книги / Управление колебаниями
..pdf§ 3J ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ Ю1
Покажем, что это трансцендентное относительно 0 урав нение допускает много корней. Их число при некоторых до полнительных предположениях стремится к бесконечности как в-1 при в —»-0, а расстояние между соседними корня ми порядка е.
Рассмотрим уравнение (2.3.15), в котором |
отброше |
но слагаемое (9(e), и функция /* заменена на |
</J> из |
(2.3.12). Предполоягам, что такое уравнение допускает
простой |
вещественный корень 0 О, и |
перепишем уравне |
|||
ние (2.3.15) без члена 0(e) в виде |
|
|
|||
О]”, </;>)e - ^ |
u? - |
<я, м ) и = - |
( < /* _ |
</0*>)е. |
|
|
|
|
|
|
(2.3.16) |
Здесь аргументы для краткости не указаны (см. |
|||||
(2.3.15)). |
Правая |
часть |
уравнения |
(2.3.16) |
как функ |
ция 0 является вследствие зависимости от ф (см. (2.2.26), (2.2.27)) быстро осциллирую щей с частотой ~ в-1, с амп литудой порядка единицы и с малым средним ~ в. Так как функция аргумента 0, стоящая в левой части урав нения, по предположению обращается в нуль при 0 = = 0о, то отсюда следует спра ведливость сделанного вы ше утверждения о поведении корней уравнения (2.3.16).
Изменение правой (осцил лирующей) и левой частей
уравнения (2.3.16) как функций 0 представлено на рпс. 2.2.
Рассмотрим теперь исходное уравнение (2.3.15) с учетом члена 0(e). Так как по предположению корень 0о усредненного уравнения —■простои, то учет членов порядка в приведет к изменению корня во на величину также порядка в. Поэтому установленные свойства кор ней справедливы н для точного уравнения (2.3.15). От сюда следует неединственность решения краевой задачи принципа максимума.
102 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
Отметим, что искомые корпи 0 уравнения (2.3.15) определяются с достаточной для построения первого приближения погрешностью 0(e), если член 0(e) в этом уравнении опустить. Решение задачи оптимального уп равления может быть получено из условия минимума приближенного значения функционала (2.3.2) по множе ству корней уравнения (2.3.16)
|
/J — min ^ (те, £(0, 0)), |
т© = 0 4-тго. |
(2.3.17) |
Условие (2.3.17) служит для |
определения |
парамет |
|
ра 0 в решении первого приближения. |
|
||
4. |
Определение параметра |
0. Не уменьшая точности |
|
по медленным переменным и функционалу, величину 0, |
|||
как и другие величины, достаточно определить с погреш |
|||
ностью порядка е. Тогда допустимое множество значений |
{0} можно считать непрерывным, потому что в е-окрост- ности любого такого значения, как установлено в п. 3, находится корень точного уравнения.
Перепишем уравнение (2.3.16) в виде |
|
|
(л". </о>)е — я и - №. Щ е + V (Те) и = |
0. (2.3.18) |
|
Здесь правая часть уравнения (2.3.16) заменена сла |
||
гаемым V (T 0) X . В уравнении (2.3.16) эта |
правая часть |
|
была быстро осциллирующей функцией 0 |
с |
амплитудой |
порядка единицы и малым ( ~ е) средним. Далее, учи тывая отмеченную возможность выбора 0 из непрерыв ного интервала, можно считать х не зависящим от 0 параметром, принимающим значения в интервале [xi, хг), включающем точку х = 0. Не нарушая точности, бу дем поэтому рассматривать уравнение (2.3.18) как связь между параметрами 0 и х и искать минимум функциона
ла (2.3.17) при условии (2.3.18). Считая |
0 |
функцией |
х, |
|
потребуем, чтобы |
величина фунционала |
/ 0 |
(2.3.17) |
до |
стигала минимума по х е [хь у,2] |
