книги из ГПНТБ / Филимонов Г.А. Основы цифровых устройств систем управления учебное пособие
.pdfп возможных значений между величинами |
и |
. |
|
|
Число |
этих значений можно определить из формулы |
|
|
|
|
-hi |
|
/1 8 |
2 / |
В |
процессе преобразования аналогового |
сигнала |
в циф |
|
ровой код кривая изменения непрерывного сигнала как бы на
кладывается |
на прямоугольную сетку с ячейками |
8 и д Ь |
|
/р и с .129,а / . |
Интервал времени между точками отсчета |
пока |
|
заний является величиной, обратной величине частоты |
пре |
||
образователя |
J n , которую можно определить как |
число |
за |
конченных преобразований в секунду |
|
|
|
На рис.129,г видно, что процесс преобразования сопро вождается искажениями, так как цифровой код воспроизводит кривую изменения сигнала в точке отсчета неточно. Разность между уровнем, соответствующим считываемому коду, и значе нием кривой сигнала в этот момент времени можно рассматри вать кале особого рода помеху /"шум преобразования"/, кото рая накладывается на полезный сигнал /р и с .129,г / .
На первый взгляд может показаться, что при последую щей обработке результатов измерения исходную кривую измене ния непрерывного сигнала можно воспроизводить с точностью равной точности преобразователя. Однако значения интерва лов времени между соседними точками отсчетов оказывают ре шающее влияние на точность аппроксимации исходной кривой, так как с уменьшением интервала времени между соседними точками отсчетов можно точнее аппроксимировать входной сиг нал.
Частота квантования по времени Определим необходимое количество отсчетов в единицу
времени, которые дадут возможность при последующей обра ботке результатов измерений восстановить непрерывную кри-
?10
вую с требуемой точностью.
При передаче информации о состоянии тех или иных про цессов обычно сталкиваются с функциями времени, спектр частот которых ограничен. Можно искусственно ограничить спектр частот функции времени некоторой частотой так, что бы суммарная энергия отброшенных гармоник была пренебрежи мо мала. Для функций с ограниченным спектром частот имеет ся несколько теорем, на которых основана современная тео рия передачи информации. Приведем две теоремы В.А.Котель никова.
|
Теорема |
I . |
Любую функцию |
Р^6];состоящую из |
частот |
в |
|||
диапазоне |
от |
О до f c7 можно представить в виде |
ряда |
|
|||||
|
|
|
|
+с-г |
S i n (О q ( |
р £■ j |
|
|
|
|
|
|
F(t)=Z |
Л„---------------------------------------------------------т ц / |
|
|
|||
где |
к - |
целое |
число; |
|
|
|
|
|
|
|
CDc = 2. 7 f f c |
- наибольшая круговая частота в данном |
|
||||||
|
|
|
|
сигнале; |
|
|
|
|
|
|
Д к~ постоянная, |
зависящая |
от f |
(6),и, наоборот, |
лю |
||||
|
|
бая |
функция, |
представленная |
формулой Д 84/, состо |
||||
|
|
ит |
из |
частот |
от 0 до £ с . |
|
|
|
|
|
Теорема |
2 . |
Любую функцию |
F ( t ^состоящую из частот |
|||||
от 0 |
до ^ , можно передавать о любой |
точностью |
при помощи |
||||||
ее дискретных значений, следующих друг за другом не реже, чем через -т4— сек, т .е . с частотой, равной 2 § с .
<~J С
По этим теоремам функция с ограниченным спектром впол не определяется конечным числом значений на протяжении ко нечного интервала времени. Постоянные Д к /определяющие ординаты/ являются мгновенными значениями функции, взяты ми через интервал времени
ЛЬ - г Т . |
Л 8 5 / |
PIT
В [l3] показано, |
что |
на основании ряда /1 8 2 / можно |
получить зависимость |
вида |
|
Г(Ь)=ЕГ(клЬ) |
SLnu)c (Ъ-к&Ъ) |
/1 8 6 / |
|
|
o j j t - к л Ь ) |
Выражение /18 ч / показывает, что функция с ограничен ным спектром может быть представлена разложением в особого вида ряд, каждое слагаемое которого выражается Функцией
вида |
— А.3? к отличается от |
остальных слагаемых |
амплиту- |
|
дой и временным сдвигом. Из второй теоремы следует, |
что |
|||
функция с ограниченным спектром F ( h ),действующая |
в тече |
|||
ние промежутка времени Т , |
может быть полностью |
задана |
||
m - |
дискретными значениями |
определяющих ординат, |
причем |
|
|
Т |
|
|
|
|
m = E t = a f c T * |
|
/ ш / |
|
Следовательно, передачу получаемой от датчика инфор мации в форме непрерывно меняющегося напряжения можно све сти к передаче последовательности дискретных чисел, отсчи танных через равные промежутки времени д-Ь.При обработке результатов измерений на основании полученных значений оп ределяющих ординат функции с ограниченным спектром можно провести одну непрерывную кривую.
