книги / Управление колебаниями
..pdf§4] |
Т О Р М О Ш Е Н И Е П Р И З А Д А Н Н Ы Х З А К О Н А Х |
231 |
|||
из |
приведенных |
результатов |
и |
соответствует |
наличию |
только одной области L2 > |
2Eh |
при I \ = h < h пли |
|||
L2 < 2Е1% при I\ < |
h = /3 на рис. 5.5, 5.6. |
|
Интересно отметить, что уравнение (5.4.8) для к2 близ ко по структуре к соответствующему уравнению для эво люции вращения твердого тела под действием малых дис сипативных моментов, обусловленных наличием в теле полости с сильно вязкой жидкостью [227].
3. О полной остановке вращений. Приближенно опти мальные законы управления §§ 1—3 исследовались асим птотическим методом усреднения, дающим точность по медленным переменным ~ е иа интервале Т ~ е-1, если скорость изменения фазы о > е. Однако в задаче тор можения <й ~ L ->- 0 при L -> 0, поэтому окрестность мо мента остановки при применении указанных законов тор можения требует дополнительного исследования.
Пусть в некоторый момепт Т* ~ е-1 при помощи асим птотически оптимальных законов управления достигнуто
значение £ |
*, где eL° < L* « |
L0. Положим L* = e“L°, где |
7г < а < 1 |
и укажем способ |
управления, обеспечивающий |
полную остановку вращений (уменьшение L от L* до ну ля). Для определенности рассматриваем ограниченно
(5.1.7). |
|
Q,- = е~а0 * и аргумент U= |
Вводя новые переменные |
||
= е1-ви — У*), преобразуем систему (5.1.1) к виду |
||
Л ^ - = » Л - е 1 ( Ь - Л ) О А . Qi (0) = £2} (1,2,3), |
||
|
|
(5.4.11) |
|
= е2а_1-<1, |
и\-\-и\ + и|<1- |
Здесь |
~ еГаЬ* ~ 1. В случае ei = 0 согласно §5 гла |
вы 1 (см. также [22]) оптимальный по быстродействию закон торможения для системы (5.4.11) имеет вид (1.5.7),
щ — —,
(5.4.12)
z = (z* + z* + z*)i/»f i= = 1,2,3.
Подставляя закон (5.4.12) в систему (5.4.11) при ei^O ,
232 |
У П Р А В Л Я Е М Ы Е |
В Р А Щ Е Н И Я Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А |
[Г Л . 5 |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
— ®,Ь ^ 2 . . |
2(0) = |
2" = |
Ы г -I- г? + |
4 г) 1,г, |
|||
, |
/, - /.,/> А |
Л - * , |
V'-. |
, Л - Л М |
* |
(5.4.13) |
||
• |
||||||||
Ь |
■*2* з |
i r + ^ 7 -Г 1 - Г 1 + -1 - г - 1 |
"а |
|||||
|
|
J i / 3 |
w:s |
V u |
|
Пусть выполнено условие eilb|z02< l , тогда согласпо (5.4.13) z строго убывает с конечной скоростью и обраща ется в пуль не позже, чем в момент ti = Ti = z°(l —
— eilblz02)-1; данная оценка может быть улучшена. Пол ное время остановки вращений (в исходном времени) равно
Т* + га~1Т\ ~ е_,(1 + ев).
Таким образом, полную остановку вращений можно осуществить за время Т + о{Т), где Т ~ в-1 — время ос тановки, рассчитапнос методом усреднения для асимпто тически оптимального закона.
§5. Задача переорпентацпп твердого тела
1.Постановка задачи. Найденные в §§ 1—4 законы управлеппя приводят тело в состояние покоя, однако не обеспечивают заданной его ориентации в пространстве. Между тем важпое прикладное значение имеют задачи о приведении твердого тела (спутника), совершающего про извольное начальное движение, в заданное угловое поло жение в инерциальной или орбитальной системе коордипат. Решение таких задач можно разбить на два этапа:
торможение вращений и переориентация, т. е. поворот те ла в пространстве.
Первый этап движения не требует знания углового по ложения тела и может исследоваться иа основе только ди намических уравнений Эйлера (5.1.1). Целью управления на этом этапе является остановка вращений; подобные движения рассмотрены в §§ 1—4.
Для второго этапа (переориентации) начальпое и ко нечное состояния тела заданы и являются состояниями покоя.