|
|
|
|
Jo (*) = |
8 Ы (х), I (0 (х), 0 (х))) |
min. (2.3.19) |
||
|
далее, что функция Jo |
|
X |
|
Предположим |
из |
(2.3.19) |
яв |
ляется гладкой. Тогда необходимое условие минимума имеет вид
dJ0 (х) = |
\де , ( дв |
di(в, |
в))] |
ю_ = 0 |
(2.3.20) |
dK |
L0т ’M as’ |
dQ |
/Je(x) At |
|
§ 31 |
ЗАДАЧИ ТИПА |
ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
ЮЗ |
|||||||||
Пусть |
соотношение |
(2.3.19) |
между |
© п н |
осущест |
|||||||
вляет взаимно однозначное соответствие, т. е. |
|
|
|
|||||||||
£ |
- ( ж )-1 -+ {* [ (ч * * < й > ) - |
й - + ( v £ ) ■- |
|
|||||||||
- |
v i |
foi". < |
/ |
» |
* |
» |
- |
£ |
+ |
(2.3.21) |
||
G учетом (2.3.21) |
условие (2.3.20) приводится к виду |
|||||||||||
|
|
^о(в) |
i l l |
, f d g I |
|
d l ( Q , Q ) \ |
|
(2.3.22) |
||||
|
|
~ Ж ” |
= |
|
+ |
|
|
d0 |
j |
’ |
||
|
|
|
f>'o(0) = |
S(*e,S(®, ©)). |
|
|
|
|
||||
Так как согласно (2.3.11) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ж | в |
= |
4" |
1^ ’ |
|
|
|
|
|
|
то для искомой производной (2.3.22) имеет место пред ставление
^ £ L - - g | e - ( n * . < / : » . + | е % ^ ) (2-3.23)
Подставим в правую часть (2.3.23) выражение для (т|°, </о>)е» определяемое уравнением (2.3.18)
|
|
M o(©) = ^ (i:e ,| (0 , ©)). |
|
|||
Согласно |
(2.3.11) |
Жо(0) = О тождественно |
по 0, |
|||
поэтому |
dM[a/d® = 0. |
В |
результате |
для производной |
||
(2.3.22) |
находим выражение |
|
|
|||
|
|
£о (© ) = |
V (T 0 ) и . |
|
(2.3.24) |
|
С учетом |
(2.3.24) |
необходимое |
условие минимума |
|||
(2.3.20) имеет вид |
|
|
|
|
||
|
|
/ ^ (* ) = |
© ' (W) V (T 0) X = |
0. |
(2.3.25) |
Здесь функции ©(и) и т0 = 0 + то определяются из уравнения (2.3.18). Так как V > VQ> 0, то на основанпи
104 |
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2 |
предположения (2.3.21) из (2.3.25) следует, что х = 0 является точкой возможного экстремума для Jt. При условии
0'(О) > 0 |
|
(2.3.26) |
|
значение у. = 0 — точка локального |
минимума |
функции |
|
Л ) Ы . |
(2.3.25), |
запишем |
условие |
Пользуясь выражением |
|||
глобального минимума функции 7оЫ) в точке х = О |
|||
и |
|
|
|
/ » (х) - /о(0) = JV (0 (*') + |
Т.) - ^ 1 |
x'dx’ > 0. |
(2.3.27) |
О
Полученное неравенство может быть преобразовано при помощи соотношения (2.3.18), заннсаипого следую щим образом
- р(0(х)) + v(0(x) + то) = 0, |
(2.3.28) |
р (®) - [J? - (*• З г ) ~ (’1"- </!>)].. |
- * (в)- |
При помощи равенств (2.3.28) неравенство (2.3.27) |
|
может быть записано в виде |
|
еJ p (0 ')d 6 '> O . |
(2.3.29) |
6 ( 0) |
|
Здесь функция р(0) известна, если построено решение краевой задачи (2.3.13) первого приближения для всех 0. Через 0(0) обозначен корень уравнения (2.3.18) для
х= 0.
5.Заключительные замечания. Если условие (2.3.29) выполнено, то 0(0) является оптимальным значением мо мента окончания процесса управлепия в первом прибли жении. Тем самым завершается процедура построения оптимального решения первого приближения для случая гладких систем. Алгоритм решения задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи (2.3.11) относительно 2п переменных £, ц на ограниченном ин
тервале изменения независимой переменной 0 е [ 0 о> @(0)]. С погрешностью О(е) минимальное значение функциона ла (2.3.2) равно (2.3.19) при х = 0, а оптимальное управ ление получается подстановкой найденных выражений (2.3.13) для а = |, т|) = ф, р — т], q = 0 в функцию (2.3.6).
