книги / Управление колебаниями
..pdf§ CJ |
ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ВОЗМУЩЕНИЙ |
61 |
|
Сопоставляя (1.0.14) и (1.0.16), имеем равенство |
|
|
т |
|
- 2 № } (*° (Т)) - |
Г (/Л f1) dt. |
(1.0.17) |
j = 1 |
t |
|
Вычислим функционал (1.0.3) с точностью до членов по рядка е включительно
1о
Из равенств (1.0.17), (1.0.18) получим
+ 2 « г ! (*° (*о)) - |
2 Л * |
(*° (?))}• |
(1.6.19) |
Заметим, что в равенствах |
(1.6.15)—(1.6.19) |
в качест |
|
во аргументов функций /°, /', |
G°, G1 и их производных |
||
везде фигурируют функции нулевого |
приближения х = |
||
= x°(t) и и = и°Ш. |
|
слагаемое |
порядка |
Формула (1.6.19) показывает, что |
е в минимизируемом функционале не зависит от управ ления и траектории первого приближения и1 (г), яЧО. Указанный факт означает, что если погрешность порядка е2 по функционалу и краевым условиям приемлема, то пет необходимости искать поправки и1, х1 из условий оп тимальности (минимума квадратичных по е слагаемых в функционале). Эти функции достаточно выбрать так, что бы в первом приближении удовлетворить лишь краевым условиям, т. е. равенствам (1.6.11). Величина функциона ла может быть подсчитана с погрешностью порядка е2 по формуле (1.6.19), исходя только из пулевого прибли жения.
2. Заключительные замечания. Отмеченное свойство характерно для таких задач, в которых имеет место внут-
G2 |
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |
[ГЛ. 1 |
|
|
реннпй экстремум, т. е. ограничения да управление от сутствуют. При наличии ограничений изменение управле ния на величины порядка е вызывает, вообще говоря, изменение функционала на величину того же порядка малости.
Сказанное можно наглядно проиллюстрировать на элементарном примере минимизации функции многих пе ременных. Пусть F(z, е) — дважды непрерывно диффе ренцируемая функция, определенная в области z е= Д, при достаточно малых е е ГО, e°h Область De предполага ется выпуклой, а ее зависимость от е непрерывна и тако ва, что при изменении е па Аб граница области Ds сме щается на величину порядка Де. Требуется найти мини мум F(z, е) по z при z^ D e. Для функции F имее т место разложение
F(z, е) = F°(z) + eF4z) + . . . |
(1.6.20) |
Предположим, что функция F°(z) в D0 обладает тем свойством, что ее второй дифференциал положителен в точке внутреннего минимума F°(z), если такая точка су ществует.
Будем искать решение поставленной задачи при ма
лых е методом возмущений, полагая |
|
z = z° + ez1 + ... |
(1 .6 .2 1 ) |
Подставляя (1.6.21) в (1.6.20) и разлагая полученную |
|
функцию в ряд по е, найдем |
|
F (2, в) = F° С*°) + в [Fjj (г») г* + Р ' (*°)'| + |
О (ег). |
|
(1 . 6 . 22) |
Пусть точка z = z°, в которой достигается |
минимум |
F°(z) при z s D0, есть внутренняя точка области D0 (слу
чай внутреннего экстремума). Тогда |
(z°) |
= 0 и члены |
||
порядка |
е в |
(1.6.22) не зависит от z1. Для |
определения |
|
z1 при |
этом |
необходимо учитывать |
слагаемые 0 (е2) в |
(1.6.22). Если же z° лежит на границе области Do (крае
вой экстремум), |
то, вообще говоря, Fz (*°) ф 0. При |
этом поправка z1 |
влияет на член порядка е в (1 .6 .2 2 ) и |
выбирается из условия минимума этого члена в заданной
ограниченной области. |
Первый случай {Fz (*°) ==0, |
внутренний экстремум) |
аналогичен классической вариа-* |
§ С] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 63
ционной задаче, рассмотренной в п. 1 данного параграфа. Второй случай (краевой экстремум) характерен для общей задачи оптимального управления с ограничениями. В са мом деле, пусть минимизируемый функционал задан в ви де J = F(z(T), е). Тогда, отождествляя z с х(Т), а область De— с областью достижимости системы за время Т при фиксированной начальной точке, сведем задачу оптималь ного управления к рассмотренной выше задаче о мини муме функции F(z, е). При этом случай краевого экстре мума будет иметь место, если минимум F(x(T), е) при е = 0 достигается на границе области достижимости. Для слабо управляемой системы, рассмотренной в § 2—4, область достижимости системы Dt при е -+■ 0 стягивается в точку z*. Поэтому здесь случай краевого экстремума имеет место всегда, если только эта точка z* не совпада ет с точкой минимума по z функции Fiz, е).