Задачам оптимального управления ориентацией твер дого тела посвящено большое число работ, например [25, 30, 95, 120, 135, 169. 180, 200, 234]. В частности, построе-
§ 5] З А Д А Ч А П Е Р Е О Р И Е Н Т А Ц И И Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А 233
иы решения задач оптимальной переориентации при огра ничениях (5.1.20).
Ниже рассматривается задача онтимальпой по быстро действию переориентации твердого тела при ограничениях (5.1.7); решение ищется в классе плоских поворотов.
Обозначим через Ох\х2х3 связаппую с твердым телом систему координат — систему главных центральных осей инерции тела. В начальный момент t = 0 эта система сов
падает с системой Ох\х“а:®, а в конечный момепт Т — с системой ОххХчХг^. Ориентация обеих инерциальных сис тем Ох)х\хз и О х^ хз задана; через щ обозначим извест
ные паправляющие косинусы между осями Ох* п Ох). Движение тела будем искать в классе плоских поворотов, при которых вектор угловой скорости © сохрапяет посто янное направление в пространстве. Кинематические соот ношения для плоского поворота имеют вид [98]
|
cos у = |
1/2 (пи + |
п22 + |
я33 — 1), |
0 < |
у < |
я, |
|
1 |
2 s in V |
’ |
2sin v |
’ |
а |
2 sin у |
(5.5.1) |
|
|
||||||||
соI(t) = со (f) mlt ) = |
(с о * - f |
со2 + |
£0g)1/2 , |
£ — |
1 , 2 , 3 |
Здесь у — величина угла поворота, m{— направляющие косинусы вектора а» в связанной системе Ох\х2хз, со( — проекции вектора © на осп этой системы. Подставляя (5.5.1) в динамические уравнения Эйлера (5.1.1), получим
/itfiico + |
(73 — I2)m2mz®2= b\Ui |
(1, 2, |
3), |
|
|
|
(5.5.2) |
а = со, |
а(0) = ы(0) = со(Г) = 0, |
а (Т) = |
у. |
Малость е в уравнении (5.1.1) здесь не используется, поэтому принято е = 1. Через а обозначен текущий угол поворота, через у — его заданное конечное значение (5.5.1) . Символ (1,2,3) в (5.5.2) озпачает циклическую перестановку индексов в дппампчеекпх уравнениях Эйле ра. Разделим каждое из этих уравнений па соответствую щее 6j, возведем их в квадрат п сложим. Потребуем
234 |
У П Р А В Л Я Е М Ы Е В Р А Щ Е Н И Я Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А |
[Г Л . 5 |
дополнительно, чтобы коэффициент при смешанном про изведении Ma/dt обратился в нуль, т. е.
inLm3m3[Д(13 —/.) 6Г2 + h (A — А) ЬГ* +
|
+ 75( /а- 7 |
1)!-Г-] |
= 0. |
(5.5.3) |
|
Тогда в результате указанных операций получим ска |
|||||
лярное уравнение |
|
|
|
|
|
4 ао»2-f В2ш4 = |
иа, |
и2 = и\ + |
и\ + |
и2 <; 1, |
|
/ |
3 |
\ 1/2 |
|
|
|
4 = [ |
2 |
/!<п|ьгг) |
> о , |
|
|
В= [(А - /г)гт|т|Ь Г2 + (А - А)* т1т\Ь3г+
+ (А - АУW 1m2V ] 1/2> 0. (5.5.4)
Здесь наложено ограничение (5.1.7); А и В — извест ные постоянные. Уравнение (5.5.4) справедливо при ус ловии (5.5.3), которое выполняется в следующих случаях: либо поворот совершается одной из главных централь ных осей инерции (одно из mt равно нулю), либо величи ны Ь{, Ii связаны соотношениями
|
bt = 1\ ' 2 (ц /г + |
v)“ 1/2, |
i = 1, 2, 3. |
(5.5.5) |
|
Здесь |
|х, v — произвольные |
постоянные, |
такие, |
что |
|
p,71+ v > 0 |
для i = 1, 2, |
3. Первый случай (т?1 г = 0) |
рас |
смотрен в работе [1851. Второй случай (5.5.5) допускает произвольную ориентацию вектора о . Условия (5.5.5) вы
полняются в |
важном случае равных плеч |
для этого |
нужно положить v = 0 в (5.5.5). |
|
|
Поставим |
следующую задачу оптимальной переориен |
тации. Требуется найти управления гц{f), удовлетворяю щие ограничению (5.1.7) и переводящие твердое тело за кратчайшее время Т из начального положения в конеч ное посредством плоского поворота (при выполнении ус
ловия |
(5.5.3)). Поставленная задача, согласно (5.5.2), |
||
(5.5.4), |
приводятся к задаче оптимального |
управления |
|
а = о, |
и = 64“1(и.2 —В2й)4)1/2, |
б = ± 1, |
0 ^ и2 «£ 1, |
а(0) = ш(0) = ю(Т) = 0, а(Г) = ч, Т min. |
(5.5.6) |
Я] |
ЗАДАНА ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ТПЕРДОГО ТЕЛА |
235 |
|
Здесь а, © — фазовые координаты, а б, и2 — управля |
ющие функции. Решив задачу (5.5.6), можно затем при помощи уравнений (5.5.2) восстановить управления н,(£) по найденном оптимальной зависимости со (it).
