книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

Полученная формула используется при расчете посадок дета­ лей с гарантированным натягом. При этом необходимо иметь в виду, что при посадке втулки на вал распределение давления

Ф и г. 2.4.5

по поверхности соприкосновения деталей получается неравно­ мерным (фиг. 2.4.5). Давление увеличивается у концов втулки за счет влияния выступающих из втулки частей вала, увеличиваю­ щих его жесткость у концов втулки.

2.5. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Общее решение задачи о собственных колебаниях балки постоянного сечения имеет вид (см. «Курс сопротивления мате­ риалов», часть 1, гл. XVIII, § 6):

v (х, t) = X (л:) sin (u)^ -f- а),

где

X (х) — A sin Хх - f - В cos Хх -j- С sh l x -|- D ch Хх.

Рассмотрим колебания балки, у которой один конец (х = /) свободный, а другой (х = 0) имеет шарнирное закрепление (фиг. 2.5.1). В подобных условиях находятся турбинные лопатки, имеющие шарнирные замки.

Определим граничные условия для функции Х(х), исходя из того, что на шарнирном конце бал­ ки равны нулю прогиб и изгибающий момент, а на свободном конце — изгибающий момент и попереч­ ная сила:

42

В результате для функции Х(х) получаем следующие гра­ ничные условия:

1) А"= 0 при х = 0-,

d x 3

Первое и второе граничные условия дают:

В+ D = 0;

-l 2B + X3D = 0.

Отсюда получаем В = 0 и D = 0. Функция X принимает вид:

Третье и четвертое граничные условия дают:

—Al2sin 11 + Cl2sh X/ с= 0;

—ЛХ3 cos X/ -f- CXSch X/ = 0.

Чтобы эта система уравнений давала ненулевое решение для Л и С, ее определитель должен равняться нулю:

43

для определения круговой частоты колебаний балки будем иметь уравнение:

Соответствующая ей форма колебаний показана на фиг. 2.5.1. Кроме изгибных, балка будет совершать еще колебания как

физический маятник. Из механики известно, что круговая часто­ та колебаний физического маятника приближенно равна:

44

При подобных колебаниях в балке изгибных напряжений не возникает.

Определим частоту колебаний свободной балки, не имеющей никаких опор (летящая стрела, ракета, самолет).

Опять воспользуемся общим решением, определив граничные условия для функции X из условия, что по концам балки нет изгибающих моментов и поперечных сил. Эти условия имеют

Из граничных условий на конце х = 0 получаем:

-В )2+ D)2_ 0;

-ЛХ8 + СХ8 = 0.

Отсюда D ~ В к С — А, В результате функция X принимает

i:X = A (sin lx + sh lx) ф В (cos lx -f ch lx).

Используем граничные условия на конце х = I:

ЛXs (— sin Н -J- sh Н) -f- Bl2 (— cos ll -f- ch ll) — 0;

ЛХ3 ( —cos ll -f»ch ll) + i9X3 (sin ll + sh ll) = 0.

Эта система уравнений дает ненулевое решение для А и В при условии,/что ее определитель равен нулю:

— sin И + sh X/ — cos ll + ch И

0.

— cos И + ch ll sin ll + sh U

Раскрываем этот определитель:

sh5 ll — sin2 ll — ch2 X/ -f 2 ch ll cos ll —cos* ll = 0.

Отсюда получаем:

ch ll cos X/ = 1.

Последнее уравнение можно решить графически, построив

кривые у — cosX/ и у — — — (фиг. 2.5.3). Из графика видно, что ch 11

искомые корни с достаточно высокой точностью можно определить из усло­ вия

cos И -0,

которое выполняется при

X/ = — 4- пк,

2

где п — целое число.

45

Ошибка для первого корня (>./), — 4,730 не превышает 0,02, а для остальных будет значительно меньше.

Для определения круговой частоты получаем уравнение

•с-

-э»*1

Фиг. 2.5.4

Соответствующая ей форма колебаний балки показана на фиг. 2.5.4 (верхний рисунок). Ниже изображена форма колеба­ ний для следующей частоты.

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИБРОНАПРЯЖЕНИИ

При колебании балки или бруса в них возникают изгибные напряжения (вибронапряжения), изменяющиеся по симметрич­ ному циклу (если нет дополнительной постоянной составляющей нагрузки). Эти напряжения могут быть причиной разрушения бруса, которое будет носить усталостный характер. Подобные разрушения наблюдаются, например, у лопаток газотурбинных двигателей. Для исследования этого явления нужно уметь вычис­ лять вибронапряжения. Знание вибронапряжений позволяет дать правильную оценку при анализе разрушений различных деталей, подвергающихся действию вибраций в процессе эксплуа­ тации. Например, по виду излома можно установить, является ли оно усталостным и, следовательно, обязанным вибронапряже­ ниям, или же носит иной характер, а по его месторасположению на детали определить, какой формой колебаний и соответствую­ щей ей частотой вызвано разрушение. Это в свою очередь позво­

46

ляет установить опасные для данной детали гармоники и при­ нять меры по устранению или ослаблению влияния таких гар­ моник.