Указанные выше соображения полезно иметь в виду при применении метода возмущений к задачам оптималь ного управления.
ГЛАВА 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
В главе 2 развивается метод разделения быстрых и медленных движений (метод усреднения) для решения задач оптимального управления квазилинейными коле баниями па асимптотически большом интервале време ни. Предполагается, что колебательная система является одночастотной и приводится к стандартной форм© уп равляемых систем с вращающейся фазой.
В § 1 рассматриваются колебательные системы и способы их приведения к стандартному виду. § 2 со держит методику решения задач с закрепленным вре менем. Задачи управления типа оптимального быстро действия исследуются в § 3. Ряд задач оптимального управления колебаниями квазилинейных систем с одной и несколькими степенями свободы, содержащих медлен но изменяющиеся параметры, решен в § 4. В оспову главы 2 положены работы [1 0 —1 2 ].
§1. Управляемые квазилинейные колебательные системы
1.Одночастотная управляемая система общего вида. Рассмотрим управляемую систему, содержащую медлен ную х и быструю у переменные
х = еХ(т, х, у, и), x = |
e? + |
To, |
x{tQ) = x0^ |
|
||
• |
|
|
|
и), |
(2.1 .1 ) |
|
у = У0(т, х, у) + еУ(т, х, у, |
y(t0) = у°. |
|
||||
Здесь х, |
X — n-мерные векторы; у, |
У0, У — векторы |
||||
размерности |
г; и — m-мерный |
вектор |
управления, |
под |
||
чиненный ограничению |
и е Z7, |
где U — замкнутое |
мно |
|||
жество; т — «медленное |
время», |
которое можно |
вклю |
|||
чить в состав вектора х; |
е — малый параметр, е е [0 , еоЬ |
Смысл выделения медленного времени т, согласно (2.1.1), будет ясен из дальнейшего. Постоянные t0, х°, у0 в
§ 11 |
УПРАВЛЯЕМЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
65 |
(2 .1 .1 ) — начальные данные. Предполагается, что правые части системы (2 .1 .1 ) определены н имеют необходимые для дальнейшего производные в некоторой достаточно широкой области изменения своих аргументов. Отметим, что функции X, Y, а также параметры х°, у0 могут за висеть от е непрерывным образом. Однако эта зависи мость для упрощения записи далее не указывается. Формально система (2 . 1 .1 ) слабо управляема (см. §§ 1 — 3 главы I), так как при е = 0 она становится неуправ ляемой
Уо~У0(х, х, ?/о), х, т = const. |
(2 .1 .2 ) |
Однако движение системы (2.1.1), в отлпчпе от гла вы I, исследуется на асимптотически большом интерва ла времени t ~ е"1, на котором медлепные переменные х и т успевают измениться существенно, па величины по рядка едпгшцы. Быстрые переменные изменятся, вооб ще говоря, па величины порядка е“ *.
