книги / Управление колебаниями
..pdf§ 3 ] |
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МЕТОДА |
31 |
Здесь Ait) = dfix^it), t)/dx — матрица пХп с компо нентами dj\ (a;0(£), t)/dxj, А* (t)— транспонированная ей матрица. Решение задачи (1.3.8) обозначим через р°(£). Введем обозначения
gc(t, и) = |
(pe(t), fix'd), t, и)), |
,. |
. |
g4t,u) = |
(p4t),f(x°(t),t,u)). |
|
} |
Из общих соображений следует, что на ограниченном интервале времени справедливы оценки
x'it) = x°(t) + 0(e), p'it) = p°(t) + 0(e).
Так как при этом g'it, и) = g°(t, и) + 0(е), то естест венно искать приближенное к оптимальному ifit) управ ление и°(£) из соотношения (см. (1.3.7), (1.3.9))
8° (*, (t)) = max |
(£, и). |
(1.3.10) |
usи |
|
|
Здесь u°(t)—управляющая |
функция, |
реализующая |
максимум (1.3.10). Из леммы (см. [65], стр. 172) следует, что существует измеримая функция u°(t), для которой равенство (1.3.10) выполняется почти всюду. Эта функ ция будет допустимым управлением. Функция u°(t), оп ределяемая из (1.3.10), может быть неединственной; в этом случае берется произвольная измеримая функция, удовлетворяющая (1.3.10). Ниже оценивается близость по функционалу управлений u4t) и ifit).
2. Вспомогательные утверждения. Пусть выполнены следующие условия:
1)функции fix, t) и fix, t, и) дважды непрерывно дифференцируемы по х и непрерывны по t, и;
2)функция hix, t) дважды непрерывно дифференци
руема |
по х, f; функция q>°(t) s h(x°(t), |
t) обращается в |
||
пуль в момент Т* > to, причем <p°(f) Ф 0 для t е |
[£0) Т0] и |
|||
|
|
ц>ЧТ°) Ф 0; |
|
(1.3.11) |
3) |
существует такая постоянная Ь> 0, что |
для всех |
||
e e [ 0 , |
e j, для всех |
допустимых управлений и |
для лю |
|
бых |
у*], где |
Г* — некоторый |
момент |
времени, |
больший Т°, справедливо неравенство |
|
|
||
|
|
| 4 ( * ) ! < ! > ; |
|
(1.3.12) |
32 |
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |
|
|
1ГЛ.1 |
|||
|
4) функция Fix, t) дважды непрерывно дифференци |
||||||
руема по х, t; |
существует оптимальное |
уп |
|||||
|
5) для всех е ^ (0, ео! |
||||||
равление u'it). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда справедливы утверждения. |
и для любых |
допу |
||||
|
Лемма 1.3.1. Для всех |
е е [0, |
e j |
||||
стимых uit) имеет место оценка |
|
|
|
|
|
||
Ь4 (*) - 1*' (*) + exi (*)] |< |
Ь,е*. |
*s |
[t0, Т*1, |
(1.3.13) |
|||
где |
xl. (t)—решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
i i |
= A(t) xl + f1 (x° (t), t, u(t)), |
xl (*0) = |
0. |
(1.3.14) |
|||
|
Здесь b\— постоянная, не зависящая от выбора uit). |
||||||
|
Доказательство леммы |
1.3.1 |
проводится с |
помощью |
|||
стандартных рассуждений, |
используемых |
при |
оценке |
близости приближенного решения регулярно возмущен ной задачи Коши (см., например, [224]). Двукратная дифференцируемость функций /° и /* по ж (условие 1))
позволяет представить решение жй(£)*с точностью до членов порядка е2; уравнение (1.3.14) также получается разложениями метода теории возмущений. Факт равно
мерности |
оценки |
(1.3.13) |
устанавливается |
при помощи |
условия |
(4.3.12). |
|
|
управления |
Лемма 1.3.2. Для любого допустимого |
||||
uit) и достаточно |
малого |
значения е*, 0 < е * < с .о , су |
||
ществует момент времени |
такой, что траектория хиЩ |
достигает терминальной поверхности hix, t) = 0, причем