Определим напряжения в консольном брусе постоянного се­ чения, возникающие при его собственных колебаниях. При вы­ нужденных колебаниях в момент резонанса форма их близка к форме собственных, и поэтому результаты, полученные для случая собственных колебаний, могут быть перенесены и на слу­ чай вынужденных.

Уравнение изогнутой оси бруса (консоли) при свободных колебаниях имеет вид (см., Курс сопротивления материалов, часть 1):

X (л) = А ( sinXx — sh Хх) + В {cosXx — ch Xi). (2.6.1)’

причем коэффициенты Л и б удовлетворяют соотношению:

Из формулы (2.6.2) получаем зависимость между А и В:

d2X

М= — E I ------ = E/Al2 [sin Хл; -f sh X/ -f- к (cos lx -f ch Хл:)].

Для определения величины изгибающих моментов необходимо знать величину коэффициента А. Величину А можно определить по амплитуде колебаний какого-либо сечения бруса, например, его свободного конца. Амплитуда / на конце консоли (х — I) на основании уравнения (2.6.1) равна:

f — A (sin 11 — sh ll) -f В (cos X/— ch X/).

47

Складывая полученное выражение с (2.6.2), получаем

/ = 2 (A sin X/ + В cos X/),

а так как В = kA, то амплитуда равна:

/ = 2A (sin X/ -j- k cos X/).

Отсюда находим коэффициент А:

л » _________ I _________ .

2 (sin X/ ф- k cos X/)

Параметр X выражается через корни z n уравнения

где z = X/.

Для п-й частоты 1п = z njl.

В результате для изгибающих моментов получаем на основа­ нии формулы (2.6.4) следующее выражение:

12 4/2(sin zn + k coszn)

где h — высота сечения бруса.

Первые два корня уравнения (2.6.5) равны:

Zj = 1,875, z2 — 4,694.

Остальные корни определяются с достаточной точностью по фор­ муле

Zn = ~ ( 2 п - 1), л — 3, 4, 5..

Формы колебаний бруса и соответствующие им эпюры вибро­ напряжений для первых трех частот показаны на фиг. 2.6.1. Наи­ большие напряжения возникают в заделанном конце бруса

(х 0):

Определим максимальные напряжения прй первой форме колебаний по низшей частоте, для которой zx — 1,875.

48

Хотя наибольшие напряжения возникают, как показывает расчет, в заделанном конце бруса, однако разрушение при выс­ ших формах колебаний возможно и в других удаленных от задел­ ки сечениях с большими напряжениями, так как фактически дей­ ствующие в области заделки напряжения могут быть несколько ниже полученных путем расчета вследствие влияния упругости заделки, наличия люфтов и других конструктивных факторов. В особенности это относится к брусу переменного сечения (лопат­ ка турбины).

50

Г л а в а ПГ

ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ

3.1.ПЕРЕМЕННЫЕ НАЕРУЗКИ, ХАРАКТЕРНЫЕ ДЛЯ ДЕТАЛЕЙ

ИАГРЕЕАТОВ Л ЕТАТЕЛ ЬНОЕО АППАРАТА И ДВИГАТЕЛЯ

Детали авиационного двигателя и агрегаты летательного аппарата (крыло, фюзеляж и т. п.) при взлете, посадке и 'в тече­ ние всего полета подвергаются действию разнообразных нагру­ зок, непрерывно меняющихся-как по величине, так и по направ­ лению. Меняется также частота этих нагрузок, порядок их чере­ дования и закон изменения их амплитуды во времени.

Рассматриваемые переменные нагрузки являются случай­ ными величинами, могущими иметь совершенно различный характер даже для однотипных летательных аппаратов в зависи­ мости от реальных условий их эксплуатации.

Закон изменения нагрузок оказывается неодинаковым для различных деталей и агрегатов одного и того же летательного аппарата. Он зависит от назначения детали, ее конструктивных особенностей, условий полета и т. п.

Статистические методы позволяют обнаруживать среди хаоса случайных нагрузок черты, общие для летательных аппаратов данного типа, и выделять программу нагружения, наиболее веро­ ятную в определенных расчетных условиях.

Пример случайного чередования во времени t переменных на­ грузок Р, типичных для летательного аппарата, показан на фиг. 3.1.1. Бросается в глаза, что данную нагрузку можно пред­ ставить как комбинацию нагрузки малой частоты и большой амплитуды и высокочастотной нагрузки с малой амплитудой. Отделение высших гармоник колебаний от низших возможно с помощью гармонического анализа кривой суммарной нагрузки.

Основную роль в определении прочности конструкции обычно играют низкочастотные нагрузки, вызывающие наибольшие напряжения. Высокочастотные напряжения, возникающие в ре­ зультате вибраций деталей под действием возмущений в газовом потоке, в первом приближении могут не учитываться, так как их амплитуды невелики. Их наличие следует принимать во внимание лишь при проектировании конструкций, рассчитанных на дли­ тельный срок эксплуатации, в течение которого количество мел­