книги / Управление колебаниями
..pdfГ Л А В А 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ С УПРАВЛЯЕМЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ
Б главе 4 исследуются задачи оптимального управле ния колебательными системами типа маятника с управ ляемым положением равновесия (точкой подвеса). Управ ляющее воздействие считается ма
лым, и применяется методика глав
2, 3.
В§ 1 приведено асимптотиче ское решение задачи оптимального управления пелипейными колеба ниями и вращениями плоского ма ятника. В качестве управления бе рется ускорение точки подвеса.
В§ 2 приводится решение ряда задач оптимального по быстродейст
вию управления движением механи |
Рпс. 4.1. |
ческих систем, содержащих линей |
|
ные и нелинейные колебательные звенья. Управление осуществляется при помощи регулируемого по скорости положения равновесия.
Основные результаты главы 4 опубликованы в работах [16, 201.
§ 1. Управление движением маятника посредством изменения ускорения точки подвеса
1. Постановка задачи управления. Исследуем управ ляемое движение маятника, точка подвеса которого О пе ремещается вдоль прямой Os (рис. 4.1). Уравнение дви жения математического маятника постоянной длины I пмеет вид (см. (2.1.20))
<р + gl~l sin ср = — sl~l cos (ф — б),
(4.1.1)
ф(£о) = ф°, ф(^)=ф°.
УПРАВЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИИ |
1ГЛ. 4 |
Здесь ср — угловое отклонение от вертикали, # — уско
рение сил тяжести; s — ускорение точки подвеса вдоль направляющей, наклоненной под постоянным углом б
к горизонту; to, ф°, ф° — начальные данные. Предполага ется, что величина задаваемого ускорения удовлетворяет
условию |
|
|
|
Введением |
безразмерной |
независи |
||||
мой переменной |
0 = g]/2l~W2(t —to) |
уравнение |
(4.1.1) |
|||||||
приводится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ф" + эшф = — енсовСф — б), |
|
(4.1.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ф(0) = |
ф°, ф '(0) = lW2g~l/2ф°. |
|
|
|
||||
Здесь штрих означает производную |
по 0, |
п введено |
||||||||
обозначение |
ей = sg~\ где е = wg~l < 1 |
— малый |
|
пара |
||||||
метр, М |
< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для применения развитой в главе 3 методики совер |
||||||||||
шим переход к переменным «энергия — фаза» |
при помо |
|||||||||
щи замены: |
Ф = |
ф0 (Е, г|>), ф' = |
ф^ (Е, \|>). Здесь фо, |
— |
||||||
общее |
решение |
порождающего |
уравнения |
(4.1.2) |
при |
|||||
е = 0; |
Е — энергия |
колебаний |
пли |
вращений, |
|
г|) = |
||||
= ы{Е)0 + ф0 — фаза |
движения, |
со(£ )— частота. |
Общее |
решение, как известно (см. § 4 главы 3), выписывается при помощи эллиптических функций.
Уравнения взомущепного движения в перемеипых Е, ф можно получить на основе известных интегралов невозмущешюго движения (см. (3.1.8), (3.1.9))
■-^- = — еиф'со.ч(ф — 8),
Е{0) = |
£« = |
i - |
i ‘ |
1 — COS ф°, |
|
d0 = ©(£) — |
|
|
|
|
|
- eu<p' cos (q> - |
8)j |
{ ^ 1 |
- |
р т |
4 4 0 )= 0 , |
' “ K |
1 - |
|
|
|
|
ф' = ± [2 (E + 1 + cos |
Q (4,1.3) |
§ И |
М А Я Т Н И К |
С |
У С К О Р Я Е М О Й |
Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А |
183 |
||
|
Здесь |
(й'{Е) = |
d<a/dEm, q>' = d(p/d0 есть функция |
от Е, |
|||
Ф, |
приведенная |
в (4.1.3). Она знакопостоянна в |
случае |
||||
вращении |
(Е > 0) |
и |
меняет |
знак в точках ф = ±ф 0, |
|||
Фо — arccos {—Е —1) |
в |
режиме |
колебаний (— 2 < Е < 0). |
Интеграл (4.1.3) для периода колебаний берется по зам кнутому коптуру в плоскости ф, ф7 для фиксированного
Е, |
а для вращений — по промежутку 0 < ф < 2я. Как и |
в |
формуле (3.4.2), здесь Е = — 2 в нижнем положения |
равновесия. |
|
|
Для стандартной системы (4.1.3) рассматриваются |
следующие задачи оптимального управлеппя на интервале 0е£(), Т], где Т = 0е-1, 0 ~ 1.
