книги из ГПНТБ / Филимонов Г.А. Основы цифровых устройств систем управления учебное пособие
.pdf
|
|
|
H fl»+ [-N] |
|
|
|
|
|
|
|
|
\gori \ | |
2|j доп •> |
|
|
|
|
где |
х, |
9°" |
0,10101001} |
[~\х4%оп = 1»ооноооо. |
||||
Вычитание |
+ |
0,10101001 |
|
0,11010000 - пр. код. |
|
|||
делителя |
|
1,00110000 |
|
1,1101 |
|
частное |
|
|
Сдвиг дели |
+ |
1,11011001 |
|
Остаток меньше нуля, |
деле- |
|||
теля |
вправо |
|
0,01101000 |
|
ние возможно |
|
||
и прибавле |
|
|
|
|||||
ние |
его к |
|
|
|
|
|
|
|
остатку |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сдвиг дели |
|
0,01000001 |
|
Остаток |
0, |
в частное |
запи |
|
теля |
и |
|
1,11001100 |
|
сывается |
"1" |
|
|
вычитание |
|
|
|
|||||
его |
из |
|
|
|
|
|
|
|
остатка |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сдвиг дели |
+ |
0,00001101 |
|
Остаток |
0, |
в частное |
запи |
|
теля |
и вы |
|
1,11100110 |
|
сывается |
- " I" |
|
|
читание его |
|
|
|
|||||
из остатка
+1,11110011 Остаток 0, в частное запи
0,00001101 |
сывается "О". |
0,00000000 Остаток 0, в частное запи сывается "I" .
Во избежание появления ошибок при выполнении деления двоичных чисел по указанной схеме следует иметь в виду, что при сдвиге и вычитании делителя в дополнительный код перево дится число [-зс2] 1 уже сдвинутое на заданное количество разрядов.
К примеру, сдвинутый на два разряда вправо делитель будет 0,00110100. Если делитель вычитается, то берут
дополнительный |
код числа |
|
[- |
0,00И0100] |
= 1,11001100. |
Рассуждая аналогичным образом и имея в виду вычитание делителя, найдем дополнительный код делителя, сдвинутого вправо на три разряда
НО
[- |
0,00011010] |
I ,11100110. |
Для |
r n |
разряда получим |
сдвига на четыре |
||
[- |
0,00001101] оп |
= 1,11110011. |
Во многих цифровых машинах с целью упрощения арифме тического устройства деление заменяется умножением на об ратную величину.
Пусть |
требуется |
определить частное z --^г.С начала |
на- |
||||
шина определяет величину ^ |
I |
, |
Х |
|
|||
|
а затем находит частное |
||||||
. |
Итак, |
пусть |
|
|
|
|
|
Искомое число |
^ |
есть корень |
уравнения |
|
|||
Предположим, |
что |
x # = i |
• |
|
|
ис |
|
у 0 есть |
начальное приближение для |
||||||
комого корня ^ . Тогда, если только случайно не окажется |
|||||||
равенство |
можем записать |
|
|
|
|||
|
|
|
ч , * 1 • |
|
|
||
На основании неравенства можно написать, |
что |
||||||
|
|
хи. = I +оС, |
|
Д Э З / |
|||
откуда |
I |
= % |
% |
|
|
|
|
|
X |
i+oL |
|
|
|
|
|
Учитывая Д Э З /, найдем |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
* |
|
||
Если в разложении |
$ |
{ +оС |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 -oL + o L Z- o L b |
|
|||
|
|
i+oL |
|
||||
ввиду малости |
ос |
ограничиться первыми двумя чле |
|||||
величины |
|||||||
нами, |
то можно написать |
|
|
|
|||
У00 ^ *
Учитывая Д З З /, окончательно получим
Если обозначить величину ^ |
, |
получаемую по |
формуле |
Д 3 4 /, через ^ и подставить в |
это |
же выражение |
вместо |
III
уо ?ТО получим |
|
|
|
|
Продолжая такую подстановку, можно видеть, что |
каж |
|
дое |
следующее значение |
получается из предыдущего |
|
у п |
по формуле |
|
|
|
Уп+i = Уп ^ |
" Х Уп ) ‘ |
/Л]С35// |
|
Этот процесс называется итерационным и продолжается |
||
до тех пор, пока в |
пределах |
заданной |
точности |
не совпадут |
два соседних приближения ^ |
и y n+i |
.Из итерационной фор- |
||
мулы легко видеть, |
что получение величины ^ |
1 |
||
представ |
||||
ляет собой определенную последовательность умножений и вы числений.