§ 3] |
ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
Ю5 |
||
от |
Как отмечалось ранее, если функция |
</0> не зависит |
||
т, то интегрирование |
канонической |
системы (2.3.11) |
||
значительно упрощается, |
так как она |
консервативна и |
имеет первый интеграл к0 = (ц, </®> (£, rj)) = const. Ре шение задач оптимального управления колебательными системами с одной степенью свободы в этом случае при водится к квадратурам. Если же фупкции g и М не зави
сят |
от т, то 0 — корень уравнения ко= 0 при 0 = 0(и). |
При построении более высоких приближений допусти |
|
мые |
значения 0 образуют, вообще говоря, дискретное |
множество (0). В этом случае оптимальное значение 0 находится из условия минимума функционала (2.3.2), вы численного с соответствующей точностью, по дискретно му множеству (0).
Как отмечалось выше, решение краевой задачи прин ципа максимума для высших приближений строится при фиксированном значении 0 аналогично § 2 на основе первого приближения. Постоянные интегрирования опре деляются в виде разложений (2.2.47) из краевых условий типа (2.2.46).
При построении оптимальных управлений в §§ 2,3 предполагалось, что функция и* из (2.2.4) или (2.3.6) оп« ределястся условиями (2.2.3) и ли (2.3.4) однозначно и является достаточно гладкой 2я-исрподической по “ф функцией. При этих предположениях возможно примене ние известных схем усрсдпопия по быстрой фазе *ф, что привело к упрощению краевой задачи принципа макси
мума.
Задачи оптимального управления с ограничениями на управляющую функцию и впда и е U часто приводят к разрывным (в частности, релейным) функциям времени. В этих случаях значения и в моменты разрывов опреде ляются неоднозначно. Наличие разрывов у правых частей уравнений принципа максимума ограничивает примени мость метода усреднения. Усреднению систем с разрыв ными правыми частями посвящены работы [188, 244].
Изложенная в §§ 2, 3 методика формально может быть использована также и в задачах с разрывными уп равлениями (для построения первого приближения). Ос новная трудность при этом связана с возможностью осо бых или скользящих управлений, которые требуют спе циального рассмотрения. Один из таких примеров
106 |
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2 |
рассмотрен вп.5 § 2. Ниже будут приведены асимптоти ческие решения ряда других задач с разрывными опти мальными управлениями.
6. Управляемая колебательная система с одной сте пенью свободы. Рассмотрим некоторые постановки задач оптимального управления колебаниями квазилинейной системы (2.2.50), приведенной к стандартной форме (2.2.52). Как и в п. 5 § 2, рассматривается случай линей
ной по и функции / = /о(т, я, x) + D(x)u. Коночное мно гообразие (2.3.1) будем задавать в разрешенном относи тельно амплитуды колебаний а виде
Д/(т, а) = а—а(т), а(т) ^ ао > 0. |
(2.3.30) |
Здесь а(т) — заданная функция. Возьмем интеграль ный критерий качества управления
т
/ |
= |
в J [у (т) + |
G (т) и2] dty |
(2 3 31) |
т = |
et, |
у > у0> |
0, G> G0> |
0. |
Первый член в функционале (2.3.31) учитывает поте ри времени, а второй характеризует расход ресурсов уп равления. Введением дополнительной медленной пере менной 6, изменяющейся согласно уравнению
Ъ= в['у(т) + G(T)U2], |
6(0) = |
0, |
(2.3.32) |
функционал (2.3.31) приводится |
к виду |
(2.3.2), |
причем |
g = b. Отметим, что 6 — циклическая переменная. Поэто му сопряжепная ей переменная р\ постоянна и, вслед
ствие условия |
трансверсальности |
(2.3.3) |
имеем р\^ — 1. |
|
В результате |
оптимальное управление |
и* |
определяется |
|
прежним выражением (2.2.55), |
а функция |
Гамильтона |
отличается от Н из (2.2.54) на величину — у(т). Рассмотрим усредненную краевую задачу первого
приближения согласно (2.3.11), (2.3.18). Уравнения для усредненных переменных |, г), отвечающих а, р, имеют вид (2.2.57). Начальные и краевые условия согласно
(2.3.11) |
запишутся в виде |
|
|(0) = |
а°, |(в) = а(0), ф(0)=1|)°, 6(0) = 0 . |
(2.3.33) |
§ 31 |
ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
Ю7 |
|||||||
|
Условие (2.3.18), связывающее параметр х и момент |
||||||||
окончания процесса 0, задается соотношением |
|
|
|||||||
|
2' . |
* V ! l |
_ |
L |
. 8v*C ] |
e_Je |
|
( Т + |
|
|
— т|0а ' (Te) + |
v (т©) x = 0, |
x© = |
0. (2.3.34) |
|||||
|
Здесь первое слагаемое отвечает правой частп уравне |
||||||||
ния (2.2.57) для |
а |
второе — усредненному |
уравнению |
||||||
(2.3.32) при р1 = |
— 1. |
(2.3.31), |
|
|
|
1. |
|||
|
Функционал |
J из |
подлежащий минимизации |
||||||
но х (см. (2.3.19)), при помощи (2.3.32) приводится к |
|||||||||
форме |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•М*) = |
Д т + |
-| ^ -)'Ю - |
(2.3.35) |
||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Здесь подставлено выражение (2.2.55) для и*, а так же р = т|, q = 0 и проведено усреднение по я|).