А. Задача с закреплснпым временем Т (см. |
(3.1.15)) |
± Ж Г )-»-min. |
(4.1.4) |
Б.Задача оптимального быстродействия по энергии,
Тне фиксировано (см. (3.1.14), (3.3.3))
Е {Т)=Е *, 0->m in. |
(4.1.5) |
Задачи А, Б являются двойственными и удовлетворя ют принципу максимума (см. §§ 1, 3 главы 3).
2. Построение решения первого приближения. Опти мальное управление и*, определяемое согласно (3.1.17), (3.1.18), в первом приближении имеет вид, аналогичный
(3.4.5) (см. и. 7, i§ 1 главы 3) |
|
и* = — sign [рф' cos (ф — 6)J. |
(4.1.6) |
Здесь р — переменная, сопряженная Е. Переменная, сопряженная быстрой фазе ij), имеет порядок е для всех 0<= [0, Т]. Поэтому в предположении р^О она полагает ся равной нулю при построении управления первого при
ближения.
Выпишем уравнение для усредненной переменной | и
граничное условие для задачи Б согласно |
(3.1.31), |
(4.1.3) —(4.1.6) |
|
i L = /(5 ,6 )sig n 4. Щ = £ ”, |
ш .7 ) |
т= £0<= [0, 0J,/(|, 6) = <|ф'соз(ф-б)1>,
Б.| (0 )= £ * .
Здесь £, г] — усредненные значения медленных перемелпых Е, р, а т — медлеппое время. Из (4.1.7) следует, что паилучший результат (минимальное значение функ-
184 |
У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я |
[Г Л . 4 |
ццопала в первом приближении) достигается при условии, что переменная ti принимает значения постоянного знака (знака Е* — Е°). Второе (скалярное) уравнение для г\ из (3.1.31) показывает, что такое решение имеет место, если параметр р положить равным нулю. В этом случае урав нение для г] однородно, и его нетривиальное решение не обращается в нуль. Таким образом, используя еще факт близости г| и р, а также краевые условия при т = 0, по лучим из (4.1.6)
и* = —sign [ф' cos (ф — 6)] sign г|,
(4.1.8)
A.sign т] = =F 1, Б. sign т) = sign (Е* — Е°).
Построенное приближенное управление (4.1.8) облада ет свойством локальной оптимальности: оно в каждый момент обеспечивает максимальную скорость изменения Е, ом. п. 4, § 2 главы 1.
Вычислим правую часть уравнения (4.1.7). В режиме
вращений маятника |
(£ > 0 , ф' > const > 0 ) находим |
||
2Я |
|
|
|
/ a(l,6) = 2i- j| 9 'c o s(9 -8 )| rft = |
|
||
о |
2Я |
|
|
|
|
|
|
- |
т |
? |
( 4ЛЛ) |
*, = У г (1 + |
2 Г 1/2< 1 , |
г 2 (?) = |
2к к (*,). |
Здесь /сг — модуль полного эллиптического интеграла первого рода К, Тг — период вращательного движения (см. (3.4.10)).
В случае колебаний маятника правая часть уравнения (4.1.7) равна
|
ф0 |
ф0-в |
|
/i(£ ,6 ) = T l i j |
J Icos (Ф — б) |^ф = |
j |
|coss| Ac, |
1 |
- ф0 |
1 -ф0- в |
|
Ф 0 = arccos (— l — 1), 3\(&)в |
4K (*i)i |
(4.1.10) |
fci=(i + 2)1/2//2.
Здесь T\ — период колебаний, к\ — модуль (см.
§ 1] |
М А Я Т Н И К С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В Е С А |
185 |
(3.4.9)). Разложением Icoszl в ряд Фурье [721 для функ ции 1\ получим выражение
+ 2 ; (4^ - i T ' sin12 ,' Ф о (l)1cos(2,6 )} ' ( 4 Л 1 1 )
При помощи выражений (4.1.9) — (4.1.11) можно по строить искомое решение, так как уравнение (4.1.7) инте грируется
С^
J 7 ~~(f* ,6)~ = -г sign г), 1<=[Я°, 1*], т е [0,0].