Таким образом, деление двух чисел можно заменить ум ножением одного из них на обратную величину другого, при чем обратная величина числа может быть вычислена по итера ционной формуле. Попутно отметим, что извлечение квадрат ного корня в специализированных машинах осуществляется так же способом итераций по какой-либо из приближенных формул, например
|
М |
л зб / |
|
о > » |
|
где |
—начальное приближение к искомому корню. |
|
Для |
вычислений по формулам /1 3 5 / и /1 3 6 / составляют' |
|
ся программы, к выполнению которых машина переходит |
по |
|
специальным командам. |
|
|
§ |
I I . Основные логические операции |
|
В связи с тем, что электронные цифровые программно управляемые 7'<циины представляют собой устройства для ло гической переработки информации, существует непосредствен ная связь между математической логикой и теорией электрон-
112
них цифровых машин. По существу математическая логика представляет собой основу теории электронных цифровых ма шин, а поэтому знание элементов математической логики яв ляется необходимым как для проектирования машин, так и для работы в области программирования задач.
В настоящем параграфе рассмотрим основные логические
связи, |
без которых невозможно |
понять |
работу цифровых ма |
|
шин даже в самом общем плане. |
|
|
|
|
Прежде чем приступить к |
рассмотрению логических |
опе |
||
раций, |
введем понятие о высказывании. |
В высказывании |
го |
|
ворится о том, что определенные элементы находятся в опре
деленных отношениях. Высказывание должно содержать не |
ме |
||||
нее одного элемента и выражать не менее |
одного |
отношения. |
|||
Например, в предложении "Книга лежит на |
столе" |
отношение |
|||
"на" выражает связь между |
элементами |
книга и стол. |
Или |
||
"четыре есть нечетное число". Высказывание может быть |
ли |
||||
бо истинным, либо ложным. Отдельные высказывания |
обозна |
||||
чаются |
обычно заглавными буквами А, В, |
С ... Два высказы |
|||
вания |
считаются различными, |
если они имеют различное |
со |
||
держание. В этом случае они обозначаются разными буквами. Конкретное содержание высказываний учитывается только
при введении их буквенного обозначения и в дальнейших пре образованиях уже не принимается во внимание. Высказывания оцениваются только по их истинности или ложности, т .е . без учета их конкретного содержания. Принимают, что значение
истинности высказывания |
равно I , |
если |
это |
высказывание |
ис |
||
тинно, и равно 3, если |
оно ложно. |
|
|
|
|||
Два высказывания |
называют |
эквивалентными, если |
их |
||||
значения |
истинности |
одинаковы. Запись А = |
В означает, |
что |
|||
значения |
истинности |
высказываний |
А и В |
одинаковы, т .е . |
они |
||
одновременно либо истинны, либо ложны.
Из одного или нескольких высказываний, принимаемых за простые, можно составлять сложные высказывания.
В алгебре логики рассматриваются способы образования сложных высказываний из простых составляющих высказываний
я |
113 |
и, наоборот, способы разложения сложных высказываний на элементарные.
Сложные высказывания также могут иметь одно из двух значений истинности "О" или " I" , которое зависит от значе ний истинности простых высказываний. Образование сложных высказываний из составляющих осуществляется посредством логических операций, которые обозначаются соответствующи ми символами.
Рассмотрим основные логические операции, которые реа лизуются цифровыми устройствами.
1 . О т р и ц а н и е в ы с к а з ы в а н и я . Пусть имеем некоторое высказывание А. Отрицание этого высказы вания обозначается символом А.. Читается "не А". Отрицани ем высказывания А называется сложное высказывание А,ко торое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
Значение истинности отрицания высказывания можно получить по значению истинности основного высказывания с помощью операции отрицания, определяемого таблицей/ 13 7 /
|
|
® = |
1 |
Л 3 7 / |
|
|
Т = |
0 ._ |
|
|
Из таблицы следует, что |
А =А . |
|
|
|
2. К о н ъ ю н к ц и я д в у х в ы с к а з ы в а |
|||
н и й |
обозначается |
символом АД В , читается "А и В". Знак |
||
логической связи А |
имеет смысл союза и. |
Конъюнкция двух |
||
высказываний есть сложное высказывание, которое истинно лииь в случае истинности обоих высказываний, его образую щих. Во всех остальных случаях это сложное высказывание ложно.