Таким образом, требуется проинтегрировать прп за данном значении 0 систему уравнений (2.2.57) для усло вий (2.3.33), а затем определить величину 0 из (2.3.34) при значении х, доставляющем минимум функции (2.3.35).
Рассмотрим частный случай, когда (см. п. 5 § 2)
/о *= — 2%х + цх3, |
G — D = 1, v, ч, а, х» И- = const. (2.3.36) |
|
Решение краевой задачи (2.2.57), (2.3.33) имеет вид |
||
(2.2.61), где |
8v2%(a - a°e“x0)(l - е"2*0)"1. |
(2.3.37) |
т]° « |
Разрешим квадратное уравнение (2.3.34) относитель но т]° и подставим полученную зависимость т)°(х) в ра венство (2.3.37). После этого ■получим квадратное урав нение относительно величины z = е_х0, положительное решение которого имеет вид
*1.2<1,
(2.3.38)
Cl.2 (*) |
У — УН \ 1/2] |
||
4 - [ а * ( “ г + 2 V 2X 2 |
] f |
||
|
Здесь в выражении для с1,2 знак плюс соответствует положительному значению г)° в (2.3.37), т. е. задаче уве личения амплитуды колебаний (при этом a = а(Т) > а0),
108 |
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2 |
|||
а |
минус — се |
уменьшению (а < а0). |
При |
а = а0 |
имеем zi,2 = l, |
что отвечает 0 j,2 = |
O. |
Формула |
(2.3.38) определяет зависимость 0(х). Допустимые значе ния параметра х определяются условиями положитель ности подкоренных выражений в (2.3.37).
Докажем, что оптимальному решению отвечает значе
ние х = 0. Для этого согласпо условию |
(2.3.25) достаточ |
|||||
но доказать неравенство 0 '(х )> О |
для |
всех |
допустимых |
|||
х, что эквивалентно неравенству dz,/c£x< 0, |
i ~ |
1, 2 (см. |
||||
(2.3.38) |
). Так как dc\/d%<0, a |
dc2/d x > 0, |
то |
z j( x ) < 0 |
||
для i = |
l, 2, если dz\/dc\>0 нли |
dz2/dc2< 0. Производ- |
||||
пая dzjdci согласно (2.3.38) равна |
|
|
|
|
||
|
сТг [5 i - |
- Ai (Ч,А\ + |
1 - |
Л*)1' 3] |
|
|
|
|
2('UA* + i - B i)1'* |
|
’ |
(2.3.39) |
Ai = a?cir> Z?i = acr\ £ =1,2 .