Предположим, что невозмущенная система (2.1.2) для 7/о имеет общее решение, содержащее вращающиеся п колеблющиеся переменные, которое также может за висеть от параметров ж и т [63, 64, 4—6, 18]
//о = |
(П/2 я)1|) + ф(\|), с, х, т), |
^ ^ ^ |
|
ф = |
\’(тШ — to) + фо, |
с, х, х = const. |
|
Здесь П — постоянный |
г-вектор с |
составляющими, |
равными пулю для колеблющихся переменных п отлич
ными от пуля для вращающихся перемепных; ф — не- |
||
возмущепиая скалярпая фаза; V ( T ) — собственная часто |
||
та системы (2 .1 .2 ), зависящая |
только от параметра |
т, |
V(T) > vo > 0 , л»о — постоянная; |
-ф0 — фазовая постоянная; |
|
с — ( г - '1 )-мерный вектор независимых параметров |
се |
|
мейства; ф — 2 я-пернодпческая |
вектор-функцпя фазы г|). |
|
Таким образом, параметрами семейства (2.1.3) являются |
с и фо. Естествеппо предположить, что правая часть си стемы (2 .1 .1 ) есть периодическая функция вращающих ся перемеппых у{ с периодами Щ
Приведем систему (2.1.1) к ст.андартпому виду уп равляемых систем с вращающейся фазой, пспользуя формулы (2 .1 .3 ) в качество замены исходных перемен ных х, у, х на переменные х, с, ф, т. Это преобразование
5 Ф. Л. Чсрпоусьно. Л. Д. Акуленко. Б, Н. Соколов
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
не зависит от управления и. |
Дифференцируя (2.1.3) по |
||||||
t в |
силу исходной системы |
(2 .1 .1 ), получим |
систему |
||||
уравнений |
для медленных переменных х, |
с и |
фазы ф |
||||
|
х = |
еХ(т, х, уо(ф. с, х, т), |
и), |
ж(£о) = |
д°, |
|
|
|
с = |
еС(т, х, с, ф, и), |
|
|
c(i0) = |
c°, |
(2.1.4) |
|
ф = V (T ) + exF(т, .т, с, ф, |
и), |
ф(*0) = ф°. |
|
|||
Здесь фун1щии С и 4F находятся как решение линей |
|||||||
ной |
алгебраической системы |
с 2 я-периодическими по ф |
|||||
коэффициентами |
|
|
|
|
|
||
% |
ш I дуо п _ |
|
|
|
|
|
|
аф |
З |
с “ |
|
|
|
|
|
|
= Y {x ,x ,y 0lu ) - ~ ± X |
(т, ж, у о ,» - |
|
(2.1.5) |
|||
Так как уо — общее решепие |
(2.1.2), то |
определитель |
системы (2.1.5) отличен от нуля всюду в рассматривае мой области изменения переменных т, х, с, ф. Началь ные значения с°, ф° в (2.1.4) выражаются через ж0, у0 в силу преобразования, обратного (2.1.3).
Объединяя векторы а: и с в один вектор медленных переменных а, полученную систему (2.1.4) с вращаю щейся фазой ф запишем в стандартном виде
а = |
е/(т, я, ф, и). |
aU0) = |
«°, |
ф = V(T) + BF(X, а, ф, и), |
ф(*0) = |
(2. 1 .6) |
|
Ф°- |
|||
Здесь /, |
F — достаточно гладкие функции своих |
аргументов, 2я-периодические относительно ф. Размер ность векторов а и / будем считать произвольной и обоз начать через п. Отметим, что так как частота v — ска ляр и не зависит от вектора а, то такие колебательные системы принято называть одночастотными квазили нейными 146, 144, 139].
Медленные переменные а в небесной механике приня
то называть оскулирующими. |
Зависимость |
v(x) может |
|
быть задана сложным образом, например, в виде |
|||
V(T) = |
Q(Z(T)), z = |
eZ(z), z(to) —z°, |
|
где z —(вектор |
произвольной |
размерности, |
Q — заданная |
функция. |
|
|
|
§ и |
УПРАВЛЯЕМЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
67 |
Далее в §§ 2, 3 задачи оптимального управления рас сматриваются для систем вида (2 .1 .6 ) на интервале вре мени t ~ е-1, на котором вектор а получает приращение порядка единицы, а фаза я|) изменяется на величину ~ е-1. К допустимым управлениям будем относить кусоч но непрерывные функции со значениями u(t) е U, под становка которых в (2 .1 .6 ) приводит к системе, решение которой существует и единственно па рассматриваемом промежутке времени.
2 . Управляемые квазилинейные колебательные систе мы с медленно изменяющимися параметрами. Рассмот рим колебательную систему с многими степенями сво боды, приведенную к нормальной форме
Vi + |
'vf (т) Vi = Yi (т,”а:) + |
е/£(т, у, у, я, u), |
i — 1 , . . . , г, |
||
|
|
Ж ) = |
А Й д |
= У°, |
(2.1.7) |
|
|
х = еХ(т, у, у, .г, и), |
я(£0) = |
х°. |
|
Здесь |
у — /-вектор |
колеблющихся |
переменных, |
||
v* |
> |
0 —частоты колебаний; х — тг-вектор медленных |
переменных, например, параметров системы. Векторфункция Y есть внешнее воздействие; /, X — возмущаю щие функции. Система (2.1.7) является формально част
ным случаем системы (2 .1 .1 ). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Применим преобразование типа (2.1.3) к каждой пе |
|||||||||||
ременной у(. Для |
системы |
(2.1.7) |
это |
преобразование |
||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Vi = |
di sin я|), - f |
Yt (т, х) vT2(т), |
iji = |
a,V| (т) cos tfc, |
(2 .1 .8 ) |
|||||||
где |
a,i — новые |
медленные |
переменные, |
|
— фазы, £ = |
|||||||
= 1, ..., г. После замены (2.1.8) |
система |
(2.1.7) |
примет |
|||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
at = s-^ cos |
|
— 8 -~ atcos2^ |
— е |
|
shn^, |
|
|||||
i |
= |
Vi - |
e ^ - s i u i|)( + |
e-^-cos ifc sin 1|>г - |
|
|
cos 4>i. |
|||||
i= e X , |
a, (*„) = |
e?, ^ |
(«„) |
|
*(«„) = |
**• |
о |
(2.1.9) |
5 *
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
Здесь в функции /, X подставлены выражения (2.1.8), а начальные значения я0 и i|)° вычисляются согласно за мене (2.1.8). Штрих в (2.1.9) означает полную произ водную по т, например,
,дУ. ОУ.
