0 ^ т < т * ; klt |
= 0 , т > т * . |
|
|
к2 — —2/т, |
т -*• — оо. |
(3.4.17) |
|
Здесь |
т* — некоторая |
положительная |
постоянная. Из |
|
(3.4.17) |
следует, что величина к\ обращается в нуль при |
|||
некотором конечном значении |
T = T #I , T . |
е. полная оста |
новка маятника требует конечного времени. Это естест
венный результат для системы (3.4.8) |
с сухим трением. |
|
Формула (3.4.17) для к2 |
описывает |
убывание к2 при |
Т -------- оо. |
определения зависимостей |
|
Результаты численного |
AJ(T) и k2ir) представлены на рис. 3.3. Зависимость &I(T) определялась интегрированием уравнения (3.4.12) с уче
170 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
[ГЛ. 3 |
том |
асимптотики (3.4.16), а зависимость к2(х) — путем |
расчета по формуле (3.4.15). График к\(х) близок к пря мой лншш. Зпачеппе постоянной т* в формуле (3.4.17) оказалось равным т* = 3,342. Эта постоянная равпа без размерному времени, необходимому для остановки в ниж нем положении равновесия маятника, первоначально на ходящегося в верхнем положении равновесия.
На рис. |
3.4 (в мелком и крупном масштабах) пред |
|
ставлена зависимость энергии а(х) для колебаний |
(т 5s 0) |
|
п вращений |
(т < 0 ), полученпая путем пересчета |
зависи |
мостей fti(r) н к2(х) по формулам (3.4.9), (3.4.10). Отме тим, что согласно асимптотической формуле (3.4.10) про
изводная dx/da^>— 00 |
при а-*-0. Поэтому касательная |
к кривой а(х) в точке |
т = 0, а = 0 горпзоптальпа, что |
видно на рис. 3.4 в крупном масштабе. |
Зависимость а(т) является универсальной п позволяет решать различные задачи о мппимпзации и максимиза ции энергии маятника. Пусть в начальный момент эпергия маятника равпа а0 п требуется за время Т = 0е-1 минимизировать или максимизировать конечное значение полной энергии колебаний или вращений маятника. Что бы решить эту задачу, вначале на графике а(т) паходпм точку то, отвечающую начальному значению а(то) = а0. В силу строгой монотонности а(т) точка то единственна. Затем от точки то отложим интервал длины 0 в сторону возрастания т в случае минимизации энергии п в сторону
убывания — в |
случае |
максимизации |
энергии. |
Получим |
точку т = то + 0 для |
задачи минимизации и |
точку т = |
||
= то — 0 для |
задачи |
максимизации |
энергии. |
Соответст |
вующие этим точкам значения а(то ± 0) дадут минималь |
|
ную (максимальную) энергию в конце интервала управ |
|
ления. Отметим, что |
если т0 + О 5* т*, то это означает, |
что в конце процесса |
маятник находится в нижнем устой |
чивом положении равновесия, |
где а = — 2. При этом |
управление и* = 0 на интервале |
т * < т < Т о + 0. |
Полученные решения могут описывать переход вра щений в колебания (для задачи минимизации энергии) или колебаний во вращения (для задачи макепмпзацпп энергии). Такие переходы будут иметь место, если интер вал [то, то + 0] содержит точку т = 0. Отметим, что при таком переходе, отвечающем переходу возмущенпого ре шения через сепаратрису порождающего уравнения, ча-