книги / Управление колебаниями
..pdf§ Я] |
УП РА ВЛ ЕН И Е СИСТЕМОЙ МАЯТНИКОВ |
341 |
Роль управлении в системе (8.3.5) играет скорость н, так что ограничение па фазовую переменную \v\< (i ста новится ограничением па управляющее воздействие.
Изменение управления vit) в двух точках не отразится на его оптимальности, поэтому условия и(0) = v°, viT) = О и (8.3.3) можно опустить (см. § 2 главы G). Управление vit) ищем в классе кусочно непрерывных функций. Урав нения (8.3.5) удобно записать в матричной форме
z = Az + bv,
и1 0 (1 ..
—(OJ (1 |
0 |
0 .. . |
|
О |
0 |
и |
1 . . . |
о |
о |
— ю; 0 .. . |
|
0 |
0 |
О 0 . . . |
|
0 |
о |
и |
0 .. |
0 |
и |
0 |
0 .. . |
1
0 |
0 |
0 |
|
ь |
0 |
о |
0 |
0 |
|
‘Pi |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
о |
0 |
, 2 = |
, |
Ъ= |
(J |
1 |
0 |
|
Н’п |
0 |
Л. о |
0 |
|
ф|, |
1 |
|
0 |
и |
0 |
|
X |
1 |
Здесь г — (2п + I )-мерный вектор фазовых коордипат, А и b — постоянные матрица и вектор соответствующих размерностей.
Для существования управления, решающего поставлен ную задачу оптимального по быстродействию перемещения системы (8.3.5) достаточно [117] выполыеипя следующих двух условий. Векторы 6, АЬ, ..., А2пЬ должны быть ли нейно независимы, а все корни X, уравнения det(A — %Е) должны иметь неположительную действительную часть.
Для проверки первого условия составим определитель, столбцами которого будут Ь, АЬ, ..., А2пЪ
0 1 0 - - © 2 о . . . ( _ 1)п- 1 ©2П-2 0
■1 |
0 |
- |
й)г |
0 |
(0* . . . |
0 |
( - 1)” ©Г |
0 |
1 |
|
0 |
--0 )2 |
0 . . . ( - и " - 1© * " - 2 |
0 |
|
1 0 |
— |
5 |
о ©2 . . . |
0 |
( - 1 ) Х |
||
0 |
1 |
|
о |
-- ©2 |
0 . . . |
|
0 |
1 |
0 |
— © 2 |
0 |
© * . . . |
0 |
(-- 1)П©2П |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 . . . |
0 |
0 |
342 П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И О П Т И М И З А Ц И И К О Л Е В Л И П П [Г Л . 8
Переставляя строки и столбцы данного определителя,
получим, что он с точностью до знака paRcii |
|
|||||||
1 |
|
. o f " 2 |
0 |
0 |
... 0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
1 |
(О2 |
• |
0 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
.... 0 |
1 со2 ... < |
— (<0L(0a |
... «„(У,,)2, |
|||
0 |
0 |
. .А) |
1 |
(о2 .. . ft)2" |
|
|
|
|
0 0 |
. .. 0 |
1 со- . . •< ’ |
|
|
|
|||
0 |
0 |
. .. 0 |
1 |
0 |
.. . 0 |
|
|
(8.3.0) |
|
» |
|
|
|
t— ^ 1 |
|
||
|
|
|
1 |
«!• .. (ofi-2 |
|
|
||
|
|
W n= |
1 |
“ I- ..(O f-2 = П |
(c°i ~ |
“ У- |
||
|
|
|
1 |
|
(О2 . . . (O f-2 |
|
|
|
|
Здесь Wn — определитель Вандермонда, |
Wn^ 0 в том |
и только в том случае, если среди частот он нет двух оди наковых.
Перейдем к проверке второго условия. В силу структу
ры матрицы Л уравнеппе det (Л — ХЕ) = 0 эквивалентно ураннепшо
k Д + tOi) = 0,
все корны которого имеют нулевую действительную часть. Следовательно, оптимальпое по быстродействию управ лений v(t) для задачи перемещения (8.3.5) существует,
если все маятники имеют различные частоты со< собствен ных колебаний.
