книги из ГПНТБ / Филимонов Г.А. Основы цифровых устройств систем управления учебное пособие

шинной восьмеричной записи, необходимо дробную часть числа первый раз умножить на 4, а все последующие - на 8, пока не получим нужное число разрядов„ Результат записывается в виде целого числа.

Если правильная десятичная дробь отрицательна, то к старшему разряду полученной машинной восьмеричной записи надо прибавить число 4 . В этом случае получается машинная восьмеричная запись отрицательного числа с учетом знака.

Пример. Представить в машинной восьмеричной записи де­ сятичную дробь 0, 999 и - 0,935

= 3572 + 4000 = 7572 (М/

Для представления правильной двоичной дроби в машин­ ной восьмеричной записи необходимо сту дробь записть в пря­ мом коде, а затем набор цифр кода разбить на триады слева направо, включая знаковый разряд в первую триаду. После че­ го каждую триаду перевести в восьмеричную систему счисле­ ния.

Пример. Представить правильную двоичную дробь О, OIOIIIOOIOIO в машинной восьмеричной записи.

Поскольку прямой код правильной положительной двоич­ ной дроби совпадает с ее изображением, то разбиваем задан­ ную дробь на триады, включая и знаковый разряд

OOIOIIIOOIOIOO.

Переводя полученное число в восьмеричную систему, по­

8 0

триады слева направо, включая и знаковый разряд.

Н О . ПО . 101. О Н . 100. 001.

Переводя каждую триаду в восьмеричную систему счисле­ ния, получим 665341.

Часто бывает необходимо выполнить обратный переход от машинной восьмеричной записи к восьмеричной системе счисле­ ния через двоичную. В этом случае каждую цифру числа, изоб­ раженного в малинной восьмеричной записи, заменяют триадой, а затем отбрасывают староий разряд старшей триады, после чего вновь образованные триады заменяют восьмеричными циф­ рами.

Подученная таким образом правильная восьмеричная дробь будет отрицательной, если в старшем разряде исходного чис­ ла стоит цифра 4 , 5 , б или 7 .

Пример. Перевести число 151 733 6101 из машинной вось­ меричной записи в восьмеричную систему счисления

Пример: Перевести число 665341 из машинной восьмерич­ ной записи в восьмеричную систему счисления

Ответ: 6 6 5341^,^ = - 0,552702 ^ .

Двоично-десятичная запись чисел

При переводе в цифровой вычислительной машине деся­ тичных чисел в двоичные промежуточной является двоично­ десятичная запись чисел. Эта система записи состоит в сле­ дующем.

Каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа /тетрады /. Таким образом, двоично-десятичная запись числа отличается от его десятич­ ной записи тем, что для изображения каждой цифры использу­ ется не один знак, а тетрада.

Пример. Представить десятичное число 25 в двоично-де­ сятичной записи.

Изображаем каждую цифру заданного числа тетрадой 0010 0101. Это и есть двоично-десятичная запись заданного числа. Обратный перевод не представляет затруднений.

Во внешних устройствах ЭЦВМ десятичные числа преобра­ зуются в двоично-десятичные. Последние по специальной про­ грамме самой машиной переводятся в двоичные.

Формы изображения числа в ЭЦМ

Специализированные ЭЦМ, как правило, оперируют с чис­ лами, изображаемыми в двоичной системе счисления. Каждый разряд двоичного числа изображается в машине при помощи какого-либо технического устройства, имеющего два устойчи­ вых противоположных состояния, ЭЦМ содержит лишь конечное число таких устройств, и поэтому она может оперировать с числами определенной "длины", т .е . с числами, имеющими оп­ ределенное количество разрядов. Выбор числа разрядов опре­ деляется точностью решения задачи и конструктивными сооб­ ражениями. Принципиально ЭЦМ может обеспечить любую точ­ ность вычислений за счет увеличения количества разрядов,

используемых для представления чисел. Б Э1Щ обычно исполь­ зуют 30-40 двоичных разрядов.

Диапазон чисел, который монет быть представлен в ма­ шине при данном количестве разрядов, зависит от принятой формы представления чисел.

