книги из ГПНТБ / Филимонов Г.А. Основы цифровых устройств систем управления учебное пособие
.pdfСоотношение |
/ 34/ |
выражает входное сопротивление |
для |
||||
J -й линии операционного усилителя. |
Наличие |
конечного |
|||||
входного |
сопротивления |
линии делает |
работу усилителя |
за |
|||
висящей |
от |
внутренних |
сопротивлений |
источников |
входных |
||
напряжений. |
Если |
эти |
сопротивления |
изменяются, |
то во |
из |
|
бежание появления погрешностей необходимо увеличивать зна чения сопротивлений, включенных в параллельные цепи усили теля, или применять развязывающие элементы, например ка тодные повторители.
§ 3. Погрешности вычислительных устройств непрерыв ного действия
Понятие точности математической модели подразумевает степень приближения математической величины z , реализо ванной моделью z p , к истинному значению этой величины
г ист . Мерой точности служит ошибка
|
|
|
fe=zp-z„eT |
|
|
/3 5 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта ошибка состоит из |
следующих элементов: |
|
|||||
- |
трансформированной |
ошибки |
8 z T |
в значении z , |
|||
которая |
является следствием погрешностей |
входных |
величин |
||||
модели) |
|
|
|
|
|
|
|
- принципиальной /методической, структурной, теорети |
|||||||
ческой |
ошибки |
8 z n |
, являющейся результатом отступлений |
||||
в моделируемой |
или моделирующей формулах модели; |
|
|||||
- |
инструментальной ошибки |
, возникающей вслед |
|||||
ствие несовершенства выполнения модели. |
|
|
|||||
Общая погрешность /ошибка моделирования/, |
которая |
||||||
вносится в результат вычислительным устройством как несо вершенной математической моделью, равна
. |
/3 6 / |
30
Полная погрешность, возникающая на выходе модели |
в |
условиях эксплуатации - эксплуатационная или выходная |
ошиб |
ка, равна |
|
8z= 8zM+S zT=8zn+8z„+8zT .
Все математические модели могут быть разделены на ста тические и динамические. Статические модели реализуют зада чи, описываемые конечными уравнениями. Идеальные статичес кие модели состоят из физически безынерционных вычислитель
ных устройств, мгновенно воспроизводящих |
такие |
операции, |
|||||
как суммирование, функциональное преобразование |
и др. |
||||||
В статическом режиме работы такой модели входные вели |
|||||||
чины |
X; |
и выходная величина г |
имеют постоянные во време |
||||
ни значения. Отношение малых приращений |
д г и |
axl опреде- |
|||||
ляется |
статическим |
коэффициентом передачи |
dz |
|
|||
dxL . |
|||||||
В случае изменения входной величины xL во времени вы |
|||||||
ходная |
величина Z |
идеальной статической |
модели |
изменяется |
|||
так, что |
сохраняется равенство |
az |
__ dz |
|
|
||
л г |
dxL . |
|
|||||
Реальная статическая модель может находиться в этом режиме только при сравнительно медленном изменении x L . В случае быстрого изменения х ь реальная модель, обладающая
инерцией, оказывается в динамическом режиме, когда
az ^ dz |
• |
|
лх^ 8х- |
|
|
Динамические модели реализуют задачи, описываемые диф |
||
ференциальными уравнениями. Кроме |
статических блоков, |
они |
содержат блоки интегрирования и дифференцирования. |
|
|
Погрешности моделей, находящихся в статическом |
или |
|
динамическом режиме, называются |
статическими и динамичес |
|
кими ошибками. |
|
|
31
Статические ошибки
Задачи, подлежащие реализации с помощью статических моделей, сводятся к воспроизведению функций z= z(xiyx£...xn).