Значение истинности конъюнкции А А В можно получить по значениям составляющих ее высказываний А и В с помощью операций, называемой логическим умножением и определяемой таблицей /1 3 8 /
II4
О л 0 |
= Oj |
|
|
0 |
Л I |
= 0} ► |
А 3 8 / |
1 |
Л 0 |
= 0$ |
|
I |
Л I |
- I . |
|
Из определения конъюнкции, а также из таблицы А 38/
вытекает, что |
|
|
А Л 0 = 0? |
|
|
А Л I = Aj |
А 3 9 / |
|
А л А = А} |
||
|
||
А Л А = 0. |
|
Операция " И " обладает свойством ассоциативности /сочетательности/, т .е . конечный результат не зависит от того, каким образом различные группы высказываний /если их несколько/ связываются операцией "И". Например,
[А л Е > )л(А л Е)= А л (Ё> лЛ л Е)= А л д л А л Е . |
A W |
||||
Формулы А 39/ и A W |
можно проверить путем подстанов |
||||
ки вместо переменных в различных комбинациях - |
"О" и "I" |
||||
и используя таблицу А 3 8 /. |
|
|
|
||
3. |
Д и з ъ ю н к ц и я д в у х в ы с к а з ы в а |
||||
н и й |
обозначается символом A v В, |
читается |
”А или В”. |
||
Знак логической связи v |
имеет смысл |
союза |
"или". Вообще |
||
говоря, |
союз "или" понимается в нескольких |
различных |
|||
смыслах, поэтому необходимо здесь снести уточнение. Пояс |
|||||
ним это на примерах. |
|
|
|
|
|
Пример I . По условиям приема на работу |
требуется, что |
||||
бы кандидат знал английский или испанский язык. Отсюда, од нако, следует, что кандидат тем более будет принят на ра боту, если он знает оба языка. Здесь "или" не исключает ка кое-либо из высказываний /условий приема/.
Пример 2. "Победа или поражение". Здесь "или” исклю чает одно из высказываний.
Первый пример соответствует дизъюнкции двух высказы ваний. Дизъюнкция представляет собой сложное высказывание,
115
которое ложно только в случае ложности обоих составляющих его высказываний и истинно в остальных случаях.
Значение истинности высказываний A v Б находят по зна чениям истинности составляющих его высказываний А и В с по мощью операции, называемой логическим сложением и определя
емой таблицей /1 4 1 /: |
|
|
О v |
0= О? |
|
0 v |
I= 1} > |
|
1 |
v |
/1 4 1 / |
0= I; ‘ |
||
I |
v |
I=I. |
С помощью определения дизъюнкции и таблицы /1 4 1 / мож
но убедиться в справедливости следующих формул: |
|
||
A v 0 = А$ |
|
||
A v |
I * 1} |
Д 4 2 / |
|
А v А = А* |
|||
|
|||
A v А = I . |
|
||
Операция "ИЛИ" |
также обладает свойством ассоциатив |
||
ности, поэтому |
|
|
|
(Avd>)vC=Av(bvC)=A vB vC . |
/1 4 3 / |
||
В алгебре логики доказывается, что совокупность трех рассмотренных /основных/ логических операций является из
быточной, так |
как операции дизъюнкции и конъюкции могут |
||||
быть выражены одна через другую с помощью инверсии. |
|
||||
Приведем еще несколько |
логических операций, которые |
||||
используются в цифровых машинах и которые также могут быть |
|||||
выражены через основные операции. |
|
|
|||
4 . |
|
Р а в н о з н а ч н о с т ь д в у х |
в ы с к а |
||
з ы в а н и й |
обозначается |
А ~ |
В, читается "А равнознач |
||
но В". Равнозначность двух высказываний представляет собой |
|||||
сложное |
высказывание, истинное тогда, когда значения |
ис |
|||
тинности |
составляющих высказываний |
одинаковы, и ложное в |
|||
противном случае. Значение истинности сложного высказыва |
|||||
ния А ~ |
В получается по значениям |
истинности составляющих |
|||
116
высказываний А и В с помощью логической операции равнознач-
ности, определяемой таблицей
|
0 — |
0 |
= 1} |
|
|
|
0 |
- 1 |
|
= 0? |
/1 4 4 / |
|
1 |
- 0 |
|
= 0} |
|
|
|
|
|||
|
I |
- |
I |
= I . |
|
Испсльзуя эту таблицу, можно убедиться в справедливо- |
|||||
сти формул |
|
|
|
|
|
|
А — I |
= Aj |
/1 4 5 / |
||
|
А — 0 = А. |
/1 4 6 / |
|||
5 . |