(4.1.12)
Здесь sign Vi берется из формулы (4.1.8). Из двух ве личии 0, 1* = 1(0), связанных формулой (4.1.12), одна задана (0 в задаче А, 1* = Е* в задаче Б), а другая является приближенным оптимальным значением функ ционала. Приближенные решения поставленных задач построены.
3. Анализ решений. Исследуем зависимость решений от параметра б s [0, я/21 (см. рис. 4.1). В режиме враще ний (1 > 0 ) на основании (4.1.9) функция h не зависит
от б. Дифференцируя по б зависимость (4.1.10) для ре жима колебаний, получим
± [ I cos (ф0 + 8) I - 1cos (<р„ - 8) |]. (4.1.13)
Если амплитуда фо принимает значения 0, я/2 пли я, что соответствует 1 = — 2, — 1, 0, то производная (4.1.13) равна нулю тождественно по б. В остальных случаях про
изводная |
(4.1.13) обращается в |
нуль лишь при 6 = 0 и |
|||
и б = я/2, |
следовательно, |
7i монотонно зависит |
от б и |
||
достигает |
максимума иа |
одном из копцов пптервала |
|||
6 s [0, я/21. При помощи (4.1.10) найдем |
|
||||
/ 1(5,0) = |
4ГГ1з1пч>„, |
|
- 2 < Е < - 1 , |
|
|
h (5, 0) = |
47Т1 (2 — sin<р ), |
— 1 < 5 < 0 , |
(4.1.14) |
||
Л(|, п/2) = |
4ГГ1 (1 — cos<р„), |
— 2 < | < 0 . |
|
18С |
У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М |
Р А В П О В Е С И Я |
[Г Л . 4 |
||||
Сопоставляя формулы (4.1.14), определим, что макси |
|||||||
мум |
Ji(£, б) по б |
достигается |
при 6 = 0, |
если |
£=5 — 1, |
||
Фо < |
я/2 и при б = |
я /2, если — |
1 < |
| < 0 , фо 5= я/2. |
|||
В |
режиме |
вращений (| > 0), |
а также |
при |
£ = — 2, |
||
£ = — 1, | = 0 |
правая часть системы (4.1.7) не |
зависит |
от б. Таким образом, скорость изменения d\/di в опти мальных режимах зависит от угла наклона направляю щей б следующим образом. Для колебаний малой ампли туды (ф0< я /2 ) наивыгодпеншим с точки зрептш эффек тивности управления будет горизонтальное перемещение подвеса (б = 0), для колебаний большой амплитуды (фо > я/2) — вертикальное перемещение (б = я/2), а для
вращений все углы равноправны. Если оба граничных
значения |
£(0)=2?°, = Ж 0) лежат в области |
| < — 1 |
(или | > |
—1), то с точки зрения быстродействия |
наивы- |
годнейшим будет 6 = 0 (б — я/2). |
|
|
Зависимости £(т, б), полученные для режима колеба |
||
ний в результате численного расчета по формуле |
(4.1.12), |
представлены на рис. 4.2. Здесь принято Е° = —2, т. е. началу движения соответствует нижнее положение равно
весия, |
и |
sign т\= 1 (задача максимизации энергии). Пара |
метр |
б |
принимает значения 6 = яг/12, причем i = 0 ,1 ,... |
..., 6 |
указано цифрами на рис. 4.2. Кривая с г = 1 не |
приведена, так как она практически совпадает с кривой для i = 0.