Если вместо точного выражения Z принимается приближенное
Z=E(ccjc , , . х п) , 10 имеет место статическая принципи альная ошибка, равная
|
|
|
Szx -C~z . |
/3 7 / |
|
|
При наличии отступлений в моделируемой или моделирую |
||||
щей формулах, которые являются равносильными, |
необходимо |
||||
различать |
реальную и идеальную трансформированные ошибки. |
||||
|
Статическая |
реальная трансформированная |
ошибка мо |
||
жет |
быть |
представлена выражением |
|
||
|
|
|
о |
d t о |
/38/ |
|
|
|
|
’ |
|
где |
8 х ■ |
- ошибки входных |
величин х ; . |
|
|
|
С |
|
|
6 |
|
|
Статическую |
идеальную |
трансформированную |
ошибку мож |
|
но представить зависимостью |
|
|
|||
|
|
|
|
|
/3 9 / |
|
Практически |
обычно принимают,что |
|
||
Значение выходной величины С математической модели зависит не только от входных величин рк , но и от целого ряда параметров рк , определяющих собой напряжение ис точников питания, сопротивления, емкости и другие парамет ры. Поэтому в самом общем виде С =С('ас4^с2. . . х п,р 1, д . . . / ) <я) .
32
Если |
все |
параметры |
рк имеют строго |
расчетные |
значения, |
||||
это |
выражение |
превращается |
в |
моделируемую |
формулу |
||||
|
|
. . . я?п ) . |
В действительности |
всегда имеют |
|||||
место |
так |
называемые |
первичные |
ошибки |
$рк |
, которые вы |
|||
зывают статическую |
инструментальную ошибку, |
равную |
|||||||
|
|
|
|
& д С |
к |
о |
|
А О / |
|
Динамические ошибки
Задачи, подлежащие реализации при помощи динамических моделей, описываются в общем случае нелинейными дифферен циальными уравнениями.
Динамическая принципиальная ошибка определяется разно
стью
|
|
|
8zny = t ( i ) - z ( t ) , |
/Щ / |
где |
z ( t ) |
- решение заданного уравнения, |
a 'C(i) является |
|
|
|
решением дифференциального уравнения, фактиче |
||
|
|
ски реализуемого моделью и приближенно заменя |
||
|
|
ющего заданное. |
|
|
|
Динамическая реальная трансформированная ошибка харак |
|||
теризуется |
выражением |
|
||
|
|
|
, |
/" 2 / |
где |
£ (t) - решение |
уравнения, фактически |
реализуемого мо |
|
|
|
делью, |
которое получено с учетом входных |
|
& |
я:. =&&■ (■)>) |
ошибок.Линеаризируя |
это уравнение, |
|
можно получить линейное дифференциальное уравнение, прибли женно определяющее реальную динамическую трансформированную ошибку. Если линеаризировать уравнение, подлежащее реализа ции, а не фактически реализуемое моделью, то вместо реаль ной будет получена динамическая идеальная трансформирован-
3 33
ная ошибка <£z и .
Для определения динамической инструментальной ошибки
составляется дифференциальное |
уравнение, связывающее |
вы |
ходную величину 2 не только |
с входными величинами |
, |
но и с различными параметрами |
рн реальной модели. |
|
Если |
все параметры рк |
имеют расчетные значения, то |
это уравнение превращается в моделируемую формулу. |
||
Динамическая инструментальная ошибка определяется |
||
формулой |
|
|
где £е(Ь) |
- решение дифференциального уравнения, получен |
|
|
ного с учетом |
ошибки в величинах рк . |
Приближенно динамическая инструментальная ошибка на ходится решением линеаризированного дифференциального урав нения.
Следует отметить, что решающее влияние на реальную трансформированную и инструментальную динамические ошибки оказывают только такие входные и первичные ошибки, которые являются функциями времени.
К рассмотренной классификации погрешностей [ 9 ] следу ет добавить, что полная ошибка может быть разделена на две части! систематическую и случайную. Систематическая часть волной ошибки либо постоянна, либо меняется по заранее из вестному закону. Случайная часть ошибки вызывается случай но действующими факторами или разбросом параметров в. преде лах допуска для решающего блока. Б связи с этим инструмен тальные ошибки решающих устройств будут случайными.
Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения, то дифференциальная функция распределения
имеет вид
(х-тУ |
|
Г*>~ыШ гех<> 261 |
т / |
х |
|
34
|
Наибольшим и наименьшим значениями случайной величи |
||||
ны X |
теоретически |
будут + <^о и - с-о , |
но |
практически |
|
интервал возможных значений случайной величины в |
приборо |
||||
строении ограничивают значениями х + 36 х \ |
а с - З б . В этом |
||||
случае |
вероятность |
появления конкретного |
значения |
сс слу |
|
чайной |
величины X |
в указанном интервале |
равна |
|
|
х-Зб'
|
|
|
|
=0,9973=99,73 °/о |
|
||
|
Таким образом, вероятность появления конкретных зна |
||||||
чений ос |
случайной |
величины X |
вне этих пределов |
будет |
|||
I - |
0,9973 = 0,0027 |
= 0,27$. |
Это позволяет принимать в ка |
||||
честве оценки максимального отклонения случайной |
величины |
||||||
X |
от х |
величину |
ЗбГ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
«С |
|
|
|
|
Полная абсолютная ошибка решающего элемента |
будет |
|||||
|
|
|
Л Ц ы х |
Л и£ых.сист.1+ Л 4 J ср + |
•> |
||
где |
|д 14 „х| |
- модуль |
среднего значения случайной состав |
||||
ляющей ошибки выходной величины)
би - среднеквадратическое отклонение.
Вкачестве критерия точности решающего элемента нель зя принять абсолютное значение ошибки, так как точность работы устройства зависит не только от абсолютной ошибки его выходной величины, но и от значения самой выходной, ве личины. При равных абсолютных значениях суммарной /полной/ ошибки точность будет выше у того устройства, у которого значение выходной величины больше.
Для оценки точности счетно-решающих устройств с этой точки зрения практически чаще всего пользуются величиной
35
Обычно эху величину называют относительной ошибкой. Часто бывает, что величина абсолютной ошибки является в
свою очередь функцией выходной величины |
^USbiX= (Щы*)) |
т .е . абсолютная ошибка имеет различные значения в каждой точке шкалы прибора. В этих случаях пользуются частным практическим и интегральным практическим критериями.
Частный практический критерий определяет точность ус тройства в данной точке рабочего диапазона
Яvacг.гр |
ли^х(^ёых) |
м / |
|
|
ёысс |
Интегральный практический критерий позволяет оцени вать точность работы устройства на определенном интервале изменения выходной величины
|
/4 7 / |
|
Легко убедиться, что если |
&USbix=const , то /4 6 / |
и |
/4 7 / переходят в общепринятый |
критерий точности /45/» |
Не |
следует придавать самостоятельное значение критерию точно
сти /4 5 /. По своей природе этот |
критерий дает |
только оцен |
ку максимально возможной погрешности элемента |
ч поэтому |
|
позволяет производить сравнение |
различных решающих элемен |
|
тов по их точности. Тот решающий элемент будет |
лучшим, у |
|
которого критерий точности получит наименьшее |
значение. |
|
Первичные погрешности операционного усилителя
Рассмотрим первичные погрешности, которые определяют систематическую часть ошибки решающего усилителя. Эту со
ставляющую полной погрешности вызывают следующие факторы.