2. Построение решения. Рассмотрим двойственную к (5.5.0) задачу о максимальном угле .поворота, в которой Т фиксировано, а у = а(Т) — максимизируемый фупкциопал. Если решение последпсп задачи будет построено, и зависимость максимального угла у от Т будет строго воз растающей (а это окажется именно так), то том самым будет получено и решение исходной задачи быстродей ствия (5.5.6).
Для задачи о максимальном угле поворота имеем
т |
|
|
у = £ © |
df-wnax. |
(5.5.7) |
о |
|
|
Из второго уравпепия п ограничения (5.5.6) получим |
||
оценку |
|
|
|«(«) |< ЛГ1 (1 — О » * ) 17', |
|<0(4)|<©« = £ - 1,г. |
(5.5.8) |
Из дифференциального неравенства (5.5.8) и началь ного условия ©(0) = О вытекает, что функция 1©(£)1, а вместе с ней и со(£), не превосходят функции oo(t), явля ющейся решением соответствующего (5.5.8) уравпепия
©0 = А~г (1 - (074юУ 1/2, ©о (0) = 0. |
(5.5.9) |
Интегрируя уравнение (5.5.9), найдем
t
(5.5.10)
Здесь К, F — полпый и неполный эллиптические интег ралы 1 рода [72]. Обращая зависпмость (5.5.10) и учитывая, что ©о ^ ©* при всех получим решение уравпепия (5.5.9)
со0 (^) — |
^ ^ |
(5.5.И) |
к1
У2
236 |
У П Р А В Л Я Е М Ы Е В Р А Щ Е Н И Я Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А |
[Г Л . 5 |
Здесь Г — гамма-функция Эйлера, к — модуль эллип тического косинуса сп. На интервале (0, t%) фупкция <йо(£) строго возрастает, далее остается постоянной. Из отмеченного выше мажорирующего свойства функции (5.5.11) вытекает перавепство ©Ш <1 о>оШ при £«=[(), 7]. Аналогично, учитывая граничное условие со (7') = О, получим соit) ^ (Оо(Т — t), так что
©(f)<min[(flo(i), сооС^ — i)J, £^[0, 7]. (5.5.12)
Абсолютный максимум фупкцпопала (5.5.7) при ограииченпп (5.5.12) достигается, очевидно, в случае знака равенства в (5.5.12), т. е. при
соШ = 0оШ, « е |
[0,7/2], |
и «) = a>0iT -t), |
(5.5.13) |
* е [7 /2 , 7]. |
Укажем уравпеппе, реализующее зависимость (5.5.13). Сопоставляя (5.5.G), (5.5.9), получпм
и2 = 1, б = sign (7/2 - f), t s Ю, 7J. (5.5.14)
Для определения угла ait) проинтегрируем зависи мость (5.5.13) при пачальном условии а(0) = 0, учитывая ее четность относительно момента t = 7/2
t
a {t) = |
а0 (t) = J ©о (т) dx, |
t <= [0, 7/2], |
(5 5 15) |
a (i) = |
2а0(7/2) - а 0 ( 7 - i), |
t е= [7/2, 7]. |
|
В частности, при t — 7 получим |
|
|
|
|
Ч = а (7 )= 2 а 0(7/2). |
(5.5.16) |
Решение двойственной задачи (5.5.7) о максимальном угле поворота за фиксированное время построено п да ется формулами (5.5.11), (5.5.14) — (5.5.16). Зависимость (5.5.16) в силу положительности ©о(*) > 0 (см. (5.5.11), (5.5.15)) является строго монотонной: возрастает от 0 до оо при изменении 7 от 0 до оо. Следовательно, постро енное решение позволяет определить и решение исходной задачи (5.5.6) оптимального быстродействия. Для этого нужно по заданному к определить 7 как сдипствеппый кореиь трансцепдептпого уравнения (5.5.16).