При этом условии существует также и решение задачи об оптимальном по быстродействию гашении колебаний для системы (8.3.5). Задача гашения колебаний отличает ся от задачи перемещения тем, что х(Т) не фиксировано, поэтому в системе (8.3.5) можно опустить уравнение для х. Тогда в матрице Л и в верхнем определителе (8.3.0) выпадут последние строка и столбец, так что указанный
§ 31 |
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ МАЯТНИКОВ |
343 |
|
определитель будет ранен W«• |
Поэтому существование ре |
||
шения |
задачи оптнмальпого |
гашения колебании при раз |
личных о,- следует из нзложеппого выше.
Рассмотрим теперь задачу разгона. Требуется выбором управлении wit) перевести систему (8.3.2) из произвольно го начального положения в состояние поступательного дви жения без колебаний со скоростью viT) = с = (0, (}] за на именьшее время Т. Граничные условия при t = T имеют
вид |
грДТ1) = 0, viT) = с, i = |
l, 2, ..., п. |
|
срДУ') = |
|||
В ‘переменных (8.3.4) эти граничные условия запишут |
|||
ся в форме |
|
|
|
‘Pi (Т) = 0, |
\|?i(У) = |
— coi 2срi (Г) + |
(Oi *v (Т) = соi 2с, |
|
|
|
(8.3.7) |
|
1 = |
1, 2, ...,77. |
|
Рассматриваем задачу оптимального быстродействия для системы (8.3.5) с управлением vit) и с граничными условиями (8.3.5) при f = 0 и (8.3.7) при t = T. Уравне ние для х опускаем. Для доказательства существования оптимального управления достаточно [176] доказать су ществование допустимого управления (условие общпостп положения, как показано выше, здесь выполнено), пере водящего систему (8.3.5) из произвольного начального состояния в конечное состояние (8.3.7). Выше доказано существование управления, переводящего систему (8.3.5) из произвольного начального состояния (в том числе из состояпия поступательного движения) в состояние покоя; это — оптимальное управление для задачи гашения коле баний. Колебательная система (8.3.5) инвариантна по от ношению к замене t-*- — t. Поэтому существует также управление, переводящее систему из состояния покоя в состояние поступательного движения со скоростью с. Та ким образом, существует допустимое управление, перево дящее систему пз произвольного начального состояния в состояние поступательного движения (через состояние покоя). Тем самым доказало существование оптимального по быстродействию разгона системы маятников с различ ными частотами и*.
344 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ |
ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАН ИЙ |
[ГЛ. 8 |
Если частоты некоторых маятников совпадают |
(оц = |
|
= 0 j при каких-либо i, /), |
то поставленные задачи |
пере |
мещения, гашения колебаний и разгона, вообще говоря, не имеют решении. В самом деле, никакое управление v(t) ие может перевести две идентичные системы из раз ных начальных состоянии в одно и то же конечное со стояние в момепт t = T. Если же начальные условия для маятников с одинаковыми частотами со, совпадают, то пе речисленные задачи имеют решение, соответствующее меньшему числу маятников (идентичные маятники можпо рассматривать как одпн).
' В качестве примера построим управление, осущест вляющее разгон системы двух маятников из состояния покоя. Эта задача была исследована С. А. Михайловым.
2. Разгон двух маятников. Перейдем в урпвиспиях (8.3.5) к безразмерным переменным, выбрав в качестве единицы скорости Р, а в качестве единицы времепн TQ— величину, обратную панбольшей частоте
Л> = иГ\ vfc =с)Г2|Ч'1, * = 2У', z; = (5i/, / = 1, 2.