О г р и ц а н и е р а в н о з н а ч н о с т и |
||||
д в у х |
в ы с к а з ы в а н и й |
представляет собой более |
|||
сложнее высказывание, получаемое при помощи двух ранее рас смотренных логических связей: А ^ В . Для удобства изоб ражения вводится специальный знак ^ , который читается "неравнозначно"»
С помощью т а ' лиц /1 4 5 / и Д 3 7 / получаем таблицу /1 4 7 /
Этс гзо. ица определяет логическую операцию отрицания равг.'зг -iv ги, позволяющую по значениям истинности состав ляющих высказываний А и В найти значение истинности слож
ного |
в1' казы?;<чия А -- В. |
Операция отрицания равнозначно |
|
сти ?,спилыи. ‘тол в машинах |
как поразрядная операция, с по |
||
мог |
> - открой |
оро ш иваю тся |
числа» |
|
_ ' .’ll! |
|
|
|
’|'ч.вг*- |
два числа OOIOII и OOIOII. |
|
|
Хл(-чгн‘о-г поразрядно без переноса единицы заданные |
||
дл ' |
ора |
ч исла |
|
117
+ О |
0 |
I |
0 |
I |
I |
О О |
I |
О I |
I |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Полученный результат |
000000 |
показывает, |
что числа |
|||
равны. |
|
|
|
|
|
|
Сравнить два числа |
OOIOIIOI |
и IOIIOIIO. |
|
|||
|
00 |
10 |
I I |
01 |
|
|
|
10 |
I I |
01 |
10 |
|
|
|
10 |
01 |
10 |
II |
|
|
Результат I0 0 II0 II |
показывает, что числа неравны. |
|||||
Однако на этих примерах непосредственно не видно, как |
||||||
используется |
таблица |
ДЧ7 / . |
|
|
|
|
Б связи |
с этим покажем на втором примере |
использова |
||||
ние операции неравнозначности для сравнения двух чисел, на
чиная |
с |
их младших разрядов. В самом деле: |
|
|
|||||||||
|
I - |
0 = 15 0 ~ 1 = 1; I — 1 - 0 ; |
1 — 0 = 1; |
||||||||||
О — I = 1} I — 1 = 0; 0 ^ 0 = 0 } |
0 ~ |
1 = 1. |
|||||||||||
|
Таким образом, |
результат |
I ООНОН |
совпадает |
с резуль |
||||||||
татом |
второго |
примера. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из таблицы |
ДЧ7/ |
вытекает |
справедливость формулы |
|||||||||
А ~ |
В |
= В ~ А . Легко |
видеть, |
что |
А |
~ |
I = А. |
|
|||||
|
6 . |
|
|
И м п л и к а ц и я |
д в у х в ы с к а з ы в а |
||||||||
н и й |
|
обозначается |
символом А—- В . |
Читается: "если А, |
|||||||||
то В". |
Импликация |
двух высказываний |
представляет |
собой |
|||||||||
сложное высказывание, которое ложно в том и только в том |
|||||||||||||
случае, |
|
когда |
А |
истинно, а В ложно. |
|
|
|
|
|||||
|
Следует заметить, что импликация не имеет смысла свя |
||||||||||||
зи между |
причиной |
и следствием, т .е . |
из истинности А еще |
||||||||||
не следует обязательно истинность В. Наоборот, для истин |
|||||||||||||
ности сложного высказывания, образованного импликацией, |
|||||||||||||
достаточно уже ложности высказывания А. |
|
|
|
||||||||||
|
Значения |
истинности импликации определяются |
таблицей: |
||||||||||
118
0 V 0 = I
0 V I = I
I V 0 = 0
A W
|
I |
V I |
= |
I |
7 . |
О п е р а ц и я |
Ш е ф ф е р а /несовместимост |
||
двух высказываний. |
Связь |
Шеффера двух высказываний А и В |
||
обозначается A/В и представляет собой сложное высказывание, которое ложно в том и только в т~м случае, когда оба состав ляющих высказывания истинны.
Значения истинности |
|
связи Шеффера определяются |
табли- |
|
0/0 |
= |
I ; |
|
|
0/1 |
= |
1} |
/ I W |
|
I/O |
= |
I ; ' |
||
|
||||
I / I |
= |
0. |
|
|
Логическая связь Шеффера играет важную роль в |
теории |
|||
ЭЦМ л в теории логических схем. Все другие логические свя
зи могут быть выражены через связь Шеффера, и, таким |
обра |
|
зом, электронная схема, реализующая связь |
Шеффера, являет |
|
ся универсальным функциональным элементом, |
при помощи |
ко |
торого в принципе могут быть построены любые функциональ ные схемы как вычислительных, так и управляющих блоков машины.
119