Рассмотрим сначала для определенности задачу уве личения амплитуды колебаний: а0< а. С учетом выбора
знака в |
(2.3.38) имеем с\ > х/2а. |
Параметры А\ч В\ в |
|
(2.3.39) |
при этом удовлетворяют |
неравенствам: |
0 < >1| < |
< i? i< 2 . |
Можно показать, что при этом условии |
произ |
водная (2.3.39) положительна: dz\ldc\ > 0. Для задачи об уменьшении амплитуды колебаний рассмотрим частный
случай |
полного гашения колебаний а = 0. Так |
как |
при |
|
этом в |
(2.3.38), (2.3.39) имеем |
В2= 0, А2< 0, |
с2< |
0, то |
из (2.3.39) получим dz2/dc2< 0. |
|
|
|
Тем самым в обоих случаях доказана оптимальность зпачения х = 0. Подставляя х = 0 в (2.3.38), имеем иско мое оптимальное значение 0 = 0(0) момента окончания процесса управления. Выражения (2.2.61), (2.2.66), (2.3.37) определяют оптимальное управление и траекто рию. Минимальное значение функционала в первом при ближении согласпо (2.3.35), (2.2.67) равно
n02
J0(0) = V0 (0) + - ^ 4 - [1 - lOv x
Сравним полученное решение задачи с функционалом (2.3.31) без ограничений на управление и с решением за дачи быстродействия для той же системы при ограниче ниях вида Ы < н0Для простоты рассмотрим случай X = 0 в (2.3.36). В этом случае искомые величины можно
§ 31 ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 1()9
получить предельным переходом при Однако про ще вновь построить решение на основе усредненной си стемы (2.2.57). Подставляя в систему (2.2.57) равенства
(2.2.60), у„ = 0, (2.3.36) |
н интегрируя ее |
при краевых ус |
|
ловиях (2.3.33), получим |
|
|
|
I = V.,V-2II°T + я0, |
1! - |
п° = - 4v2(a° - а)©"1. (2.3.40) |
|
Уравпсшго (2.3.34) |
в |
даппом случае |
имеет вид ц02 = |
= 8v2('y — V'/.). Подставляя в него т)° из (2.3.40) и полагая к = 0 , находим момент окончания оптимального процесса
0 = 0 (0 ) = via0 - al (2/ч)\ |
(2.3.41) |
Онтнмалыюо управлепие в первом приближении опре деляется формулами (2.2.66) прп % = 0, (2.3.40), (2.3.41) и равно
и* — V2V V cos ф = (2,i(),/,[sign (a — a0)] cos ф. (2.3.42)
Решим теперь задачу быстродействия для рассмотрен ной выше системы. Вместо функционала (2.3.31) имеем функционал н ограничения
/ = 0 - * - т т , M < u o , |
(2.3.43) |
а все остальные условия — те же, что и выше. Следуя хо ду решения задачи из п. 5 § 2, получим усредненную краевую задачу первого приближения (2.2.70) в виде
Ц - = - ^ signal, 4 = const, |
(2.3.44) |
£(0) = в*. |(0) = о.
Краевая задача (2.3.44) пмеет решение в том и толь ко в том случае, если sign ц = sign (a — a0):
J = 0 =■ т т |ос — a° |. |
(2.3.45). |
2u |
|
Уравнепис (2.3.18) в даппом случае имеет вид
2и
| i!| - l + vx = 0
иудовлетворяется при произвольном rj за счет выбора х. Управление первого приближения согласно (2.2.71),
(2.3.45) равно
и* = «о sign [(a — a0) cos ф]. |
(2.3.46) |
HO УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2
Пусть времена окончания процесса для обоих поста
новок одинаковы. Приравнивая |
выражения |
0(0) |
из |
|||
(2.3.41) и 0 из (2.3.45), находим |
|
|
|
|||
|
в0 = (я/2)(ч/2)%. |
(2.3.47) |
||||
Вычислим |
квадратичный фупкцпонал, характеризую |
|||||
щий расход ресурсов, для |
обеих |
решенных задач. |
Для |
|||
первой задачи |
(2.3.31) |
на |
основе |
с о о т н о ш е н и й |
(2.3.41), |
|
(2.3.42) получим |
|
|
|
|
|
|
в(о) |
u*2dr = |
у© (0) = v (2у)1/а(а0— а). |
|
|
||
J ,= J |
(2.3.48) |
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла (2.3.48) проводится аналогично (2.3.35). Для второй задачи (2.3.43) па основании (2.3.46),
(2.3.47) получим |
Jв и*Ы% = ^ (2у)1/21а0- а |. |
|
/ 2 = |
(2.3.49) |
|
|
о |
|
Сравнивая интегралы (2.3.48), (2.3.49), находим, что |
||
h/I\ = л2/ 8 > 1, |
т. е. управление в первой задаче более |
экономично расходует квадратичный ресурс управления.
..Интересно отметить, что |
точно такой же результат |
hlh = пУ8 получается и для функционалов вида |
|
в |
|
I = j |
|и* |йт, |
о |
|
представляющих собой расход импульса управления. Та ким образом, управление, полученное при решении пер вой задачи, более экономично расходует интегральные ресурсы управления.
§4. Управляемые колебательные системы
смедленно изменяющимися параметрами1
1.Маятник переменной длины. Рассмотрим задачу оп тимального по быстродействию изменения амплитуды ма лых колебаний плоского маятника за счет перемещения точки подвеса вдоль горизонтальной направляющей (см. рис. 2.1). Исходные предположения и уравнения движе
ния приведены в п. 3 § 1 главы 2. Полагая = 0 в урав-