Необходимо отметить, что указанные теоремы предпола гают абсолютно точное измерение дискретных ординат сигна ла.
Выходные цепи радиотехнических устройств и измери тельные цепи некоторых реальных датчиков физических па раметров характеризуются постоянной времени Ъ„.Поэтому с достаточной степенью точности можно считать/ что от этих устройств на вход преобразователя напряжения поступает
множество сигналов, выражающихся во времени экспонентами:
F(i)=Ae~/ib ; |
Д 8 8 / |
212
F(t) = Ae jit |
№ 9 / |
где A - амплитуда.
Найдено [l3] , что значение граничной частоты J c д , которая дает возиохность воспроизвести с заданной точно стью экспоненциальную функцию F(b) согласно приведенным выше теоремам, находится из формулы
Д 9 0 /
~ h r t 9 г I |
1 F ) г ) ■> |
где п - число различимых уровней}
k < i |
- некоторый |
коэффициент} |
|
|
||||||
|
- |
постоянная |
времени экспонента. |
|
|
|||||
|
Для воспроизведения с заданной точностью у - - к 8 |
|||||||||
экспонента с постоянной |
времени |
необходимо иметь час |
||||||||
тоту |
преобразования |
Г |
|
' |
которая |
определяется из формулы |
||||
|
|
|
|
VПЭП* |
Г |
“I |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I |
й |
2 |
i |
Л 9 1 / |
|
|
IПЭ ' 2 1с.э~ 7 Г Ч т -и - п ' |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
В табл .8 приведены расчетные значения частоты преоб |
|||||||||
разования |
f |
необходимой для |
получения |
заданной |
точ- |
|||||
ности |
|
J ПЭ |
|
при максимальном числе |
различных уров- |
|||||
f--'=± kS |
|
|||||||||
ней |
п = 999& |
и |
Т |
= |
I |
сек. |
|
|
|
|
|
Существует |
и другой метод определения частоты |
кванто |
|||||||
вания |
по времени - метод аппроксимации, суть которого |
со |
||
стоит |
в |
следующем. |
|
|
|
Пусть измеряемая величина представлена некоторой |
ф ут |
||
цией |
|
х(Ь) /ри с .130/, |
непрерывной во всем интервале врс |
|
мени, |
в |
течение которого |
ведется регистрация ее значений, |
|
и имеющей в этом интервале непрерывные первую и вторую пр< изводные. Необходимо ответить на вопрос: какой должна быт: частота дискретных измерений функции х(Ь) для того, чтоб!
213
погрешность аппроксимации не превосходила величины ^
Таблица 8
Ошибка
+ * |
+ kS |
|
f |
|
Jr>3 |
||
0,05 |
0,5 |
705 |
979 |
0,1 |
I |
195 |
405 |
0,2 |
2 |
50 |
080 |
0,3 |
3 |
22 |
377 |
0,4 |
4 |
12 |
611 |
0,5 |
5 |
8 |
077 |
1 ,0 |
10 |
2 |
021 |
2 ,0 |
20 |
|
505 |
3,0 |
30 |
|
224 |
Предположим, что динамическая погрешность первого ро да, т .е . погрешность, обусловленная инерционностью измери тельного тракта, отсутствует. Такое предположение вполне допустимо, если измеряемый сигнет имеет ограниченный час тотный спектр, т .е .
Л 9 2 /
<< шпр
где о)с - предельная частота спектра измеряемого сигнала}
верхняя граничная частота полосы пропускания из мерительного тракта.
Дискретные измерения мгновенных значений функции про изводятся через равные интервалы времени д Ь , что соот ветствует аппроксимации функции х ( Ь )ломаной прямой. Не обходимо найти такие условия аппроксимации непрерывной функции ее дискретными значениями, при которых предельные отклонения f аппроксимирующей ломаной прямой от действи тельного значения функции на всем рассматриваемом участке не превосходили бы заданного значения.