Смысл и доказательство леммы 1.3.2 достаточно оче видны. Все траектории системы (1.3.1) лежат в е-окрест- ности траектории x°it), которая вследствие (1.3.11) с не нулевой скоростью пересекает терминальную поверх ность (4.3.2) в момент времени Т°. Поэтому при доста точно малых е* все траектории системы (1.3.1) также достигают терминальной поверхности в момент времени
Ти , отличающийся от Г° на величину порядка е <= [0, е*]. Лемма 1.3.3. Для е ^ [0, е*] и всех допустимых uit)
справедлива равномерная оценка
\т1 - (г ° + s r i) | < b 2e4. |
(1.3.15) |
§ з] |
ОЦЕНКА |
ТОЧНОСТИ МЕТОДА |
33 |
|
|
|
|
Здесь |
Т\— постоянный коэффициент, равный |
|
|
|
Т' и = - \ Ох |
} фО ^ прп » = Г , |
(1.3.16) |
а постоянная Ъ2 по завысит от выбора е и u(t). Доказательство леммы 1.3.3 проводится па основании
оценки (1.3.13) |
п условия |
(1.3.11). |
Из (1.3.3) |
следует |
уравнение для |
Ти |
|
|
|
7t) = |
|
|
|
|
- Ф* (К ) I- £ ( £ А (*• (П ). К ). *1 (П )) + О (е2) = 0. |
||||
|
|
|
|
(1.3.17) |
Решение Ти |
уравпешгя |
(1.3.17) |
строится |
в виде |
7 « = 7’°+ еТ’и -fs 2. . ,;в результате подстановки в (1.3.17)
для Ти получается выражение (1.3.16). Равномерность оценки (1.3.15) устанавливается па основе непрерывной дифференцируемости функции ф°Ш и условий (1.3.11), (1.3.12).
Лемма 1.3.4. Для всех допустимых управлений u(t) и е ^ [ 0 ,-8 *] справедлива оценка (&з — постоянная)
| / ; - [ Р ( 1 0 ( 2 ">), Г ) - е ( р 0 ( Г ) , 4 (2 '»))]| < 6 ,в 2.
(1.3.18)
Доказательство леммы 1.3.4 основано па двукратной дифференцируемости функции Fix, t) (услопие 4)) и оценке (1.3.13). Действительно,
= f ( * " ( г 0), г*) +
|
+ |
(*° (Г"), |
Г") Ти + |
*1 ( Г ) ] ] + |
ь у . |
|
Здесь |
bi — постоянная, |
не зависящая от |
uit) |
и е е |
||
s [0, е*]. |
Использование |
выражений |
(1.3.16) |
для |
Ти и |
(1.3.8) для р<47°) приводит к оценке (1.3.-18).
Лемма 1.3.5. Равномерно по £ e [i0, Т*] при доста точно малом значении е справедлива равномерная оценка
Ip'it) - p°(t) I ^ Ь5е, b5= const > 0. |
(1.3.19) |
3 Ф. л. Чериоусыю, Л. Д. Акуленко, D. И. Соколоо
34 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i
Доказательство леммы 1.3.5 следует непосредственно из оценки решения системы (1.3.5), (1.3.6) на основании
двукратной дифференцируемости функций /, |
h и F и при |
|||
помощи оценок (1.3.13), (1.3.15). |
|
Г®}, где Тв — |
||
Обозначим теперь через |
У0е = min(Г0, |
|||
оптимальное время процесса. |
Аналогично |
предыдущим |
||
утверждениям можно установить |
оценку |
\Т° — Те\ |
||
где Ьц —постоянная. |
|
f e U 0, Г0®] |
существует |
|
Лемма 1.3.6. Для е е [0, е*] и |
||||
постоянная Ь7> 0 такая, что |
|
|
|
|
О ^ g°(t, n°(*)) - g°(f, и®(£)) ^ 2&7е. |
(1.3.20) |
Доказательство леммы 1.3.6 стропм при помощи оценок (1.3.13), (1.3.19) и условия 1). Из mix следует существо вание некоторой постоянной Ь7> 0 такой, что
\gR{t, и) — g°U, и)| < й7е, £е [*0) т 0е], н<=77.
Отсюда находим
£®U, ue(l)) — g°(t, u,e(t))^ b 7e, g°(t, U°(t)) — ge(t, U°(t)) < b7R.
Кроме того, из (1.3.7) следует
ge{t, и°Ш) —gz(t, игШ) < 0 .
Складывая последние три неравенства, получим
g°(£, и°(£)) — g°(£, иеШ) < 2 &7е.
Отсюда, так как функция u°(t) удовлетворяет условию (1.3.10), следует оценка (1.3.20).
3.Теорема 1.3.1. При выполнении условны 1 )—5) для
ее (0 , е*] справедлива оценка
0 < / ® о - / ® Е< а е 2, а > 0 , |
(1.3.21) |
где а, —постоянная.