Y <= i s r + - i i r x - <2-1Л°)
Система (2.1.9) содержит г быстрых переменных фаз •ф,- и является, вообще говоря, миогочастотпоп системой. Применение метода усредпепня к таким системам при водит к значительным трудностям, связанным с пере менностью частот V,- и возникновением'' резонансов. От метим, что даже в случае v ,= const при г > 1 могут воз никать резонансные явления, если правые части систе мы (2.1.9) разлагаются в бесконечные ряды Фурье по. фазам (см. 131-33, 46, 47, 145J).
В дальнейшем система (2.1.9) исследуется при усло вии, что все функции v,(i;) совпадают, т. е. система яв ляется одночастной. Заметим, что если частоты уДт) отличаются друг от друга па величины порядка е, то эти отлпчия можно включить в возмущения /,• пз (2.1.7) и по-прежнему считать, что все vf(x) совпадают. К клас су одпочастотных систем приводятся уравнения возму щенного движения точки в центральном гравитационном п в центральном линейном силовом поле, уравнения ко лебании маятников с одной степенью свободы и другие. В предположении, что все V,- совпадают, v,- = v(i ==.■!, ...
..., г), система (2.1.9) приводится к виду (2.1.6). Для этого нужно выделить одну пз фаз, например I|M, а ос
тальные фазы г|),-, £ > 2 , представить в виде |
% = г)д + 0 „ |
где 0 ,- — расстройки фаз, которые являются |
новыми мед |
ленными переменными типа а,. |
|
Систему (2.1.7) при выполнении условия одпочастот- |
|
пости (v ,= v, г = 1 , ..., г) можно привести |
к стандарт |
ному виду (2.1.6) и другим способом. Вместо (2.1.8) сде лаем замену переменных
Ui = |
at siu rp + |
bi cos cp + У^~2, |
уi = |
v(ai cos (p — bi sin ф), £ = 1 , . . . , r, (2 .1 .1 1 ) |
|
|
t |
|
<P= |
f v(et, + |
T0)df\ |
*o
§ « УПРАВЛЯЕМЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Здесь at, bt — новые медленные переменные, ф = фШ — известная монотонная функция t. Уравнения для ah bi
получаются дифференцированием |
замены |
(2 .1 .1 1 ) в |
си |
||||||||||
лу системы (2.1.7) н в векторной |
форме имеют вид |
|
|||||||||||
■ а = e/v" 1 cos ф + ev'vK a cos ф— b sin ф) cos ф — |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
e ( 7 v 2)' sin ф, |
«(to) = |
a0, |
||||
b = |
— e /v 1sin ф —ev'vKfl cos <p—b sin ф) sin.q) — |
|
|||||||||||
|
|
— e{Yx~2)' соБф, |
b(t0) = |
b°. |
П |
|
(2.1.12) |
||||||
Здесь a, b, f и |
Y — /-мерные |
векторы |
с |
компонента |
|||||||||
ми |
bi, |
Yf; |
|
ф — известная скалярная |
функция |
из |
|||||||
(2 .1 .1 1 ) |
, штрих |
означает |
производную в |
смысле (2 .1 .1 0 ). |
|||||||||
Начальные значения а0 н Ь° в (2.1.12). получаются сог |
|||||||||||||
ласно (2 .1 .1 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а° = x -,(vt0 + т0)у°, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
bQ= y°-v -4zto + To)Y(et0 + rQ, *?). |
(2.1.13) |
||||||||||
Уравнения (2 .1 .1 2 ), |
(2.1.13) |
н |
уравнение |
(2.1.7) для |
|||||||||
х, в правые части которых подставлены выражения для |
|||||||||||||
у и у нз |
(2 .1 .1 1 ), |
образуют |
одночастотную |
управляемую |
|||||||||
систему в |
стандартной форме вида (2.1.6). Фаза т|* из |
||||||||||||
(2 .1 .6 ) |
в |
данном |
случае |
определяется |
квадратурой |
||||||||
(2 .1 .1 1 ) для ф, что отвечает равенству / ,1 = 0 |
в (2 .1 .6 ). |
|
|||||||||||