Для получения необходимых зависимостей воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона, которая для случая ли
нейной |
аппроксимации |
на участке |
|
записы |
вается |
в виде |
|
|
|
|
|
x J i ) = x L+ a j t - t j ) , |
Л 9 3 / |
|
где |
|
|
|
|
|
|
X l+i |
X l |
|
|
|
О; |
hi |
|
|
|
bL+i~ |
|
|
х( Ь) - определяемое формулой |
значение функции |
для |
||
|
любого момента времени рассматриваемого |
ин |
||
|
тервала} |
|
|
|
|
x L , x i+i - |
мгновенные значения исследуемой |
функ |
|
|
|
ции, измеренные в моменты Ь-ь и |
|
|
с определенной статической погреаностью.
Как известно, при аппроксимации функции ж(&)некоторым полиномом x { ( t ) , совпадающим с исследуемой кривой в п точках, имеет место погрешность, определяемая остаточ ным членом интерполяционной формулы
х( Ь) = x i ( l ) + R ( t ) , |
/1 9 4 / |
Т •6 • |
|
( b x ) = x i ( t ) - x ( b ) = R ( i ) . |
/1 9 5 / |
В рассматриваемом случае выражение для остаточного члена принимает форму
при этом значение второй производной функции берется |
в |
точке, расположенной внутри интервала |
|
4 Ь < Ь £+1 .
Беря максимальное значение второй производной внутри указанного интервала, получим
215
d‘x M '
d f |
'max |
Д 9 7 / |
№ ) * |
( t - t o a - k . ) . |
Можно найти, члена равно
ЯШ,max
что максимальное значение остаточного
d*x( t) |
|
|
3•^ |
d t г |
a |
a |
/198/ |
d 4 |
max
Выражение /196/ позволяет определить отрезки времени |
||
a t , на которые |
должен быть разбит весь интервал t n- t 0 |
? |
с тем чтобы погрешность аппроксимации не превосходила |
за |
|
данного значения |
|д о с |тах ^ р |
|
|
|
н |
Л 9 9 / |
|
|
d z x ( i ) |
|
|
|
|
|
|
|
d t e |
|
|
|
1max |
|
d 2x ( i ) |
- |
максимальное значение второй |
производ- |
где |
|||
d t |
тах ной в интервале Ь0 , Ь п . |
|
|
|
|
||
Если уравнение |
х(Ь) неизвестно, то следует |
прибегнуть |
|
к двухкратному |
графическому дифференцированию. |
При этом |
|
достаточно продифференцировать участки в точках наибольшей кривизны функции, так как именно в точках перегиба возни кает наибольшая погрешность аппроксимации.
Формула /2 0 0 / позволяет |
определить необходимую часто |
|
ту квантования |
d*x (i ) |
|
|
||
Sr |
М е max |
|
Ч |
max |
|
|
|
/200/ |
216
Рассмотренный метод определения необходимой частота квантования является весьма приближенным и прежде всего по причине большой ошибки в определении максимального зна чения второй производной в случае, когда уравнение кривой сигнала неизвестно. Однако преимущество его состоит в том, что он предъявляет более легкие требования к частоте кван
тования для подавляющего большинства входных сигналов, чем это требует теорема Котельникова.
Погрешность преобразования
Погрешности преобразования в зависимости от источни ков, их порождающих, можно разделить на две основные груп пы!
I / погрешности, |
вызываемые самим |
принципом преобразо |
вания и прежде всего |
квантованием по |
уровню и по времени |
/их иногда называют шумом квантования/) |
||
2 / инструментальные погрешности, |
свойственные данно |
|
му типу преобразователя и вызываемые технологическими от клонениями в изготовлении отдельных элементов, чувствитель ностью отдельных элементов и их стабильностью во времени и при изменении внешних условий, а также другими причинами,
Таким образом, погрешностью преобразования называют среднюю квадратическую или срединную ошибку преобразова ния, в которой учитывается влияние всех возможных част ных источников погрешностей.
Как отмечалось выше, погрешность измерения /при от сутствии динамической погрешности первого рода/ мгновенно го значения непрерывной величины будет определяться ста тической погрешностью % , присущей данному прибору. Эта погрешность изображена на рис.131 в виде смещений точек дискретных измерений с кривой исходного сигнала /*Yi),a ее
предельное значение - в виде отметок по |
обе стороны |
от |
сигнала в точках измерения. Статические |
погрешности |
отно |
сятся только к точкам дискретных измерений /оп роса/, |
но |
|
вызванное ими смещение аппроксимирующей |
функции должно |
|
|
|
217 |
быть учтено при определении значения сигнала в любой по лент исследуемого интервала.