§ И |
М А Я Т Н И К |
С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А |
487 |
|||||
Отметим, что в нижпем положении равновесия |
(£ — |
|||||||
= — 2, |
фо = 0) функция |
1\ |
обращается |
в |
нуль |
(см. |
||
(4.1.10)), так что |
точка | = |
—2 |
является |
точкой покоя |
||||
уравпеиия (4.1.7). |
Однако |
при |
0 ^ 6 < я /2 |
существует |
единственное решение, не равное константе и попадаю щее (или покидающее) эту точку за конечное время (ана логично (3.4.11), (3.4.17)). В случае
же б = л/2 |
асимптотика |
при |
| |
8 , |
|
|
|||||
-+ — 2 |
будет |
иной: |
здесь |
7i ~ фо* |
# |
|
|
||||
а не ~ фо, как в общем случае (см. |
|
|
|
||||||||
(4.1.14)). Время движения в точку |
|
|
|
||||||||
%= —2 |
|
оказывается |
бесконечным. |
|
|
|
|||||
Поэтому на рис. 4.2 для кривой i = |
м |
|
|
||||||||
—6 принято |(0) = — 1,999. |
|
|
|
|
|||||||
Как и в § 4 главы 3, с помощью |
|
|
|
||||||||
зависимостей |
типа рис. 4.2 |
можно |
|
|
|
||||||
получить |
весь набор |
оптимальных |
|
|
|
||||||
траекторий задач А, Б для режима |
|
J |
j |
||||||||
колебаний. Для этого зададим б, |
5 |
||||||||||
выберем |
соответствующую |
|
кривую |
|
|
||||||
рис. 4.2 и найдем то, |
для |
которого |
|
|
|
||||||
£(то) = Е°<0. В случае задачи А от |
|
|
|
||||||||
найденного |
то |
отложим |
|
отрезок |
|
|
|
||||
Ат = 0 |
в сторону, противоположную |
|
|
|
|||||||
знаку в функционале (4.1.4). Если |
д |
1г |
гг'о |
||||||||
|(TO=F0) < 0 , |
то |
полученный |
отре |
|
• |
г |
|||||
зок кривой и будет приближенной |
|
Рис. 4.3. |
|
||||||||
оптимальной |
траекторией. В |
случае |
|
|
задачи Б конец траектории определяется значением 1 = = Е* < 0, а время быстродействия определяется из ус ловия | (то + © sign (Е* — Е0)) — Е*.
На рис. 4.3 приводятся зависимости 0(6, 1?°, Е*) вре мен оптимального быстродействия из точки %=Е° в точ ку £ = £* как функции угла б. Кривая 1 соответствует переводу маятника из нижнего положения равновесия в верхнее, т. е. Е° = —2, Е* = 0. Кривая 2 соответствует Е° = — 2, E* = — i , а кривая 3 — Е° = — 1, Е* = 0. Зави симость 1 получается сложением зависимостей 2, 3.
нс |
Для режима вращения правая часть уравнения (4.1.7) |
|
зависит от б. Усредненное уравнение (4.1.7), (4.1.9) |
||
с |
точностью до постоянного |
коэффициента п несколько |
юных обозначений совпадают |
с уравнением (3.4.13), под- |
188 |
У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я |
[Г Л . 4 |
робно исследованным в § 4 главы 3. Соответствующая зависимость энергии от времени поэтому получится из рис. 3.4 путем изменения масштаба.
4. Обобщения задачи управления плоскими движения ми маятника. Рассмотрим задачу оптимального управле
ния плоскими движениями фи зического маятника, точка под веса которого может переме щаться в вертикальной пло скости (см. рис. 4.4). Уравне ние движения имеет вид
( / + ml2)ср + mgl sin <p =
-= —тКх0cos ф + у0sin ф),
(4.1.15) где / — момент инерции маят ника относительно оси кача
ний О, I — расстояние от точки О до центра инерции маятника С, а х0> уо — координаты точки О. Остальные обозначения в (4.1.15) — те же, что и в (4.1.1). Аналогич но п. 1, уравнение (4.1.15) приводится к виду
ф" + БШф = — e(n*cos ф + |
sin ф), |
|
||
G = (mglV'HJ + т12)-"Ч, |
(4.1.16) |
|||
eu, = x0g~\ |
гиу= |
y0g~x. |
|
|
Здесь 0 — безразмерное время, |
еу„ |
гщ — малые уп |
||
равляющие воздействия по осям х, у. соответственно. |
||||
Уравнение для возмущенной энергии Е = -т^ф'2 — 1 — |
||||
— cos ф имеет вид |
|
|
|
|
Е '= — еф'(и,со8ф + Иувтф), |
Е(0) = Е° > — 2. |
(4.1.17) |
||
В п.п. 1—3 построено решение задач оптимального |
||||
управления (4.1.4), (4.1.5) с ограничениями |
|
|||
UyUx1 = tg б = |
const. |
(4.1.18) |
Рассмотрим теперь те же задачи А, Б для двух дру гих типов ограничений, когда область допустимых значе ний Ux, Щесть прямоугольник
I |
икГ |UZ\ < иуу |
ии —const > 0 (4.1.19) |
§ И |
М А Я Т Н И К С У С К О Р Я Е М О Й Т О Ч К О Й П О Д В ЕС А |
|
|||
ПЛИ эллипс |
|
|
|
|
|
|
n2i4 + 62n J< 1, |
a, 6 = const>0. |
(4.1.20) |
||
Для ограничений (4.1.19) приближенное оптимальное |
|||||
управление определяется |
подобно (4.1.8) и равно |
||||
|
ц* = |
—их sign (Г]ф' cos ф), |
(4.1.21) |
||
|
* |
о |
. |
, , . ч |
|
|
Hv = |
— щ |
sign (где' sm ф). |
|
|
Здесь |
sign г) указан |
в |
(4.1.8). Подставим |
(4.1.21) в |
|
(4.1.17) |
и усредним аналогично (4.1.7). Полученное усред- |
пеппое уравнение записывается при помощи функций (4.1.9)—(4.1.11).