Доказательство теоремы 1.3.1 следует из устаповлепиых лемм 1.3.1—1.3.6. Обозначим
д *‘ <‘ ) = *!•№ - Ч ч о -
§ 'll |
Г1ГИМЕР СЛАБО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ |
35 |
Тогда из оценок (1.3.18) для и = и° н и = и с получим |
||
- |
Ко = 8(р® (Г°), А* 1 (Г 0)) + О (е2) = |
|
|
'/О |
|
|
= e f [(;»(«), Л*-(*)) + (р*№. АМ*))|<И + |
0 И . |
Иодстаним теперь в подынтегральное выражение ра венства
р° = — Л*р°,
Ад:1 = Akxx+p(x°(t), tt u°(t)) — / lGr°(£), t, ue(t)).
Получим соотношение уОв
J \ - J‘u, = |
В J |
[ / (t, u°(«)) - |
g° (t, v? (0)1 dt + |
2<0 |
|
|
|
+ J |
[g° (*, |
(*)) - g° (*, |
“ “ (‘ ))1 dt + О(e2). (1.3.22) |
Toe |
|
|
|
В нервом интеграле (1.3.22) подынтегральное выраже ние имеет порядок е в силу леммы 1.3.6. Во втором интег рале промежуток интегрирования имеет порядок е, а подынтегральное выражение заведомо равномерно ограни чено. Отсюда следует справедливость оценки (1.3.21).
Изложенное выше доказательство следует работе [138]. Независимо аналогичный результат приведен в [164]. Оценка (1.3.21) показывает, что найденное согласно про цедуре § 2 приближение ю° ( 0 к оптимальному управлению ue(t) приводит к отличию 0 (б2) в смысле минимизируемо-, го функционала
§ 4. Пример слабо управляемой системы
1.Постановка задачи о полете на максимальную даль
ность. В качестве примера приложения общего подхода § 2 рассмотрим модельную задачу о полете на максималь ную дальность в атмосфере. Численное решение этой за дачи было получено методом последовательных приближе ний в работе [1 2 2 ], а излагаемое ниже приближенное аналитическое решепие построено в [226]. Летательный аппарат (материальная точка) совершает плоское движение в атмосфере. Обозначим через Do его начальную скорость, 3*
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |
1ГЛ. 1 |
через g — постояппое ускорение силы тяжести, через т —
массу аппарата п выберем величины l = v0g~\ VQg~l и т в качестве единиц длины, времени и массы соответственно. Связь между размерными и безразмерными переменными примет вид
t* = oQg~lt, xl = |
lxh Xj = v0xJt v |
= W • / |
|
v = (x U - x iy ’\ |
* = 1,2; |
/ = 3 ,4 . |
|
Здесь / — время, |
xi — горизонтальная |
координата |
|
(дальность), Х2 — вертикальная |
координата |
(высота); жз, |
Х4 — горизонтальная |
и всртпкальпая компоненты скорости, |
v — модуль скорости. |
Величины без звездочек безразмер |
ны, а звездочками обозначены соответствующие размерные величины. Помимо веса па аппарат действуют аэродина мические силы: сила сопротивления R и подъемная сила Г, равные
R = у P*v*2S*Cx, |
Y = 4-’ р*v**S*Cy. |
(1.4.2) |
|
Сила R направлена против скорости аппарата, а У - |
|||
перпендикулярпр |
ей. Здесь |
р* — плотность атмосферы, |
|
S* — характерная |
площадь |
тела, Сх, Су— аэродинамиче |
ские коэффициенты, зависящие от угла атаки а. Пусть управление может осуществляться углом сс, а также пло
щадью S*, которая может |
принимать два значения: |
Sx и S2, причем Sx<iS2. |
Последняя возможность ка |
чественно моделирует изменение геометрии крыла или выдвижение закрылков.