|
I . Погрешность проводимости входной цепи. |
|
|
|||
|
Выполненные |
исследования [ ? ] показывают, что эта по |
||||
грешность тем больше, чем больше число входных величин и |
||||||
чем больше передаточные числа |
Уц/Уг /р и с .1 9 /. |
|
||||
|
Погрешность |
входной проводимости имеет место при |
ра |
|||
боте |
ОУ в режиме |
дифференцирующего устройства, |
когда |
на |
||
вход |
подключается |
конденсатор, |
обладающий конечным сопро |
|||
тивлением утечки |
|
. Как показывают расчеты, максималь |
||||
но возможное значение этой составляющей систематической |
|
|||||
ошибки обычно равно |
^Вых |
~ 0,02£. |
|
|
||
|
2. Погрешность проводимости в цепи обратной связи. |
|
||||
|
Эта погрешность |
вызывается |
главным образом |
наличием |
||
утечки конденсатора |
обратной связи, когда ОУ работает |
в |
||||
режиме интегратора или интегратора-сумматора /интегрирует несколько слагаемых, подаваемых на вход ОУ/. В этом случае
относительную погрешность, |
вызываемую указанным положением, |
|||||||||
можно определить |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
т / |
|
|
SU. |
4 |
|
|
'ых.тах Т |
1 |
|||
|
|
|
ёых.. |
|
|
|
||||
где |
|
|
- проводимость утечки конденсатора |
С , |
||||||
|
К примеру, |
если С = I |
мкф; |
|
у |
|
; |
п = I , |
||
|
Д(1= ^ |
|
||||||||
\ |
= I |
Мои; i |
= 100 |
сек, |
то |
Г 5 Ш |
МомJ -г |
|||
|
|
= 10 |
= 156. |
|||||||
|
3. |
Погрешность вследствие |
конечного |
коэффициента у |
||||||
ления |
усилителя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения / 3 / |
видно, что |
с |
увеличением |
коэффициен |
|||||
та усиления К правая часть уравнения уменьшается |
и в пре |
|||||||||
деле |
/при |
\К|— |
|
оно принимает |
вид |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 9 / |
37
Поскольку операционный усилитель следует рассматри вать как замкнутую систему автоматического регулирования, то наличие правой части в уравнении / 3 / надо понимать как некоторую ошибку рассогласования, которая уменьшается с увеличением К . Если К— , то
dF
щых
При наличии конечного значения величины К ошибка бу дет равна
|
|
|
|
9F |
|
|
1к. |
|
|
|
|
откуда |
относительная ошибка |
ли. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8U, |
|
|
|
SblX_ |
д£_ |
|
/5 0 / |
|
|
|
|
|
|
ил |
|
||||
|
|
|
|
ёых. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
спет. |
|
ёысс |
К Ж |
|
не |
|
|
Если требуется, чтобы относительная погрешность |
||||||||||
превышала некоторого допустимого |
значения |
|£ [ |ых|?ол •> |
|||||||||
то |
необходимо |
соблюдать |
условие |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
К* |
|
|
dF |
|
|
|
/5 1 / |
|
|
|
|
8VL |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
уоп |
|
|
|
|
|||
|
Доказано |
[7] |
, что |
для |
|
наиболее |
тяжелого случая, |
ког |
|||
да 0 U |
работает в |
режиме |
интегратора |
- сумматора, эта |
ошиб |
||||||
ка |
имеет выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
« и спет |
0.67К |
Г |
■1 |
- |
|
|||
|
|
|
^i |
|
|||||||
Из этого выражения можно определить требуемое значе ние К с тем, чтобы погрешность не превосходила заданное значение
±_
0,67 8U, |
1 х . |
г |
ёыое.. gon |
ij |
|
Например, |
при i |
= 100 сек* |
SUt\St“x cucT3 |
90п |
= 0,01? п = 5? |
\ Г |
\ г = |
= 0,5 |
Мом? ^ |
= I мкф, величина коэффициента усиления будет К * 75.000.
4. Погрешность, определяемая нагрузкой операционн усилителя.
Найдено, что эта погрешность обычно бывает порядка 0,005#, т .е . пренебрежимо мала.
Случайные составляющие погрешности решающего элемента
Основными составляющими случайной части погрешности решающего элемента являются:
-неточная установка нулевого уровня выходного напря
жения?
-нестабильность нулевого уровня /"дрейф" нуля/?
-наличие гармоник в выходном напряжении?
- неточность установки сопротивлений Z ■и .
Нестабильностью нулевого уровня /"дрейф" нуля/ обычно называют изменяющееся напряжение, появляющееся на выходе ОУ при замкнутых на общую точку входных сопротивлениях.По явление напряжения на выходе ОУ при отсутствии напряжения
на входе |
может быть |
вызвано следующими причинами: |
|
|
I / |
нестабильностью источников питания? 2 / |
изменением |
||
эмиссионных свойств |
катодов электронных ламп? |
3 / наличием |
||
сеточных |
токов? 4 / |
изменением параметров элементов |
схемы |
|
усилителя. |
|
|
|
|
Абсолютное и относительное значение погрешности выход |
||||
ного напряжения, обусловленное наличием сеточного |
тока |
|||
можно определить из |
выражения |
|
|
|
39