|
В режиме вращений (| > 0) найдем |
|
|
||
I f |
= |
W + «•!) sign -л = |
sign т]. |
(4.1.22) |
|
|
Для режима колебаний (£ < 0) имеем |
|
|
||
|
% |
= [“S/i (I 0) + |
(h -f-)] sign |
(4.1.23) |
|
|
Из уравнений (4.1.22), (4.1.23) следует, что при |
= |
|||
= |
u® = 1 |
управление (4.1.21) |
более эффективно, |
чем |
(4.1.8). Соответствующие правые части уравнений (4.1.22),
(4.1.23) |
по абсолютной величине больше, чем (4.1.9), |
||||
(4.1.10). |
Это естественно, так как ограничение (4.1.19) |
||||
при Ux — Uy — 1 «шире», чем (4.1.8). |
|
||||
Для |
ограничений |
(4.1.20) |
усредненное уравнение |
||
(4.1.17) |
можно представить в форме |
|
|||
|
•g| = |
£i.e(S) sign-n, |
(4.1.24) |
||
|
|
|
|
||
L, (£) — < I ф' I (a3 c°s2Ф + Ъ%sin2 ф)-1/2>. |
|
||||
Приближенное оптимальное управление в форме син |
|||||
теза имеет впд |
|
|
|
||
и* = |
— (a2 cos2 ф + |
b2sin2 ф) |
1/2 cos ф sign rj, |
(4.1.25) |
|
и*у = |
— (а2 cos2 Ф + |
ъ2 sin2 ф)-1/3 sin ф sign тр |
|||
|
190 |
У П Р А В Л Е Н И Е П О Л О Ж Е Н И Е М Р А В Н О В Е С И Я |
1Г Л . 4 |
||
|
реяшме |
вращений функция Ь2 в |
(4.1.24) |
равпа |
|
|
|
а С Ь , |
(4.1.26) |
|
Lt © |
= 2яа-1JT* (I), |
a = b . |
|
Для режима колебаний функция Ь2 в (4.1.24) выра жается через полные и неполные эллиптические интегра лы. Ограничимся выражением для случая, когда область (4.1.20) — круг единичного радиуса [20]
Li (I) = 4ф0 (I) JT1 (I), ф, = arccos (— £ — 1). |
(4.1.27) |
Уравнения (4.1.22)— (4.1.24) интегрируются в квадра турах. Отметим, что управление (4.1.25) с ограничением (4.1.20) в виде единичного круга, как и следовало ожи дать, более эффективно, чем управление (4.1.8) для огра ничений (4.1.18). Это следует из того, что Z a > /i, L2> I 2 (см. (4.1.9), (4.1.14) и (4.1.26), (4.1.27)).
§2. Колебательные системы
суправляемым по скорости положением равновесия
1.Постановка задачи. Исследуется нелинейная коле бательная система с единственной обобщенной координа
той у. Система имеет изолированное положение равнове
сия у = х, |
которое может перемещаться со скоростью |
v. |
||||||
Потенциальная энергия системы ПЫ |
зависит |
только |
от |
|||||
относительного смещения z = у — х. Функцию |
ПЫ счи |
|||||||
таем достаточно |
гладкой и имеющей |
строгий |
минимум |
|||||
в точке |
z = 0; |
не |
ограничивая |
общности, |
полагаем |
|||
П(0) = 0. |
Движение |
системы описывается уравнениями |
||||||
у + F(y - |
я) = 0, |
y(0)=y°, |
y(0) = y°, |
|
||||
|
|
|
х = i?, |
я(0) = |
ж0, |
|
(4.2.1) |
|
|
F = дЛ/ду, |
Vi ^ |
v < |
v2. |
|
|
Здесь индексом 0 отмечены пачальпые данные, щ, v2— постоянные. Так как точка z = 0 (у = х) — точка изолированного минимума ПЫ, то F(0) = 0, a zF(z) > 0 в некоторой окрестности этой точки.