В штрихованных переменных уравнения движения (8.3.5) примут вид (штрихи далее опускаем)
Ь + Ь = у, \h+(o2b = v, (й~а*2<йТ1< 1. (8.3.8)
Предполагается, что скорость подвеса ограничена
т
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ МАЯТНИКОВ |
|
345 |
||
^ (Т) = |
т |
cos {Т — x)v (т) dx = О, |
|
|
j |
|
|
||
|
о |
т |
|
|
я|з2(Г) = |
|
0 ~2, |
|
|
оГ1 j sin [ 0 (Т — т)] и(т) dx = |
|
|||
|
г |
о |
|
|
'i>2 {Т) = |
cos [® (?’ — т)] v (т) с1х = О* |
|
|
|
j |
п |
(8.3.11) |
||
|
о |
|
|
|
В силу линейности системы оптимальным в смысле быстродействия будет кусочно постоянное управление, принимающее значение 0 или 1. Рассмотрим сначала ре жимы с двумя интервалами постоянства v (t):
и = 1 |
при 0 < |
£ < |
£i, t = |
Т, |
v = 0 |
при t = |
0, t\ < £ < |
£ < £i + £2 = Г. |
|
Подставим ото управление в соотпошенпя (8.3.11). |
||||
После интегрирования получим |
|
|||
cos ti — cos iti + ti) = 1, |
sin £2 = sin (£i + £ 2), |
|||
cos (0£г) — cos [ 0 |
(£I .+ £2)] = 1, |
|||
sin (CO£2.) = sin [<B(£I + |
£2 )]. |
|||
При 0 = (6m ± l ) -1, m = |
1, 2, ..., |
полученная система, |
как нетрудно |
проверить, |
имеет решения £1 = £2 = я/(3© ). |
Эти решения |
являются |
оптимальными, так как время |
разгона Т = t\+ £2. = 2лЛЗо) равно наименьшему време ни, за которое можно разогнать один маятник с наимень шей собственной частотой 0 < 1 (см. (7.2.15)).
В случае произвольного 0 оптимальное управление со держит большее число переключений. Построим управле ние с четырьмя интервалами: постоянства скорости, обо значая их длительности через U, £2, £3 , £4. На интервалах длиной £[, £3 имеем у = 1 , на остальных интервалах и = 0 , причем у(0) = 0, v(l') = 1 . Подставим v{t) в соотношения (8.3.11)
COS (£1 + £2 + £3 + £4) —COS (£2 + £3 + £4) +
+ COS ( £ 3 + £4) — COS £4 = — 1,
sin (£1 + £2 + £3 + £4.) — sin (£2 + £3 + £4) |
+ |
+ |
sin ( £ 3 + £4 ) — sin £4 = 0 ,- |
46 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИЙ КОЛЕБАН ИЙ |
(ГЛ. 8 |
||||||||
cos [co(ti + |
t i + |
и + |
и ) ] |
- cos [со(£2 + |
£3 + |
£*)1 + |
|
||
|
|
|
|
+ COS [o> ( ^ 3 |
+ |
£4)] — cos ( CO£4.) = |
— 1 , |
||
sin [coUi + |
£2 + |
£3 + |
£4 )] |
— sin [ 0 |
(£2 + |
£3 + |
£■*)] + |
|
|
|
|
|
|
+ sin [ 0 |
U3 + |
£4 )] — sin (co£4.) = 0. |
|||
Можно проверить, что для любого со полученная си |
|||||||||
стема имеет решение t\— £.*, £2 = £3 |
и |
приводится к виду |
|||||||
|
|
cos £2 — cos (£1 |
+ £2) = |
1/2, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.3.12) |
|
|
cos (со£2) — cos [ 0 U 1 |
+ £2)] |
= |
1/2. |
|
Система (8.3.12) отпосптельпо £1, £2 решалась па ЭВМ, Результаты расчетов приведепы на рис. 8.10. На рис, 8.10, п даны зависимости £1, £2 от со <= [0,2, II. Отме
тим, что при со = 0,2 режим с четырьмя участками по стоянства управления переходит.в оптимальный режим с двумя участками, при этом
со = (От — I )-1= 0,2, 171 = 1, £2 = £4 = 0, £1 = £ 3 = я/Зсо.