§ S] |
|
|
З А Д А Ч А П Е Р Е О Р И Е Н Т А Ц И И Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А |
|||||||
3. Анализ |
решения. |
|
Конкретизируем и исследуем по |
|||||||
лученные |
формулы. Подставляя |
(5.5.11) |
в (5.5.13), по |
|||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш (,) = . » |
cn |
|
|
|
0 < i< m in (**,-§■), fc -p -, |
|||||
to (t) = |
ti |
|
|
|
|
|
; |
(Г > 2**), |
(5.5.17) |
|
(0 (/.) — |
CO.,, cn |
V a (r - |
+ 0 -, |
ma |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Лео* |
|
|
|
|
|
Если |
T ^ |
21 #, то угловая скорость сначала возрастает |
||||||||
от 0 до |
to* (на интервале (0, £* )), |
затем |
остается пос- |
|||||||
тояниой, |
|
а |
па |
интервале |
|
|
|
|||
(7'— £*, Т) убывает ОТ (0 it: |
до |
|
|
|
||||||
пуля. В случае T<2t* |
сред |
|
|
|
||||||
ний участок движения отсут |
|
|
|
|||||||
ствует, при этом toU)<co*. |
|
|
|
|||||||
Отметим, |
что па среднем уча |
|
|
|
||||||
стке происходит равномерное |
|
|
T t |
|||||||
вращение, |
при |
котором |
уп |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
равление |
компенсирует |
|
ги |
|
Рис. 5.7. |
|||||
роскопические моменты. |
На |
|
|
|
рис. 5.7 кривыми 2, 2, 3 изображены зависимости co(J)
для |
случаев |
Т < 2t *, 71= 2f *, |
Т > 2£* соответственно. |
В |
отличие |
от фуикцпи to(£) |
и a(t) зависимость оо(а) |
выражается в элементарных функциях. Для этого найдем da/da из (5.5.6) и проинтегрируем полученное уравнение при управлении (5.5.14). С учетом граничных условий (5.5.6) получим
■ to (а) = |
to* ^sin-^-j |
, |
а < min ^а*, ~2 )» |
||
to (а;= |
(о:1!, а* < |
а < |
у— а* |
(у> |
2а*), |
© (а)= to* J\sin — |
а) j ]/~, |
max ^y — а*, -|)<а<у, |
|||
|
|
а* = |
(я/4) Аа>1. |
□ (5.5.18) |
Здесь участки движения соответствуют участкам (5.5.17). Участок выхода угловой скорости на максималь ное зпачепно to * отсутствует, если у < 2 а * . Так как
238 |
У П Р А В Л Я Е М Ы Е |
В Р А Щ Е Н И Я Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А |
[Г Л . 5 |
Y < я, |
то используя |
выражения (5.5.18), (5.5.8) |
для |
постоянных а*, ©*, получим, что этот участок всегда отсутствует, если А > 2В.
Зависимость а(£) определена соотношениями (5.5.15) и сводится к вычислению функции аоU). Последнюю про
ще всего найти, исключая © из |
формул (5.5.17), |
(5.5.18) |
||
для первого участка движения |
|
|
||
а0 (0 = |
у |
arcsin [сп2 |
0 < t < |
f*, |
|
|
|
|
(5.5.19) |
с ( 0 = |
а* "Ь |
(^ — **)> |
|
|
Сравнивая (5.5.19) н (5.5.18), заметим, что aoit) < а* при t < £*. Подставим функцию (5.5.19) в соотпошеипе (5.5.16) и решим уравнение для Т. Рассматривая отдель но случаи у ^ 2а* и ч > 2а* и обращая эллиптический ко синус, получим
Т = 2£* —У24©*F ^arccos ^sin - ^ у /г,
Г < 2**, у < 2 а * , |
(5.5.20) |
Т = 2** + (у — 2а*) ©71 > 2t#, |
2а*. |
Решение поставленной задачи переориентации пол ностью построено. Время быстродействия определяется равенствами (5.5.20), угловая скорость — формулами (5.5.17) , (5.5.18), а угол а — (5.5.15), (5.5.19). Постоян ные г*, а* даны соотношениями (5.5.11), (5.5.18). Управ ление имеет вид (5.5.14), а его компоненты щО) могут быть найдены из уравнений (5.5.2).