В ЭЦВМ используются две формы представления чисел:

с "фиксированной" запятой и с "плавающей" запятой. В зави­ симости от этого различают машины с фиксированной запятой

имашины с плавающей запятой.

Вмашине с фиксированной запятой положение запятой, отделяющей целую часть числа от дробной, фиксируется меж­ ду определенными разрядами числа и сохраняется неизменным при всех вычислениях. Обычно запятая находится перед край­ ним слева, т .е . перед старшим разрядом. В этом случае в ма­ шину могут быть помещены и она может оперировать лишь чис­ лами по модулю меньшими единицы.

Для изображения знака числа выделяется специальный разряд, стоящий слева от запятой. Бели число положительно, то в знаковом разряде записывают "О", если же число отри­ цательно, то в знаковом разряде ставят "I" .

Пусть количество двоичных разрядов в машине с фикси­

83

шинах с запятой, фиксированной перед старшим разрядом, мо­

числа, будут утеряны. Это явление носит название перепол­ нения разрядной сетки. Для того чтобы исключить перепол­ нение разрядной сетки, все величины, входящие в решаемую задачу, при программировании умножаются на масштабные ко­ эффициенты, т .е . на множители, подобранные с таким расче­ том, чтобы все исходные, промежуточные и конечные величи­ ны были бы меньше единицы.

В машинах с плавающей запятой все двоичные числа изоб­

говорят, что число х "нормализованное число". Это неравен­ ство означает, что у нормализованного числа первый разряд после запятой всегда равен единице. В машинах с плавающей запятой изображаются отдельно порядок Р и отдельно ман­ тисса А. Следует помнить, что у нормализованных чисел не только мантисса А, но и порядок Р могут быть обоих знаков.

84

85

определяется числом разрядов р , а точность - числом раз­ рядов мантиссы.

Фактически при одном и том же количестве разрядов А точность вычислений на машине с плавающей запятой больше, чем на машине с фиксированной запятой. Это объясняется тем, что при фиксированной запятой относительная точность чисел уменьшается с уменьшением числа, при плавающей запятой бла­ годаря нормализации относительная точность сохраняется по­ стоянной для всех чисел в рабочем диапазоне.

Машина с плаващей запятой позволяет получить больший рабочий диапазон чисел, большую точность вычислений и, кро­ ме того, упрощает программировсние. Однако система с пла­ вающей запятой требует добавления устройств для представле­ ния порядков Р и для операций с порядками. Поэтому плаваю­ щая запятая используется в больших цифровых машинах, а ма­ лые машины выполняются с фиксированной запятой.

§ 9 . Кодирование двоичных чисел

Обычно электронные цифровые машины выполняют арифме­ тические и логические операции не над двоичными числами, а над специально подобранными их кодами. Это объясняется тем, что схемы, выполняющие операции над кодами, получают­ ся значительно проще, чем схемы, выполняющие операции не­ посредственно над двоичными числами.

В ЭЦМ применяются следующие коды чисел: прямой, обрат­ ный, обратный модифицированный, дополнительный и дополни­

86

нительного кода вызвано стремлением свести операцию пряно­ го вычитания, которое трудно осуществить в ЭЦМ непосредст­ венно, к сложению этих специально подобранных кодов.

Заметим, что в ЭЦП различными кодами изображаются только двоичные числа, являющиеся правильными дробями.

Прежде чем перейти к рассмотрению различных кодов,ука­ жем таблицы основных арифметических операций над однораз­ рядными двоичными числами

87

Таким образом, из формулы и примеров следует, что в машинах с запятой, фиксированной после знакового разряда, прямой код правильной положительной двоичной дроби совпа­ дает с изображением ее в двоичной системе счисления,, Для получения прямого кода правильной отрицательной двоичной дроби легко сформулировать правило.

Чтобы получить прямой код правильной отрицательной двоичной дроби, следует отбросить знак, в разряде целого числа /в знаковом разряде/ записать единицу, а цифровые разряды оставить без изменения.

Нетрудно видеть, что число нуль имеет два отвечающих ему значения прямого кода:

обходимо отбросить знак числа, записать в знаковый разряд

88

89