Перепишем равенства (1.4.2), вводя безразмерные пе ременные
R = Bmgpv2SCx, Y = Bmgpv2SCy,
с - |
(1.4.3) |
frfo*. |
|
’ |
2mg |
Здесь ро — плотность атмосферы на начальной высо те, р — безразмерная плотность, S — безразмерная величи на, принимающая значение Si = 1 и S2= Sl/Sx>» 1, а без размерный параметр в характеризует отношение аэродина мических сил к силе тяжести. Запишем уравнения движе
§ 4] ПРИМЕР СЛАБО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ 37
нии аппарата в безразмерных переменных (1.4.1), проек
тируя силы (1.4.3) на оси |
х2: |
|
|
—- a’j, х3— |
BpvS(Сххз -|- Сухл), |
и— (.Тз -р х^) ^ , |
|
|
|
|
(1.4.4) |
.То — .T.j, |
Хц — |
1 -|- BpvS(CJJZ3— Схх4). |
|
Начальные услоппя зададим в виде Uo = 0) |
|||
х\ = |
х2= О, х3 = cos Go, .r4 = |
sin 0О, |
|
|
v = 1 (0 < Go < п/2 ). |
(1.4.5) |
|
|
|
Здесь 0о — заданный начальный угол наклона траекто рии (начальная скорость в безразмерных переменных рав на единице). Поставим вариационпую задачу: достичь максимальной дальности полета х\ в момент, когда высота х2 вновь обратится в нуль. Управляющими функциями являются угол атаки a(f), от которого зависят С* п Су (эти зависимости конкретизируются ниже), и величина Sit), при нимающая дискретные значения Si и S2. Сформулированпая задача укладывается в общую постановку §§ 1 , 2 , если параметр е является малым, что и предполагается в дальнейшем.
2. Построение приближенного решения. В обозначе ниях (1 .2 .1 ) имеем
/г0 = х2, hl = 0, F° = - x u Fl = 0, |
(1.4.6) |
а краевые условия q = 0 из (1.1.3) здесь отсутствуют, т. е.
г = 0. Функции /л и fl при к = 1, 2, 3, 4 равны коэффи циентам при е° = 1 и е в правых частях системы (1.4.4). При решении следуем общей схеме, изложенной в § 2, см.
п.п. 2 , 3.
1.Положим е = 0 в уравнениях (1.4.4) и найдем общее
решение системы нулевого приближения, описывающее движение без сопротивления
х\ = |
c3f + Ci, |
х2= |
с4£ + |
с2 — 'kt2, |
.г*з = |
сз, |
ж4 = |
. |
(1.4.7) |
с4 — г. |
Правые части эти равенств есть функции срл из (1.2.5). Разрешая равенства (1.4.7) относительно постоянных с{,по-
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |
1ГЛ. 1 |
лучим первые интегралы (1 .2 .6 ) системы нулевого приблнженил
gl=X\ —х3£, |
g 2 = |
X 2 - |
X tt - V212, |
(1.4.8) |
|
g3= x3, |
g 4 = |
X 4 + |
t. |
||
|
При помощи равенств (1.4.7), (1.4.8) составим матрицы (1 .2 .8 )
1 |
0 |
/ |
о |
1 |
0 |
— / |
on |
|
0 |
1 |
0 |
/ |
0 |
1 |
о |
— /| |
(1.4.9) |
Ф = 0 |
0 |
1 |
О |
» G = |
|
О 01 |
о ■ |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
l|| |
|
2. Фазовые коордппаты в пулевом приближении (1.2.7) пайдем, определяя в решении (1 .4 .7 ) произвольные посто янные при помощи начальных условий (1.4.5). Получим
x° = icos0o, х% = t sin 0О— £^/2, Х3 = cos 0О, х} = sin 0О— t .
Подставим решение (1.4.10) в условие окончания про цесса хг = 0 и пайдем время Т°, а затем определим мини мизируемый функционал /° — дальность со знаком минус
Т° = 2 sin 0о, 7° = - xi (710) = - sin 20о. (1.4.11)
3. По формуле (1.2.3) найдем постоянную Я0, исполь зуя решение (1.4.10), равенства (1.4.6) для h°, F°, (1.4.11)
для Т° и учитывая, что г = 0:
*.“ = - 4 ( Г ) \ х \ ( г 0) ] -1 = c tg 9 ,. |
(1.4 .12) |
Теперь по формуле (1.2.12) найдем постоянный вектор s, используя соотношения (1.4.9), (1.4.12)
Si = 1, S2= |
ctg 0о, S3= |
о |
Т° = |
2 sin 0о, |
(1.4.13) |
|
s4 = |
/ЛО * о |
= |
п |
|
||
Т° ctg 0о |
2 cos 0о. |
|
Сопряженпый вектор пулевого приближения р° опреде лим при помощи соотношений (1.2.11), (1.4.9), (1.4.13)
r i = i , r f = cte e0l р® = r ° — t, Pi — ( г ° — <) ctg о0.