5 связи с этил интересно выяснить, каково должно б соотношение между инструментальной ошибкой и шумом кванто вания. Так как шум квантования сравнительно просто поддает ся воздействию, то следует добиваться, чтобы его величина не сильно сказывалась на суммарной погрешности преобразова
теля. |
|
|
|
|
|
|
Для этого обычно берут соотношение |
|
|
||
|
|
= *„< 6Ж„ |
, |
|
/201/ |
где |
kkg t i . |
|
|
|
|
|
Тогда суммарная ошибка преобразования будет |
|
|||
|
^ =V ( \ s |
^ H c r f + ^ H c r |
. |
/ 202/ |
|
|
Если положить, что |
kkS = 0 ,5 , |
то |
|
|
|
бЕ = ]/(0,5бинст)г+ |
V ^,25 = iJ 2 Smcr . |
|||
|
Таким образом, наличие указанного шума квантования |
||||
увеличивает погрешность преобразователя на 12%. |
|
||||
|
Остановимся несколько подробнее на ошибке, вызванной |
||||
квантованием по уровню. |
Если при замене аналоговой вели |
||||
чины кодом увеличивать число разрядов |
в коде, то |
погреш |
|||
ность, вызываемая квантованием по уровню, будет уменьшать ся, т .е . будет улучшаться разрешающая способность преобра зователя. Поясним это на примере.
Пусть мы хотим представить непрерывный график |
|
|||
/р и с .129,а / |
в двоичном коде, т .е . выразить ординату |
каж |
||
дого интервала квантования по времени /р и с .129,б / |
с помо |
|||
щью последовательности импульсов одинаковой амплитуды. |
||||
При этом наличие |
импульса обозначим через ”1", а |
его |
от- |
|
сутетиие |
через |
”0”. Если отсчитывать ординаты |
с |
точ- |
218
ностью до |
- /в этом случав |
максимальная |
ордината делит |
|||
ся на 7 равных частей |
8 и с |
точностью до |
одного S изме |
|||
ряются все остальные ординаты, то можно представить |
орди |
|||||
наты |
тремя |
разрядами двоичного кода от ООО до I I I . |
Значе |
|||
ния |
ординат |
каждого |
интервала квантования |
по времени по |
||
казаны на рис.129,в . Таким образом, представленная после довательность импульсов является цифровым выражением не прерывного графика на заданном отрезке времени.
Для повышения точности преобразования при заданной частоте квантования по времени необходимо повысить разре
шающую способность |
8 |
двоичного кода. Как уже указывалось, |
|||||
максимальная |
точность |
трехразрядного двоичного |
кода |
со- |
|||
|
I |
I 3 |
Если же представить ординату каждого |
||||
ставляет ± |
~ • |
||||||
интервала квантования по времени семиразрядным двоичным |
|||||||
кодом / т . е . |
последовательностью из 7 |
импульсов/, то |
точ |
||||
ность |
преобразования |
составит уже |
^ # |
Это эквива |
|||
лентно |
построению кривой /р и с .130,а / |
в координатной |
сетке |
||||
с 127 делениями по оси ординат вместо 7 . Аналогично деся тиразрядный двоичный код обеспечит точность /разрешающую
способность/ в 0,1# /0 ,0 0 1 / или I/I024 =■ 1 |
/2 i0. |
|
||||
Итак, все аналоговые величины, кроме |
кратных 8 изоб |
|||||
ражаются в виде кода с ошибками. 5 связи с |
этим |
величина, |
||||
соответствующая |
I -му |
замеру ординаты /код, снимаемый с |
||||
преобразователя/, представляет собой не точное значение |
||||||
измеренной |
координаты |
/р и с .131/, а одно |
из возможных |
|||
конкретных |
значений случайной величины |
. |
|
|||
Рассеяние |
возможных значений |
погрешностей |
/ y i ~ y j ~ x |
|||
в силу равной вероятности любого |
их значения в |
пределах |
||||
разрешающей способности |
может быть описано прямоугольным |
|
законом распределения в |
пределах ос= +-^- |
/р и с .130,д /. |
Поскольку площадь графика должна равняться единице, соглаС'
но известному выражению
219