На рис, 8.10, б пткпяя кривая соответствует наимень шему времени 7’*, за котороеможно разогнать более длинный маятник с собственной частотой о, !Г* = 2зх/(3(о). Верхняя кривая 8.10, б дает время разгона двух маятни ков, полученное в результате численного решения систе мы (8.3.12), Т = 2(£i + £2).
§ 4] |
А М О Р Т И З А Ц И Я Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М |
347 |
§4. Оптимальна» амортизация динамических систем
1.Типичные задачи оптимальной амортизации. Важ ным классом прикладных задач оптимизации колебатель ных систем являются задачи, связанные с проектировани ем амортизаторов — механических устройств, служащих для защиты различных приборов и конструкций от виб рации и ударов. В современной технике широко распро странены объекты, движущиеся с большими ускорения
ми или подвергающиеся вибра |
|
|
|||
ции |
н |
ударным |
воздействиям. |
f ( x ,i ) |
|
В результате этого установлен |
|
|
|||
ные па таких объектах прибо |
1 ь Г ^ У у У |
У м |
|||
ры испытывают большие пере |
|||||
грузки, |
снижающие точность |
|
бШ |
||
работы приборов, а иногда и |
|
||||
|
|
||||
грозящие выходом их из строя. |
|
|
|||
Для уменьшения этих перегру |
|
|
|||
зок приборы крепятся к корпу |
Рис. 8.11. |
||||
су |
движущегося |
объекта не |
|||
жестко, а с помощью специаль |
|
настоя |
|||
ных |
технических |
устройств — амортизаторов. К |
щему времени выполнено много исследований, посвящеппых теории амортизационных систем. Изложение методов апалнза и оптимизации виброзащптных и противоудар ных систем, а также обширная библиография работ иа эту тему содержатся в монографиях [108, 109, 207, 266].
Возросшие требования к качеству амортизационных систем обусловили появление работ, посвящеппых пост роению оптимальных амортизаторов различных типов. Критерии оптимальности определяется целью аморти зации.
Приведем несколько типичных постановок задач опти мизации амортизационных систем. Рассмотрим механиче скую систему, состоящую из твердого тела, укрепленного в корпусе при помощи1амортизационного устройства. Кор пус двпжется прямолппейно, тело может перемещаться относительно корпуса в направлении его движения (рис. 8.11). Пусть массы амортизируемого тела и корпуса, в котором оно расположено, равпы соответственно т и М. Будем считать, что к корпусу приложена сила (неуправ
ляемое внешнее воздействие), зависящая от времени но
348 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 3
некоторому закону а(£). Сила /, с которой амортизатор действует на амортизируемое тело, зависит только от его смещения относительно корпуса х и относительной ско рости dx/dt. Конкретный вид функции fix, dx/dt) опреде ляется конструкцией амортизационного устройства, а сама эта функция часто в технической литературе называется характеристикой амортизатора.
Движение описанной системы определяется дифферен циальными уравнениями
Му + mix + у) = оШ, mix -I- у) — fix, х),
где у — смещение корпуса относительно инерциальной системы отсчета. Исключая из этих уравнений перемен ную у, получим уравнение, описывающее движение амор тизируемого тела относительно корпуса
g(0
М’
Часто при исследовании амортизационных систем предполагается известной не сила оШ, приложенная к
корпусу, а непосредственно ускорение корпуса y{t) как функция времени. В этом случае уравнение относитель ного движения амортизируемого тела имеет вид
(8.4.2)
В литературе, посвященной амортизационным систе мам, принято говорить о внешнем воздействии динамиче ского (силового) типа, если известна сила ail), приложен ная к корпусу, и о воздействии кинематического типа,
если известно ускорение корпуса yit) [109]. Из (8.4.1) и (8.4.2) вытекает, что в обопх случаях относительное дви жение амортизируемого тела описывается уравнением
x + uix, х) — Fit). |
(8.4.3) |
Здесь uiх' х) = —fix, х)/т, Fit) = —yit) |
в случае |
внешнего воздействия кинематического типа и uix, х) —
= —fix, х)/ц, F(t) = —ait)/M для динамического внешне го воздействия.