(1 .4 .14)
4. Теперь из соотношения (1.2.13) с использованием (1.4.4), (1.4.14) получим, что управляющие функции оп-
§ 4] |
ПРИМЕР СЛАБО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ |
|
ределяются из условия максимальности по <х, S следующе |
||
го выражения: |
|
|
|
ерvS(Т° - 0 [ctgr0 „'.(С ^ -O S ) - |
(О з + O J)l- |
|
Подставляя сюда решение (1.4.10) |
и учитывая, что |
t ^ 7’° = 2 sin Оо, полученному условию можно придать вид
( |
cos 290 + t sin Q0 |
^ |
» min. |
(1.4.15) |
у х |
v sin 2G0 — t cos 0O |
J |
a ,S |
|
Если па угол атаки а не наложено ограничений, то для выполпеппя условия (1.4.15) необходимо потребовать, чтобы первая производная выражения (1.4.15) по а равня лась пулю. Отсюда получим (штрих озпачает производную но а)
У'„ (<*) |
_ |
sin 20о — t cos 0о |
(1.4.16) |
||
С'х {а) |
_ |
cos 200 + |
t sin 0О * |
||
|
Вторая пронзводпая (1.4.15) по а должна быть при этом неотрицательна. При помощи равенства (1.4.16) это условие запишем в виде
cl- {c'jc'uyc; =с,{С,/су> о. |
(1.4.17) |
Таким образом, управление а (О определяется из усло вия (1.4.15), для выполнения которого необходимо выпол нение условий (1.4.16), (1.4.17). Если условия (1.4.16), (1.4.17) определяют а единственным образом, то это a it) и будет искомым. Когда а найдено, управление S выбира ется в зависимости от знака коэффициента при S в (1.4.15). С учетом равенства (1.4.16) условию для выбора S можпо придать вид
S = S\= 1 при А > 0, S = S2 >Si при А < О,
A = C,-Cy(C'*IC'y). |
(1.4.18) |
3. Анализ решения. Дадим геометрическую интерпре тацию условия (1.4.16). Пусть 0Ш — угол паклона траек тории пулевого приближения к горизонтальной оси. Сог ласно (1.4.10) имеем
tg O = x\/xl = (s in 0 о — i)lcos 0 О. |
( 1 . 4 . ID ) |
40 |
М е т о д м а л о г о п а р а м е т р а |
1ГЛ. 1 |
|
Нетрудно проверить, что равенство (1.4.16) с учетом |
|
(1.4.19) можпо записать в эквивалентном виде |
|
|
|
с ; / с ; = tg (0 -!-0„). |
( 1 / 1 .2 0 ) |
Функции 6’х(а), Су(а) определяют параметрически уравнение поляры аппарата — кривой в плоскости Сх, Су. Равепство (1.4.20) показывает, что при оптимальном выбо ре угла атаки ait) касательпаяк поляре аппарата в лю
бой момент времени составляет с |
осью Сх угол 0 -Ь Оо. |
||
Для конкретизации дальнейших вычислении зададим |
|||
аэродпнамнческие характеристики в виде |
|
||
Сх= 1 — cos 2ао cos 2а, |
(1.4.21) |
||
. о |
. о |
|
|
Cv = К sin 2ао sm 2а. |
|
||
Здесь ао, К — постоянные, причем, как пструдио про |
|||
верить, К равпо максимальному |
качеству аппарата |
т а xiCv/Cx), а ао — угол атаки, при котором оио достигает ся. Зависимости (1.4.21) принимались в работе [122] при численном расчете задачи о полете на максимальную дальность. Они обладают следующими свойствами, типич ными для некоторых симметричных тел: 1) функции Сх, Cv периодичны по а с периодом л; 2) С*(а) — четная, а Су{а) — нечетная функции от а; 3) при малых а функции
(1.4.21) имеют обычный |
вид СХ= С\ + С2а2, С„ = Сза, |
где |
||
С\%С2, Сз — постоянные. Поляра аппарата, имеющего |
ха |
|||
рактеристики (1.4.21), представляет собой эллипс. |
|
|
||
Подставляя соотпошеппя (1.4.21) в условия (1.4.16) — |
||||
(1.4.18), получим |
|
|
|
|
|
|
cos 20о - f t sin 0о |
|
|
tg 2а — К tg 2а0 sin 20о — t cos 0() |
(1.4.22) |
|||
|
|
л ■! cos2a. |
||
cos 2а |
’ |
|
|
|
cos 2а ' |
|
|
Первое равенство (1.4.22) с учетом неравенства из (1.4.22) однозначно определяет угол атаки а на интервале [0, л). Прибавление к а углов, кратных л, несущественно в силу отмеченной периодичности функций (1.4.21). Пос леднее равенство (1.4.22) определяет S согласно (1.4.18). Пусть для определенности а о< л /4 , 0о< л /4 (другие случаи рассматриваются аналогично). Учитывая еще не равенство t < Т° = 2 sin 0о, из первого равенства (1.4.22)