Г Л А В А 6
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
В главе 6 рассматривается задача оптимального по быстродействию перемещения колебательных систем на заданное расстояние с гашением колебаний. В §§ 1—3 предполагается, что скорость перемещения системы огра ничена и может изменяться практически мгновенно (безынерционно). § 1 приведены постановки задач оп тимального управления. В § 2 дано решение задачи об оптимальном по быстродействию перемещеинп колеба тельной системы на заданное расстояние. В § 3 описано решение задачи о максимальном перемещении за фикси рованное время. Рассмотрены также квазпоптпмальпые режимы с фиксированным заранее числом переключении. Приведены оценки близости квазиоптпмальных режимов к оптимальным. § 4 посвящен задаче оптимального пере мещения двухмассовой колебательной системы при по мощи ограниченной управляющей силы. В отличие от §§ 1—3, здесь скорость перемещения пе может изменять ся скачком. Построено оптимальное и квазиоптимальное управление. Рассмотрена также нелинейная постановка задачи в случае больших колебаний. Материал §§ 1—3 основан на результатах работ [228, 198], § 4 — на рабо тах [38, 36]. Близкие по постановкам задачи были рас смотрены в работах [70, 140, 146, 171, 207, 239, 242, 250, 251, 259].
§ 1. Постановка задач оптимального перемещения
сгашением колебании1
1.Уравнения движения. Рассматриваемая механиче ская система представляет собой физический маятник, точ ка подвеса Р которого может двигаться вдоль горизонталь
ной прямой Ох (рис. 6.1). Обозначим через <р угол откло нения маятника от вертикали, через х — координату точ ки подвеса по осп х, отсчитанную от начального положе ния, через g —ускорение силы тяжести, через га— массу
240 |
П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
1ГЛ . О |
груза, через I — его момент инерции относительно точки подвеса, через L — расстояние от точки подвеса Р до цен тра инерции С. Направление отсчета угла указано на рис. 6,1. Считая колебания маятника малыми, запишем линейное уравнение колебаний под действием сил тяжести
и сил инерции
/ср = — тцLip+ mLw. (6.1.1)
Здесь w — ускоренно точки подвеса. Скорость v точки подвеса по условию
|
считаем |
ограниченной |
по величине |
||||
|
у0 > v > — УоК, |
Уо^О |
и |
^ > 0 — неко |
|||
|
торые постоянные. Поэтому имеем со |
||||||
|
отношения |
|
|
|
|
||
|
х = у, |
у=1У, |
Уо^ у ^ — УоК- |
(6.1.2) |
|||
При 7 = 1 |
имеем |
симметричные |
двусторонние |
ограни |
|||
чения на |
скорость, |
т. е. движение в |
обе |
стороны по |
осп х может происходить с одинаковой скоростью. В слу чае 7 = 0 движение возможно лишь в одну сторону; об ратные смещения точки подвеса не допускаются.
Движение системы начинается из покоя |
в момент |
t = 0 н заканчивается в некоторый момент t = |
Т, причем |
система снова покоится. Обозначая через а перемещение маятника, запишем зги условия в виде
ф(0) = ф(0) = я(0) = у(0) = 0,
(6.1.3)
ф(Я = ф(Г) = у(Г) = 0, х{Т) = а.
Направление оси х выбрано так, что а>0 . Соотноше ния (0.1.1) — (0.1.3) определяют уравнения движения си стемы, граничные условия и ограничения. Соотноше ния (6.1.2) предполагают, что скорость точки подвеса может изменяться практически мгновенно. Это предполо жение справедливо, если время изменения скорости на величину порядка v0 (время ускорения или торможения) мало по сравнению с периодом свободных колебаний си стемы. Такое предположеппе верно для ряда встречаю щихся па практике малых грузоподъемных машпп, у ко торых время выхода двигателя на стационарный режим