3. |
|
Примеры. Рассмотрим механические модели, опи |
|||||||||||
сываемые |
уравнениями типа (2.1.1) (или (2.1.7)) |
и* при |
|||||||||||
водящиеся к стандартной форме (2 .1 .6 ). |
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
Рассмотрим вертикальные колебания груза массы |
|||||||||||
т, подвешенного на упругой нити в поле тяжести. Дли |
|||||||||||||
на нити в нерастяиутом состоянии плавно изменяется по |
|||||||||||||
заданному |
закону |
1 = 1(т), |
где |
т = е£ — медленное вре |
|||||||||
мя. Пусть |
у — вертикальная координата груза, т. е. ис |
||||||||||||
тинная |
длина нити |
(в растянутом |
состоянии), |
еЛГ — |
|||||||||
внешняя малая |
управляющая |
сила, |
£ — модуль |
Юнга |
|||||||||
материала |
нити, |
S — площадь |
ее |
поперечного сечения, |
|||||||||
8 — ускорение силы тяжести. Уравнение колебаний гру |
|||||||||||||
за имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
my + E S l-4y-l) = m g-eN , |
1 = 1Ш). |
|
(2.1.14) |
Характерной единицей времени движения системы (2.1.14) является период свободных колебании при
уп ра в л е н и е ; |
|
: КОЛЕБАНИЯМИ |
(ГЛ. 2 |
|||||
I —const, |
величина |
которого |
равна |
2n(ml)l/4ES)~l/2, |
||||
Плавность изменения длины нити I означает малость ес |
||||||||
относительного изменения за период колебаний. Уравне |
||||||||
ние (2.1.14) относится к типу (2.1.7). |
колебания |
математи |
||||||
2. |
Рассмотрим |
теперь |
плоские |
|||||
ческого маятника переменной длины 7, |
точка |
подвеса |
||||||
которого может перемещаться в вертикальной плоскости |
||||||||
с некоторым ускорением. |
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим через wx и wv проекции этого ускорения |
||||||||
на горизонтальную и вертикальную оси, |
через ср — угол |
|||||||
отклонения маятника от вертикали и предположим, что |
||||||||
схода со связи нет, т. е. натяжение нити все время по |
||||||||
ложительно. Получим уравиепие движения системы |
|
|||||||
ср + -|sintp = — j (wx cos ф -f wysirup) — 2 -у cp. |
(2.1.15) |
|||||||
Введем безразмерные величины £*, WXi„, о |
|
|
|
|||||
= |
Wx,y = w,,vg -\ |
v . - t t ' * |
, |
а = |
Щ 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.16) |
|
Здесь |
vo — частота |
малых |
колебаний |
при |
некотором |
|||
Z= Z. Обозначая штрихом производную по безразмерно |
||||||||
му времени t*, приведем уравнение (2.1.15) с учетом |
||||||||
(2.1.16) |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
■<р" +■о- 1 sin.q>= — <rl(Wx cos ф + Wvsin ф) — 2а'о“ 1ф/.
(2.1.17)
л
Здесь роль управления играют проекции ускорения точки подвеса Wx, Wy, а о — безразмерная длина подве са (см. (2.1.16)).
•^Рассмотрим различные способы введения малого па раметра в уравнение (2.1.17). Пусть длина о есть задан
ная функция с(т) |
медленного |
безразмерного |
времени |
т = е£*, где малый |
параметр |
е характеризует |
относи |
тельное изменение длины за период колебаний маятни ка.. Будем считать, что управляющие ускорения малы по сравнению с ускорением силы тяжести, т. е. в без
размерных переменных (2.1.16) имеем |
Wx, v —6 wXi „, |
где |
б < 1; их, щ — порядка единицы. Время |
Т процесса |
уп |
равления считаем большим, т. е. Т ~ |
где %< 1. |
Обозначим через Ф максимальную амплитуду колебании