§ 4] |
АМОРТИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ |
349 |
Важнейшими величинами, определяющими качество амортизационной системы, являются максимум модуля относительного отклонения амортизируемого тела
«Л (ы»/'’) = max |я(£)| |
(8.4.4) |
<€Ч'о*°°)
и максимум модуля абсолютного ускорения (т. е. пере грузки) амортизируемого тела. Последний с точностью до постоянного множителя равен максимальному значению
абсолютной величины функции и(х, х)
(и, F) = max I и (х(1), х (£)) |. |
(8.4.5) |
Величины /], /г являются функционалами внешнего
воздействия Fit) п характеристики амортизатора uix, х). Через xit) в выражениях (8.4.4), (8.4.5) обозначено реше ние дифференциального уравнения (8.4.3), отвечающее заданным начальным условиям
x(t0) = х°, ж(<0) = х°. |
(8.4.6) |
Рассмотрим две типичные задачи оптимизации амор тизационных систем.
За д а ч а 1. Пусть движение системы описывается уравнением (8.4.3) с начальными условиями (8.4.6). Тре
буется среди определеипого класса Y функций и(х, х)
найти оптимальную характеристику амортизатора щ(х, х) такую, что
J\(«о» F) —min Л (ui Л» |
(«о» F) ^ U. |
«еу |
|
Такая задача была впервые поставлена в работе 174]. Эта постановка соответствует требованию минимизации габаритов корпуса при условии, что перегрузка пе пре вышает заданной величины U, гарантирующей надежную работу амортизируемого объекта.
За д а ч а 2. Среди определенного класса Y функций
и{х, х) найти оптимальную характеристику амортизатора
и°(х, х) такую, что
(в°, F) = min J, (и, F), Jl (в", F) < D.
350 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8
Эта задача соответствует требованию минимизации пе регрузки при ограничениях на допустимые размеры кор пуса. Задачи 1 и 2 являются двойственными друг к другу в том смысле, что, зная решение одной из mix, можпо с помощью несложного пересчета получить решение дру гой. Это вытекает пз мопотопной зависимости оптималь ного значения минимизируемого функционала в обеих задачах от параметра, описывающего ограничение. Реше нию задач 1 и 2 при различных внешних воздействиях посвящепы исследования [49, 50, 54, 55, 74, 77, 142, 190, 191, 206, 207, 254, 266] и другие.
Отдельно отметим так называемую задачу о предель ных возможностях, амортизации, состоящую в вычислении оптнмальпои характеристики u(t) как функции времени. При этом получается минимально возможное при задан ных начальных условиях значение критерия качества амортизации. Сравнение значений максимума перегрузки или отклонения, обеспечиваемых амортизатором той или иной конструкции, с предельно возможными позволяет сделать вывод об эффективности данного амортизатора и о целесообразности его применения. Решение задачи о предельных возможностях может быть использовано для приближенного синтеза оптимальной характеристики амортизатора в виде функции фазовых координат [266].
В оппсапных выше задачах функция FW, характери зующая внешнее воздействие, предполагалась заданной. Однако, практически редко имеется полная информация о законе изменения ускорения корпуса пли приложенной к нему силы, и целесообразно проектировать амортизацион ную систему в расчете на некоторый класс внешних воз действий. Рассмотрим две задачи о выборе оптимальной характеристики амортизатора, рассчитанного на класс внешних воздействий, являющиеся естественным обобще нием задач 1 и 2. Пусть относительно функции Fit) из вестно, что она принадлежит некоторому множеству Ф возможных внешних воздействий.
Зад ач а |
3. Найти |
оптимальную характеристику |
VQ(X, а :)еУ |
такую, что |
|
|
max Jx(у0, F) = min max / L(и, F), |
|
|
реФ |
u<=Y геФ |
max J8(i;01 F )< ,7 ,